1、第六節數據處理的基本方法前面我們已經討論了測量與誤差的基本概念，測量結果的最佳 值、誤差和不確定度的計算。然而，我們進行實驗的最終目的是為了 通過數據的獲得和處理，從中揭示出有關物理量的關系，或找出事物 的內在規律性，或驗證某種理論的正確性，或為以后的實驗準備依據。因而，需要對所獲得的數據進行正確的處理， 數據處理貫穿于從獲得 原始數據到得出結論的整個實驗過程。包括數據記錄、整理、計算、 作圖、分析等方面涉及數據運算的處理方法。常用的數據處理方法有: 列表法、圖示法、圖解法、逐差法和最小二乘線性擬合法等，下面分 別予以簡單討論。一、列表法列表法是將實驗所獲得的數據用表格的形式進行排列的數據處

2、理方法。列表法的作用有兩種：一是記錄實驗數據，二是能顯示出物 理量間的對應關系。其優點是，能對大量的雜亂無章的數據進行歸納 整理，使之既有條不紊，又簡明醒目；既有助于表現物理量之間的關 系，又便于及時地檢查和發現實驗數據是否合理， 減少或避免測量錯 誤；同時，也為作圖法等處理數據奠定了基礎。用列表的方法記錄和處理數據是一種良好的科學工作習慣，要設 計出一個欄目清楚、行列分明的表格，也需要在實驗中不斷訓練，逐 步掌握、熟練，并形成習慣。般來講，在用列表法處理數據時，應遵從如下原則:(1)欄目條理清楚，簡單明了，便于顯示有關物理量的關系。(2)在欄目中，應給出有關物理量的符號，并標明單位(一般不重

3、復寫在每個數據的后面)。(3)填入表中的數字應是有效數字。(4)必要時需要加以注釋說明。例如，用螺旋測微計測量鋼球直徑的實驗數據列表處理如下。用螺旋測微計測量鋼球直徑的數據記錄表0.004 mm次數初讀數(mm)未讀數(mm)直徑(mm)Di D (mm)10.0046.0025.998+0.001320.0036.0005.997+0.000330.0046.0005.996-0.000740.0046.0015.997+0.000350.0056.0015.996-0.000760.0046.0005.996-0.000770.0046.0015.997+0.000380.0036.002

4、5.999+0.002390.0056.0005.995-0.0017100.0046.0005.996-0.0007從表中，可計算出-DiD n5.9967(mm)取 D 5.997 mm， iDiD。不確度的A分量為（運算中D保留兩位存疑數字）SD0.0011 ( mm)B分量為（按均勻分布）0.0023 ( mm)寸 sD U D 0.0026 ( mm)0.003(mm)測量結果為 D 5.997 0.003(mm)。二、圖示法圖示法就是用圖象來表示物理規律的一種實驗數據處理方法。般來講，一個物理規律可以用三種方式來表述：文字表述、解析函數關 系表述、圖象表示。圖示法處理實驗數據的優點

5、是能夠直觀、形象地 顯示各個物理量之間的數量關系，便于比較分析。一條圖線上可以有 無數組數據，可以方便地進行內插和外推，特別是對那些尚未找到解 析函數表達式的實驗結果，可以依據圖示法所畫出的圖線尋找到相應的經驗公式。因此，圖示法是處理實驗數據的好方法。要想制作一幅完整而正確的圖線， 必須遵循如下原則及步驟:1.選擇合適的坐標紙。作圖一定要用坐標紙，常用的坐標紙有直角坐標紙、雙對數坐標紙、單對數坐標紙、極坐標紙等。選用的原則是盡量讓所作圖線呈直線,有時還可采用變量代換的方法將圖線作成直線。2. 確定坐標的分度和標記。一般用橫軸表示自變量，縱軸表示因變量，并標明各坐標軸所代表的物理量及其單位 （可

6、用相應的符號表示）。坐標軸的分度要根據實驗數據的有效數字及對結果的要求來確 定。原則上，數據中的可靠數字在圖中也應是可靠的。即不能因作圖 而引進額外的誤差。在坐標軸上應每隔一定間距均勻地標出分度值,標記所用有效數字的位數應與原始數據的有效數字的位數相同，單位 應與坐標軸單位一致。要恰當選取坐標軸比例和分度值，使圖線充分 占有圖紙空間，不要縮在一邊或一角。除特殊需要外，分度值起點可 以不從零開始，橫、縱坐標可采用不同比例。3. 描點。根據測量獲得的數據，用一定的符號在坐標紙上描出坐標點。一張圖紙上畫幾條實驗曲線時，每條曲線應用不同的標記，以免混淆。常用的標記符號有。、X、A、等。4. 連線。要繪

7、制一條與標出的實驗點基本相符的圖線，圖線盡可能多的通過實驗點，由于測量誤差，某些實驗點可能不在圖線上，應 盡量使其均勻地分布在圖線的兩側。圖線應是直線或光滑的曲線或折 線。5. 注解和說明。應在圖紙上標出圖的名稱，有關符號的意義和特定實驗條件。女口，在繪制的熱敏電阻-溫度關系的坐標圖上應標明“電阻一溫度曲線”；“實驗值” ；“ X理論值”；“實驗材料：碳膜電阻”等。三、圖解法圖解法是在圖示法的基礎上，利用已經作好的圖線，定量地求出 待測量或某些參數或經驗公式的方法。由于直線不僅繪制方便，而且所確定的函數關系也簡單等特點,因此，對非線性關系的情況，應在初步分析、把握其關系特征的基礎 上，通過變量

