1、天才是百分之一的靈感加百分之九十九的勤奮專題四幾何變換綜合題類型一涉及一個動點的幾何問題氣P從點A出發，沿A B重合)，作/ DPQ（例1 （ 2018 長春中考）如圖，在 RtABC 中，/ C= 90° , / A= 30° , AB= 4,AB以每秒2個單位長度的速度向終點B運動.過點P作PD)± AC于點D(點P不與點= 60° ,邊PQ交射線DC于點Q.設點rP的運動時間為t秒.(1)用含t的代數式表示線段 DC的長；(2)當點Q與點C重合時，求t的值； 設 PDQW ABC重疊部分圖形的面積為 S,求S與t之間的函數關系式;(4)當線段PQ的

2、垂直平分線經過 ABC一邊中點時，直接寫出 t的值.金戈鐵制卷【分析】(1)先求出AC,用三角函數求出 AD,即可得出結論;(2)利用A* DQ= AC即可得出結論；(3)分兩種情況，利用三角形的面積公式和面積差即可得出結論;(4)分三種情況，利用銳角三角函數，即可得 出結論.【自主解答】AP為邊向右側作等邊1. (2018 江西中考)在菱形ABCD中，/ ABO60° ,點P是射線BD上一動點，以 APE點E的位置隨著點 P的位置變化而變化.,CE與AD的位如圖1,當點E在菱形ABC咕部或邊上時，連接 CE, BP與CE的數量關系是置關系是;(2)當點E在菱形ABCS卜部時，(1)

3、中的結論是否還成立？若成立 ，請予以證明；若不成立，請說明理由(選 擇圖2,圖3中的一種情況予以證明或說理 )；(3)如圖4,當點P在線段BD的延長線上時，連接 BE,若AB= 2/3, BE= 25,求四邊形ADPE的面積. 類型二涉及兩個動點的幾何問題例2制(2018 青島中考)已知：如圖，四邊形 ABCD AB/ DC CB± AR AB= 16 cm BC= 6 cm, CD= 8 cm,動點P從點D開始沿DA邊勻速運動，動點 Q從點A開始沿AB邊勻速運動，它們白運動速度均為2 cm/s.點P和點Q同時出發，以 QA QP為邊作平行四邊形 AQPE設運動的時間為t(s) ,

4、0V t < 5.根據題意解答下列問題：(1)用含t的代數式表示AP;2(2)設四邊形CPQB勺面積為S(cm)，求S與t的函數關系式;(3)當QPL BD時，求t的值；(4)在運動過程中，是否存在某一時刻t ,使點E在/ ABD的平分線上？若存在，求出 t的值；若不存在,請說明理由.【分析】(1)作DHL AB于點H,則四邊形DHBC1矩形，利用勾股定理求出AD的長即可解決問題;(2)作PN AB于N,連接PB,根據S=Sa pq升Sabcp計算即可； 當 QPL BD時，/ PQN / DBA= 90° , / QPN Z PQtN= 90° ,推出/ QPfN=

5、 / DBA 由此利用三角函數即可解決問題；(4)連接BE交DH于點K,彳KMLBD于點M.當BE平分/ ABD時， KBH KBM 推出KH= KM作EFL ABKH BH由此構建方程即可解決問題.于點F,則4人£國AQPtN推出EF= PN AF= QN由KH/ EF可得彘=往,EF BF【自主解答】2. (2018 黃岡中考)如圖，在平面直角坐標系 xOy中，菱形OABC勺邊OA在x軸正半軸上，點 B, C在第一象限，/ C= 120° ,邊長OA= 8.點M從原點O出發沿x軸正半軸以每秒1個單位長的速度作勻速運動,點N從A出發沿邊AB- BC- CO以每秒2個單位長

