1、階直線倒立擺系統姓名： 班級： 學號：- 3 -目錄摘要3第一部分單階倒立擺系統建模 4（一） 對象模型4（二）電動機、驅動器及機械傳動裝置的模型 6第二部分單階倒立擺系統分析7第三部分 單階倒立擺系統控制 11（一）內環控制器的設計11（二）外環控制器的設計14第四部分單階倒立擺系統仿真結果 16系統的simulink 仿真 16摘要：該問題源自對于娛樂型”獨輪自行車機器人”的控制，實驗中對該系統進行系統仿真，通過對該實物模型的理論分析與實物仿真實驗研究，有助于實現對獨輪自行車機器人的有效控制?？刂评碚撝邪汛藛栴}歸結為“一階直線倒立擺控制問題” 。另外，諸如機器人行走過程中的平衡控制、火箭發

2、射中的垂直度控制、衛星飛行中的姿態控制、海上鉆井平臺的穩定控制、飛機安全著陸控制等均涉及到倒立擺的控制問題。實驗中通過檢測小車位置與擺桿的擺動角，來適當控制驅動電動機拖動力的大小，控制器由一臺工業控制計算機(IPC)完成。實驗將借助于“ Simulink封裝技術一一子系統” ，在模型驗證的基礎上，采用雙閉環PID 控制方案，實現倒立擺位置伺服控制的數字仿真實驗。實驗過程涉及對系統的建模、對系統的分析以及對系統的控制等步驟，最終得出實驗結果。仿真實驗結果不僅證明了PID 方案對系統平衡控制的有效性，同時也展示了它們的控制品質和特性。第一部分單階倒立擺系統建模（一） 對象模型由于此問題為“單一剛性

3、錢鏈、兩自由度動力學問題”，因此，依據經典力學的牛頓定律即可滿足要求。如圖1.1所示，設小車的質量為m0 ,倒立擺均勻桿的質量為m ,擺長為21 , 擺的偏角為，小車的位移為x,作用在小車上的水平方向上的力為 F, Q為擺 桿的質心。圖1.1 一階倒立擺的物理模型根據剛體繞定軸轉動的動力學微分方程,轉動慣量與角加速度乘積等于作用于剛體主動力對該軸力矩的代數和，則1)擺桿繞其重心的轉動方程為J&& FV1 sinFX1 cosyx(1-1)2)擺桿重心的水平運動可描述為Fx m(x Isin )dt2(1-2)3)擺桿重心在垂直方向上的運動可描述為Fy mg m,cos )(1-

4、3)4)小車水平方向運動可描述為(1-4)d2xFFxmo -Tdt由式（1-2）和式（1-4）得(m0 m)&& ml(cos && sin&2) F(1-5)由式(1-1)、式(1-2)和式(1-3)得(J ml2) && ml cos && mlgsin(1-6)整理式（1-5）和式（1-6）,得(J ml2)F lm(J ml2)sin& m2l2g sin cos(1-7)(J ml2)(mo m) m2l2cos2&& ml cos F m2l2 sin cos & (m0 m)

5、mlgsinm2l2 cos2(mo m)( J ml2)因為擺桿是勻質細桿，所以可求其對于質心的轉動慣量。因此設細桿擺長為2l ,單位長度的質量為l ,取桿上一個微段dx,其質量為m ldx,則此桿對于質心的轉動慣量有l23J J ldx）x2 ll /3桿的質量為m 2 ll所以此桿對于質心的轉動慣量有由式（2-20）可見，一階直線倒立擺系統的動力學模型為非線性微分方程組。為了便于應用經典控制理論對該控制系統進行設計,必須將其簡化為線性定常的-7 -系統模型若只考慮在其工作點0 0附近（1010 ）的細微變化，則可近似認及 0 sin cos 1在這一簡化思想下，系統精確模型式（1-7）可