8、變換的方法將原來的非線性關系化為新變量的線性關 系。即，將“曲線化直”。然后再使用圖解法。F面僅就直線情況簡單介紹一下圖解法的一般步驟:1.選點。通常在圖線上選取兩個點，所選點一般不用實驗點，并用與實驗點不同的符號標記，此兩點應盡量在直線的兩端。如記為Axi,yi和B X2, y2，并用“ + ”表示實驗點，用“表示選點。2.求斜率。根據直線方程y kx b，將兩點坐標代入，可解出圖線的斜率為k。X2Xi3.求與y軸的截距。可解出bX2yiXiy2X2Xi4.與x軸的截距。記為VX2yiXiy2X 0 Oy2yi例如，用圖示法和圖解法處理熱敏電阻的電阻Rt隨溫度T變化的測量結果。(1)曲線化直

9、：根據理論，熱敏電阻的電阻一溫度關系為Rt ae%為了方便地使用圖解法，應將其轉化為線性關系，取對數有bIn RtIn a 。TT令 y ln Rt， a ln a， x 1，有y a bX。這樣，便將電阻Rt與溫度T的非線性關系化為了 y與X的線性關系。(2)轉化實驗數據：將電阻Rt取對數，將溫度T取倒數，然后用直角坐標紙作圖，將所描數據點用直線連接起來。使用圖解法求解：先求出a和b ;再求a ;最后得出RtT函數關系。四、逐差法由于隨機誤差具有抵償性，對于多次測量的結果，常用平均值來 估計最佳值，以消除隨機誤差的影響。但是，當自變量與因變量成線 性關系時，對于自變量等間距變化的多次測量，如

10、果用求差平均的方 法計算因變量的平均增量，就會使中間測量數據兩兩抵消，失去利用 多次測量求平均的意義。例如，在拉伸法測楊氏模量的實驗中，當荷 重均勻增加時，標尺位置讀數依次為X0 ,Xi ,X2, X3 ,X4, X5, X6, X7 , X8, X9，如果求相鄰位置改變的平均值有XgX8X8X7X7X6X6X5X1Xo1X -91 =-Xg Xo9即中間的測量數據對 龍的計算值不起作用。為了避免這種情況下中 間數據的損失，可以用逐差法處理數據。逐差法是物理實驗中常用的一種數據處理方法， 特別是當自變量與因變量成線性關系，而且自變量為等間距變化時，更有其獨特的特點。逐差法是將測量得到的數據按自

11、變量的大小順序排列后平分為前后兩組，先求出兩組中對應項的差值（即求逐差），然后取其平均值。例如，對上述楊氏模量實驗中的10個數據的逐差法處理為:1.將數據分為兩組I組:Xo,Xi,X2,X3,X4；n組:X5, X6, X7, X8, Xg；2.求逐差:X5Xo , X6X1 ,X7X2 ,X8X3 ,XgX4XgX43.求差平均：H 1 X5 Xo在實際處理時可用列表的形式較為直觀，如:I組n組逐差（Xi 5Xi ）XoX5X5 XoX1X6X6X1X2X7X7X2X3X8X8X3X4X9X9X4但要注意的是：使用逐差法時之-，相當于一般平均法中飛的號 倍（n為Xi的數據個數）。五、最小二乘

12、法通過實驗獲得測量數據后，可確定假定函數關系中的各項系數,這一過程就是求取有關物理量之間關系的經驗公式。從幾何上看，就 是要選擇一條曲線，使之與所獲得的實驗數據更好地吻合。因此，求 取經驗公式的過程也即是曲線擬合的過程。那么，怎樣才能獲得正確地與實驗數據配合的最佳曲線呢？常用 的方法有兩類：一是圖估計法，二是最小二乘擬合法。圖估計法是憑眼力估測直線的位置，使直線兩側的數據均勻分 布，其優點是簡單、直觀、作圖快；缺點是圖線不唯一，準確性較差, 有一定的主觀隨意性。如，圖解法，逐差法和平均法都屬于這一類, 是曲線擬合的粗略方法。最小二乘擬合法是以嚴格的統計理論為基礎， 是一種科學而可靠 的曲線擬合

13、方法。此外，還是方差分析、變量篩選、數字濾波、回歸 分析的數學基礎。在此僅簡單介紹其原理和對一元線性擬合的應用。1.最小二乘法的基本原理設在實驗中獲得了自變量Xi與因變量y的若干組對應數據Xi,yi，在使偏差平方和f Xi 2取最小值時，找出一個已知類型的函數y f X （即確定關系式中的參數）。這種求解f X的方法稱為最小二乘法。根據最小二乘法的基本原理，設某量的最佳估計值為Xo，則可求出d ndXo i 1Xi2XoXonXiXo而且可證明ndXo i 1 Xid2.22Xon2 2noi 1n說明 Xi Xo 2可以取得最小值。i 1可見，當Xo X時，各次測量偏差的平方和為最小，即平均

14、值就是在相同條件下多次測量結果的最佳值。根據統計理論，要得到上述結論，測量的誤差分布應遵從正態分 布(高斯分布)。這也即是最小二乘法的統計基礎。2.元線性擬合設一元線性關系為y a bX,實驗獲得的n對數據為Xi, yi ( i =1 , 2,，n )。由于誤差的存在， 當把測量數據代入所設函數關系式時，等式兩端一般并不嚴格相等,而是存在一定的偏差。為了討論方便起見，設自變量X的誤差遠小于因變量y的誤差，則這種偏差就歸結為因變量 y的偏差，即i Yi a bXi根據最小二乘法，獲得相應的最佳擬合直線的條件為若記1 XXXi2XiI yy2yi1n1nyi1 XyXix yi丄Xi ?yin代入方程組可以解出a y bxb b1 XX由誤差理論可以證明，最小二乘一元線性擬合的標準差為Sai ?Sy y n XiXiSbXi 2