6、的速度作勻速運動，過點 M作直線MP直于x軸并交折線OCBT巳 交對角線 OB于Q,點M和點N同時出發，分別沿各自路線運動，點N運動到原點。時，M和金戈鐵制卷N兩點同時停止運動.當t = 2時，求線段PQ的長；（2）求t為何值時，點P與N重合;（3）設4APN的面積為S,求S與t的函數關系式及t的取值范圍.類型三圖形的平移變換 皈虻（2017 揚州中考）如圖，將 ABC沿著射線BC方向平移至 A B' C ,使點A落在/ ACB的外角平分線CD上，連接AA'（1）判斷四邊形ACC A'的形狀，并說明理由;(2)在 ABC中，/ B= 90° , AB= 24,

7、 cos/ BAC= 12,求 CB 的長. 13【分析】（1）根據平行四邊形的判定定理 （有一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形）知四邊形ACCA是平行四邊形.再根據對角線平分對角的平行四邊形是菱形知四邊形ACC A'是菱形.（2）通過解直角 ABC導到AC, BC的長度，由（1）中菱形ACC A'的性質推知 AC= AA',由平移的性質得 四邊形ABB A'是平行四邊形，則 AA' = BB',所以CB = BB' - BC.【自主解答】命題研究專家點撥平移變換命題的呈現形式主要有：（1）坐標系中的點、函數圖象的平移問題；（2）涉及

8、基本圖形平移的幾何問題；（3）利用平移變換作為工具解題.其解題思路：（1）特殊點法：解題的關鍵是學會運用轉化的思想，如坐標系中圖象的平移問題，一般是通過圖象上一個關鍵（特殊）點的平移來研究整個圖象的平移；（2）集中條件法：通過平移變換添加輔助線，集中條件，使問題獲得解決；（3）綜合法：已知條件中涉及基本圖天才是百分之一的靈感加百分之九十九的勤奮形的平移或要求利用平移作圖的問題時，要注意找準對應點，看清對應邊，注意變換性質的理解和運用.3. （2018 安徽中考）如圖，直線li, l 2都與直線l垂直，垂足分別為 M N, MNk 1.正方形ABCD勺邊長為 用對角線AC直線l上，且點C位于點M

9、處.將正方形ABCD& l向右平移，直到點A與點N重合為止. 記點C平移的距離為x,正方形ABCD勺邊位于li, l2之間部分的長度和為 V,則y關于x的函數圖象大致 為（）4. 如圖，在平面直角坐標系中， AOB勺頂點。為坐標原點，點 A的坐標為（4, 0）,點B的坐標為（0,1）, 點C為邊AB的中點，正方形 OBDE勺頂點E在x軸的正半軸上，連接 CQ CD CE.（2）求證： CBDACOE（3）將正方形OBDEgx軸正方向平移得到正方形 QBDB,其中點Q B, D, E的對應點分別為點 Q, Bi,D, Ei,連接CD, CE,設點Ei的坐標為（a, 0）,其中a2, CD

10、Ei的面積為S.當i v av 2時，請直接寫出 S與a之間的函數解析式；一， I 在平移過程中，當 S=l時，請直接寫出a的值.4類型四圖形的旋轉變換（92017（ 2017 濰坊中考）邊長為6的等邊 ABC中，點D, E分別在AC, BC邊上，DE/ AB, EC= 2、/3.如圖1,將 DECg射線EC方向平移，得到D' E'C',邊D'E'與AC的交點為M,邊C D'與/ACC的角平分線交于點 N.當CC多大時，四邊形 MCND為菱形？并說明理由.（2）如圖 2,將.DEC繞點 C 旋轉/ a （0 ° <“ <36

11、0° ）,得到 D' E' C,連接 AD' , BE'.邊 D' E'的中點為P.在旋轉過程中，AD和BE有怎樣的數量關系？并說明理由；連接AP,當AP最大時，求AD的彳1.（結果保留根號）【分析】（1）先判斷出四邊形 MCND為平行四邊形，可得 MCE和 NCC為等邊三角形，即可求出CC , 得出CN= CM即證四邊形 MCND為菱形；（2）分兩種情況，利用旋轉的性質，即可判斷出ACD色 BCE ,即可得出結論；先判斷出點 A, C, P三點共線，求出 CP, AP,最后用勾股定理即可得出結論.【自主解答】0命題研究專版點撥旋轉變換

12、問題的解題思路：（1）以旋轉為背景的問題，要根據題意，找準對應點，看清對應邊，注意對旋轉的性質的理解和運用，想象其中基本元素，如點、線（角）之間的變化規律，再結合幾何圖形的性質，大膽地猜想結果并加以證明來解決問題；（2）利用旋轉變換工具解決問題，要注意觀察，通過旋轉圖形中的部分，運用旋轉的性質，將復雜問題簡單化.5. （2018 荷澤中考）問題情境：在綜合與實踐課上，老師讓同學們以“矩形紙片的剪拼”為主題開展數學活動.如圖1,將矩形紙片ABCD沿對角線 AC剪開，得到 ABC ACD并且量得 AB= 2 cm, AO 4 cm.操作發現：（1）將圖1中的 ACD以點A為旋轉中心，按逆時針方向旋

13、轉/ a ,使/ a = /BAC得到如圖2所示的AC' D,過點C作AC的平行線，與 DC的延長線交于點 E,則四邊形ACEC的形狀是 .(2)創新小組將圖1中的 ACD以點A為旋轉中心，按逆時針方向旋轉，使B, A, D三點在同一條直線上，得到如圖3所示的 AC D,連接CC ,取CC的中點F,連接AF并延長至點G使FG= AF,連接CQ CG得到四邊形 ACGC ,發現它是正方形，請你證明這個結論.實踐探究：(3)縝密小組在創新小組發現結論的基礎上，進行如下操作：將ABC沿著BD方向平移，使點 B與點A重合，此時A點平移至A'點，A C與BC相交于點H,如圖4所示，連接C

14、C , i求tan/C' CH的值.金戈鐵制卷圖1圖2圖3圖4類型五圖形的翻折變換工(2017 德州中考)如圖1,在矩形紙片 ABCD43, AB= 3 cm, AD= 5 cm,折疊紙片使 B點落在邊 AD 上的E處，折痕為 PQ.過點E作EF/ AB交PQ于F,連接BF. 求證：四邊形 BFEFJ菱形；(2)當點E在AD邊上移動時，折痕的端點 P, Q也隨之移動.當點Q與點C重合時(如圖2),求菱形BFEP的邊長；若限定P, Q分別在邊BA, BC上移動，求出點 E在邊AD上移動的最大距離.圖1圖2【分析】(1)由折疊的性質得出 PB= PE, BF= EF, / BPF= /EP

15、F,由平行線的性質得出/ BPF= / EFP,證 出/ EPF= / EFP,得出EP= EF,因此 BP= BF= EF= EP,即可得出結論；(2)由矩形的性質得出 BO AD= 5 cm CD= AB= 3 cm / A= / D= 90° ,由對稱的性質得出 CE= BO 5 cm, 在RtCDE中，由勾股定理求出 DE= 4 cm,得出 AE= AD-DE= 1 cm；在RtAPE中，由勾股定理得出方程，解方程得出 EP=5 cm即可；3當點Q與點C重合時，點E離點A最近，由知，此時 AE= 1 cm；當點P與點A重合時，點E離點A最 遠，此時四邊形 ABQ時正方形，AE

16、= AB= 3 cm,即可得出答案.【自主解答】命題研究專家點撥翻折變換問題的解題思路：以翻折變換為載體，考查幾何圖形的判定和性質問題.一般,先作出折疊前、后的圖形位置，考慮折疊前、后哪些線段、角對應相等，哪些量發生了變化.然后再利用軸對稱的性質和相關圖形的性質推出相等的線段、角、全等三角形等，當有直角三角形出現時，考慮利用勾股定理以及方程 思想來解決.6. (2017 蘭州中考)如圖1,將一張矩形紙片 ABCD占著對角線BD向上折疊，頂點 C落到點E處，BE交AD于點F.(1)求證： BDF是等腰三角形;(2)如圖2,過點D作DGII BE,交BC于點G,連接FG交BDT點O.判斷四邊形BF

17、DG勺形狀，并說明理由;若AB= 6, AD= 8,求FG的長.類型六圖形的相似變換前脂【探究證明】(1)某班數學課題學習小組對矩形內兩條相互垂直的線段與矩形兩鄰邊的數量關系進行探究，提出下列問EF_ ADGHT A&題，請你給出證明: 如圖1,矩形ABCD43, EF± GH EF分別交AB, CD于點E, F, GHb別交 AD BC于點G H.求證:【結論應用】EF 11 -BN-(2)如圖2,在滿足(1)的條件下，又AML BN點M N分別在邊BC CD上.若前1r則鄢值為【聯系拓展】 如圖 3,四邊形 ABCD43, / ABC= 90° , AB= AD

18、= 10, BC= CD= 5, AML DN 點 M, N 分別在邊 BC, ABDN上，求AM勺值圖I圖2圖3【分析】（1）過點A作AP/ EF,交CD于點P,過點B作BQ/ GH交AD于點Q易證AP EF, GH= BQ PDM QAB然后運用相似三角形的性質就可以解決問題;（2）只需運用（1）中的結論，就可得到EF= AD= BN,就可以解決問題;GH AB AM過D作AB的平行線，交BC的延長線于點E,彳AF± AB交直線DE于點F,易證得四邊形 ABEF是矩形,通過等量代換，得/ 1=7 3,進而彳#到4 ADM DCtE根據相似三角形的性質，得出線段DE, AF, DC

19、 AD之間的關系，再通過設未知數及勾股定理求出AF,最后根據（1）中的結論，即可解決問題.【自主解答】魅命題研盍專版點撥求兩條線段的比，一般有兩種方法：一是根據定義，求出兩條線段的長度，再求兩條線段的比；二是利用 比例線段，等比轉換，能夠產生比例線段的是相似三角形和平行線，可以利用相似三角形和平行線的性質 去尋找比例線段.在含有比值與相似的問題中，關鍵是證明三角形相似.判定三角形相似的方法一般有：（1）條件中若有平行線，可采用找角相等證兩個三角形相似；（2）條件中若有一組對應角相等，可再找一組對應角相等或再找此角所在的兩邊對應成比例；（3）條件中若有兩邊對應成比例，可找夾角相等；（4）條件中若

20、有一組直角，可考慮再找一組等角或證明斜邊、直角邊對應成比例；（5）條件中若有等腰關系，可找頂角相等或找對應底角相等或底和腰對應成比例.7. （2018 湖州中考）已知在RtABC中，/ BAC= 90° , AB> AC, D, E分別為 AC, BC邊上的點（不包括端M,延長DM交AB于點F.一 DC AC .一 一一一 .，點），且=%、= m,連接AE,過點D作DMLAE,垂足為點BE BC如圖1,過點E作EH!AB于點H,連接DH.求證：四邊形 DHEO平行四邊形;2右m=,求證：AE= DF;，一 _3DF,（2）如圖2,右m= 5,求AE的值.類型七 類比、拓展類探

21、究問題 通入 （ 2018 淄博中考）（1）操作發現：如圖1,小明畫了一個等腰三角形 ABG其中AB= AC,在 ABC的 外側分別以AB, AC為腰作了兩個等腰直角三角形 ABD ACE.分別取BD CE, BC的中點 M N, G.連接GMGN小明發現了：線段 GMW GN的數量關系是 ;位置關系是（2）類比思考：如圖2,小明在此基礎上進行了深入思考.把等腰三角形ABCa為一般的銳角三角形.其中AB>AC其他條件不變，小明發現的上述結論還成立嗎？請說明理由.（3）深入探究：如圖 3,小明在（2）的基礎上，又作了進一步探究，向ABC的內側分別作等腰直角三角形ABD ACE.其他條件不變

22、，試判斷 GMN勺形狀，并給予證明.【分析】（1）利用SAS判斷出 AEg ACtD得出EB= CD / AEB= / ACD進而判斷出 EB± CD最后用三角形中位線定理即可得出結論;（2）同（1）的方法即可得出結論；（3）同（1）的方法得出MG= NG最后利用三角形中位線定理和等量代換即可得出結論.【自主解答】8. （2018 日照中考）問題背景：我們學習等邊三角形時得到直角三角形的一個性質：在直角三角形中，如果一個銳角等于 30° ,那么它所對的直角邊等于斜邊的一半.即：如圖 1,在RtABC中，/ ACB= 90。， 一 。一 1,/ ABC= 30 ,貝U AC=

23、 2AB.探究結論：小明同學對以上結論作了進一步探究.1如圖1,連接AB邊上中線CE,由于CE= 2AB,易得結論：ACE為等邊三角形； BE與CE之間的數量關系為(2)如圖2,點D是邊CB上任意一點，連接 AD,作等邊/ ADE且點E在/ ACB的內部，連接BE.試探究線 段BE與DE之間的數量關系，寫出你的猜想并加以證明；(3)當點D為邊CB延長線上任意一點時，在 (2)條件的基礎上，線段 BE與DE之間存在怎樣的數量關系？ 請直接寫出你的結論 ;拓展應用：如圖3,在平面直角坐標系 xOy中，點A的坐標為(一J3, 1),點B是x軸正半軸上的一動點，以AB為邊作等邊 ABC.當C點在第一象

24、限內，且 B(2, 0)時，求C點的坐標.片J _o 2 X圖3參考答案類型一【例 1】(1) .在 RtABC中，/ A= 30° , AB= 4,AC= 2 3.PD±AC, / ADP= Z CDP= 90° .在 RtADP中,AP= 2t ,DP= t , AD= 3t ,CD= AC- AD= 273-曲(0 vt<2).(2)在 RtPDQ中，. /DPQ= 60° , .PQD= 30° =/A,，PA= PQ.PD± AC,AD= DQ.點 Q和點 C重合，AD+ DQ= AC, .24=2® .&q

25、uot; = 1. 當 0vtwi 時，S= Sapdc 1dQ- DP= 1x>/3t - t =23t2.如圖，當1vt <2時，CQ= AQ- AC= 2A目 AC=2 pt 2串=2串6 -1) 在 RtACEC, / CQE= 30° ,.CE= CQ- tan Z CQE= 2小(t - 1) x 號=2(t -1),S= S；apdq-Saec£x/t t1><2淄(t 1)X2(t -1) =-323t2+4/3t -2/3,S=(0<t < 1)323t2+4淄t 23 (1<t<2)(4)如圖，當PQ的垂直

26、平分線過 AB的中點F時,。 1 / PGF= 90 , PG= PQ=1AP= t , AF= 1AB= 2. 2'2 . / A= / AQP= 30° , ./FPG= 60° , .PFG= 30° ,PF= 2PG= 2t,AP+ PF= 2t +2t =2,1.t = t2.如圖，當PQ的垂直平分線過 AC的中點N時, / QMN90° ,AN= 1AC= ,3,八 1QM= PQ= AP= t.在 RtANMCfr, NQ=MQocos 30AN+ NQ= AQ如圖，當PQ的垂直平分線過 BC的中點F時,BF=尹0= 1 , PE=

27、 PQ= t , / H= 30 . /ABC= 60° , ./ BFH= 30° =/ H,BH= BF= 1.在 Rt PEH中,PH= 2PE= 2t. AH= AP+ PH= AB+ BH, ，2t+2t =5,. t = 5.4即當線段PQ的垂直平分線經過 ABC一邊中點時，t的值為1或?或5.2 4 4變式訓練1,解：（1）BP =CE CE! AD提示：如圖，連接 AC.四邊形ABC虛菱形,/ABC= 60° , .ABC ACDtB是等邊三角形，/ ABD= / CBD= 30° , . AB= AC.又APE是等邊三角形，AP= AE

28、, / BAC= / PAE= 60BAP= / CAE.BA國 ACAEBP= CEL, / ABP= Z ACE= 30°延長CE交AD于點H. / CA+ 60° , / CAM / AC+ 90 ，/AHG= 90° ,即 CH AD.(2)結論仍然成立.理由：如圖，連接 AC交BD于點0,設CE交AD于點H. 四邊形 ABC虛菱形,/ ABC= 60° , .ABC ACDtB是等邊三角形，/ ABD= / CBD= 30AB= AC.APE是等邊三角形，AP= AE, / BAC= Z PAE= 60° , ./ BAP= / CA

29、E.BA國 ACAEBP= CE, / ABP= Z ACE= 30° . . /CAH= 60° , .CA* Z ACH= 90° ,，/AHC= 90° ,即 CE1 AD.也可選用圖3進行證明，方法同上. 如圖，連接 AC交BD于點0,連接CE交AD于點H,由(2)可知 EC± AD, CE= BP.在菱形 ABCD43, AD/ BC,EC± BC. BC= AB= 2事，BE= 2布,在 RtBCE中，EC= (2赤)2- ( 2>/3) 2 =8,BP CE 8. AC與BD是菱形的對角線，,1， 一 。，/ABD

30、=ABC= 30 , ACL BD,BD= 2B0= 2AB cos 30 ° = 6,.0A= 1AB=娟，D' BP BD= 8-6 = 2, .0之 OA DP= 5.在 Rt AOP中,AP a0+ OP = 2/,2X3 +(2/)2=&；3._1vADPE S/ADp+ S/AEP 2 X類型【例2】(1)如圖，作DHL AB于點H,則四邊形 DHB%矩形,，CD=B+8, D+BC=6. A+ AB- BH=8, AA 'D+A=10,AP AD- DP= 10-2t.(2)如圖，作PN AB于點N,連接PB.在 RtAPN中,PA= 10-2t

31、 ,_ 一 3PN= PA- sin /DAH=(10 2t),5_/ _4AN= PA - cos / DAH= g(10 2t),4BN= 16-ANI= 16-7(10 -2t), 5 S= Sa pqb+ SaBCP= - .(16 -2t)|(10-2t)+1X 6X 16-4(10 - 2t) =ft2- ,、 -(102t) -35解得t = 274t +72.252555當 QPL BD 時，/ PQN+ / DBA= 90 /QPW / PQN= 90° , .QPN= Z DBAQN 3 tan Z QPN= pN=4 , 一(102t) -2t5經檢驗，t =

32、27是分式方程的解，且符合題意，-35一 _ , _.當 t =27M， QP，BD.(4)存在.理由如下：如圖，連接 BE交DHR1點K,彳KML BD點M.當 BE 平分/ ABD時， KBH KBMKH= KM BH= BM= 8. BD= CD+BC2=10,DM= 2.設 KH= KM= x,在 RtADKM, (6 -x)2=22+x2,解得x =- 3如圖，作 EH AB于點F,則 AE國 QPN34EF= PN= -(10 -2t) , AF= QN= -(10 -2t) 2t. 554BF= 16 (102t) 2t.5 KH/ EF, KH BHEF= BF'8 .

33、3 83 (102t )16- 4 (102t ) 2t5525解得t = 18.經檢驗，t = 25是分式方程的解，且符合題意, 18，點E在/ABD的平分線上.變式訓練2.解：(1)當 t.= 2 時，OM= 2,在 RtAOPM, / PO附 60P隹 OM- tan 60 ° = 2班.在 RtAOMCQ, / QO璃 30°QM= OM- tan 30PQ= PM- QM= (2)當 tW4時，AN PO= 2OM= 2t , t=4時，P到達 CM N到達B點，點P, N在邊BC上相遇.設t秒時，點P與N重合，則(t 4)+2(t 4) =8,解得t =,即t

34、= y-秒時，點P與N重合.一.1 當 0V t W 4 時，S= 2 2t 4sj3= 43t.當 4<tw 箏寸,S= ；X8(t - 4) - (2t -8) X4小=40班65t.當 20<tW8 時，S= ；X(t 4) + (2t 8) 8 X4小 32=6郎40匹當8<t W 12 時)S= S 菱形 abco Saaol Saabp S cpn-1- 1- 13=32小2 - (24 - 2t)4乖-2 8 (t 4) 4/3-(t - 4) 2- - (2t - 16)=-孚t2+12峋564綜上所述，S與t的函數關系式為4aJ3t (0<tW4),4

35、0m-6#t (4<tw§), 3S6mt 40m(20<t W8),坐2+12. 56m(8<t W12).類型三【例3】(1)四邊形ACC A是菱形.理由如下： 由平移的性質得到 AC/ A C ,且AC= A C , 則四邊形ACC A'是平行四邊形，/ ACC = / AA' C .又 CD平分/ ACB的夕卜角，即易證CD也平分/ AA C',(2) .在 ABC中,/ B=90°12AB= 24, cos / BAC=, 13AB 12 口. cos / BAC=,即AC 132412AC=k26由勾股定理知 BC= &

36、quot;aC aB =/62 242 = 10.又由(1)知，四邊形ACC A'是菱形,AC= AA' =26.由平移的性質得到 AB/ A' B' , AB= A' B',則四邊形ABB A'是平行四邊形,AA' = BB' = 26, .CB' = BB' - BC= 2610=16.變式訓練3 . A4 .解：(1) -27(2)/ AOB= 90° ,點 C是 AB的中點,1 _,.OC= BC= AB,/ CBO= Z COB.四邊形OBD牖正方形,BD= OE / DBO=/EOB=

37、 90° , ./ CBD= / COE.CB= CO在 CB麗 ACOE,/ CBD= / COEBD= OE . CBD COE(SAS) (3) S= - g + 1. a = "I或22 2類型四【例4】(1)當CC =寸3時，四邊形 MCND為菱形.理由：由平移的性質得 CD/ C D' , DE/ D' E'.ABC為等邊三角形，/ B= Z ACB= 60° ,ACC = 180° 60° = 120° .CN是/ ACC的角平分線，NCC = 60° . AB/ DEDE/ D'

38、;E' ,AB/ D' E',. D' E'C' = /B= 60°,. D' E'C' = /NCC , D' E' /CN 四邊形 MCND為平行四邊形. . / ME C' = / MCE = 60° , Z NCC = / NC C= 60° , . MCE和 NCC為等邊三角形，MC= CE' , NC= CC .又. E' C' = 2/3, CC = &.CE' = CC = ® MC= CN .,四邊形

39、MCND為菱形.(2) AD' =BE'.理由：當“w 180°時，由旋轉的性質得/ ACD = / BCE由(1)知 AC= BC, CD = CE', .ACD 9 BCE ,AD = BE'.當“=180° 時，AD = AC+ CD , BE' = BC+ CE', 即 AD' = BE'.綜上可知，AD' = BE'.如圖，連接CP,在AACP中，由三角形三邊關系得AP<ACF CP 當 A C, P三點共線時 AP最大.此時，AP= AC+ CP.在 D' CE中，由

40、P為D' E'中點得 API D' E' , PD'=木,CP= 3, AP= 6 + 3=9.在RtAPD中，由勾股定理得AD，= yAP + PD' 2 =囚92+ （淄）2 = 2P.變式訓練5. （1）解：菱形（2）證明：二.點F是CC的中點，CF= FC'. FG= AF, .四邊形 ACGC是平行四邊形. .在 Rt ABOT RtAAC D中，/ BAO Z ACB= 90° , / ACB= / DAC , / BAO / DAC = 90° .又 B, A, D三點在同一條直線上，CAC =90

41、76; ,四邊形ACGC是矩形. AC= AC' , .四邊形 ACGC是正方形.解：在 RtAA' BC和Rt BC D中，BC= BD= ：4222= 2 ：3. RtAA? B蓋 Rt BC D,. / DBC + / BA' C= 90° , ./ BHA = 90° ,BC' LA' C.在 RtAA? BC中，A' C- BH= BC- A' B,即 4BH= 2X 28BH=小,C H= BC - BH= 4 血在 RtAA? BH中，A' H=B2bH =也2_（/）2 =1，CH= 4-1=

42、3,C H 4-J31 tan / C' CH= T= CH 34tan / C CH的值為一3.類型五【例5】（1）二,折疊紙片使B點落在邊AD上的E處，折痕為PQ.點B與點E關于PQ對稱，PB= PE, BF= EF, / BPF= Z EPF.又 EF/ AB,/ BPF= / EFP,/ EPF = / EFP,EP= EF, .1. BP= BF= FE= EP, 四邊形BFEPJ菱形.(2)如圖1,圖1 四邊形ABC的矩形，BC= AD= 5 cm ,CD= ab= 3 cm, / A= /又 90° . 點B與點E關于PQ對稱，CE= BC= 5 cm.在 Rt

43、CDE中,D=C=CD2,即 DE= 52 32,DE= 4 cm,，AE= AD- DE= 5-4=1(cm).在 RtAPE中,AE= 1 , AP= 3-PB= 3-PE,EP2=12+ (3 -EP)2,解得 EP= 5 cm,35.菱形BFEP的邊長為-cm.3AE= 1 cm.ABQ時正方形,當點Q與點C重合時，如圖1,點E離A點最近，由知，此時當點P與點A重合時，如圖2,點E離A點最遠，此時四邊形AE= AB= 3 cm , 點E在邊AD上移動的最大距離為 2 cm.變式訓練6. (1)證明：根據折疊的性質知/ DBC= / DBE.又AD/ BC .1 / DBC= / ADB

44、/ DBE= / ADB .DF= BF, . BDF是等腰三角形.(2)解：四邊形 ABCD矩形，AD/ BC,FD/ BG.又 DG/ BE .四邊形 BFDG平行四邊形. .DF= BF, .四邊形 BFDG1菱形._ 1 6, AD= 8,BD= 10, .1. OB=區32 5.彳由設 DF= BF= x,貝U AF= AD- DF= 8-x, 在 RtMBF中，AB2+AF2= BF2,即 6 + (8 x) = x ,解得 x = -4-,即 BF= -4-,FO=254八 八15FG= 2FO=.2類型六【例6】(1)如圖，過點 A作AP/ EF,交CD于點 巳過點B作BQ/

45、GH交AD于點Q 交AP于點T.四邊形 ABC虛矩形，AB/ DC AD/ BC,四邊形AEF可口四邊形BHGQTB是平行四邊形,AP= EF, GH= BQ. GHL EF,API BQ ./ QAH / AQT= 90 °四邊形ABC虛矩形,/ DAB= / D= 90° ,/ DA% / DPA= 90° , ./ AQT= / DPAAPAD.PD-"AB 'B0r REF_ adgH" AB11(2) 15.提示：EF± GH A® BNADEF AD BN.由結論可得GHT & AMT AB，BN

46、_EF_ 11AMT GhT 15.(3)如圖，過D作AB的平行線，交 BC的延長線于E,作AF± AB交ED延長線于點 F.天才是百分之一的靈感加百分之九十九的勤奮 . / BAF= / B=Z E= 90° , 四邊形ABEF是矩形.連接AC,由已知條件得 AD室 ABQ ./ ADC= Z ABG= 90° ,Z 1 + Z 2=90°又/ 2 + Z 3=90° ,1 = Z 3, .ADD DCEDE DC 51=.AF AD 10 2設 DE= x,則 AF= 2x, DF= 10-x.在 RtMDF中，AF2+Dp=Aj,即(2x

47、) 2+ (10-x) 2=100,解得 X1=4, x2= 0(舍去)，AF= 2x= 8,DN AF 84/. 一= 一.AM AB 10 5變式訓練7. (1)證明：: EHL AB, / BAC= 90EH/ CA BH曰 BACBE HEbcT AC叱AC 'BE= BCHE_DC-ACT Ad EH/ DCBE_ DC BC= ACHE= DC.四邊形DHEC1平行四邊形.AC= AB.AC 2證明：. = t-, / BAC= 90° ,BC 2嗎二BE- 2八 HE 2,HE= DC ，一 = 一' J BE 2 . / BH±90°