6、簡化為22 2X&(J ml2)F m212g2J(m0 m) mm0l&& (m0 m)mlg mlF 2J(mb m) mm)l若給定一階直線倒立擺系統的參數為：小車的質量m。2kg；倒擺振子的質量m 1kg ；倒擺長度2l 0.6m；重力加速度取g 10m/s2,則可得到進一步的簡化模型為X& 0.44F 3.33& 0.4F 12(1-8)上式為系統的”微分方程模型”，對其進行拉普拉斯變換可得系統的傳遞函數模型為G(s)(s)Rs)G2(s)曾 (s)0.4s2 1221.1s102s(1-9)(二)電動機、驅動器及機械傳動裝置的模型假設：選用日

7、本松下電工 MSMA021小慣量交流伺服電動機，其有關參數如下:驅動電壓：U=0 100V額定轉速：n=3000r/min額定轉矩：TN 0.64N m額定功率：PN =200W轉動慣量：J 3 10 6 kg m2最大轉矩：Tm 1.91N m電磁時間常數：T =0.001s電機時間常數：Tm=0.003s經傳動機構變速后輸出的拖動力為：F=016N;與其配套的驅動器為:MSDA021A1A控制電壓：Uda = (0±10) V。若忽略電動機的空載轉矩和系統摩擦，就可以認為驅動器和機械傳動裝置均為純比例環節，并假設這兩個環節的增益分別為 Kd和Km O對于交流伺服電動機，其傳遞函數

8、可近似為KvTmTis2 Tms 1由于是小慣性的電動機，其時間常數 T1、Tm相對都很小，這樣可以進一步將電動機模型近似等效為一個比例環節 Kv。綜上所述，電動機。驅動器。機械傳動裝置三個環節就可以合成為一個比例 環節G(s) KdKvKm Ks& & 16 1.6Umax 10第二部分單階倒立擺系統分析盡管上述數學模型系經機理建模得出，但其準確性(或正確性)還需運用 一定的理論方法加以驗證，以保證以其為基礎的仿真實驗的有效性。采用仿真實驗的方法在 MATLA的Simulink圖形仿真環境下進行模型驗證試 驗，其原理如圖1.2所示。其中，上半部分為精確模型仿真圖，下半部分為簡

9、化 模型仿真圖。Intera-faxInraipfl> 叼.EITO T噓lrt&3rElC<21門二也口憶凸I rtc.gr sin14-inrai&r圖1.2模型驗證原理圖利用Simulink壓縮子系統功能可將驗證原理圖更加簡捷的表示為圖1.3所示的形式。其中，由得到的精確模型和簡化模型的狀態方程，可得到Fcn、Fcn1、Fcn2和Fcn3的函數形式為Fcn: (0.12*u1+0.036*sin(u3)*power(u2,2)-0.9*sin(u3)*cos(u3)/(0.24-0.09*power(cos(u3),2)Fcn(1): (0.3*cos(u3)

10、*u1+0.09*sin(u3)*cos(u3)*power(u2,2)-6*sin(u3)/(0.09*power(cos(u3),2)-0.24)Fcn(2): 0.8*u1-0.6*u3Fcn(3): 40*u3-2.0*u1假定使倒立擺在(圖1.3利用子系統封裝后的框圖0,x 0 )初始狀態下突加微小沖擊力作用，則依據經驗知，小車將向前移動,擺桿降倒下。下面利用仿真實驗來驗證正確數學模型的這一必要性質。編制繪圖子程序:% Inverted pendulum % Model test in open loop% Singnals recuperation%將導入到xy.mat中的仿真實驗

11、數據讀出load xy.matt=signals(1,:);%f=signals(2,:);%x=signals(3,:);%q=signals(4,:);%xx=signals(5,:);%qq=signals(6,:);%讀取時間信號讀取作用力F信號讀取精確模型中的小車位置信號讀取精確模型中的倒立擺擺角信號讀取簡化模型中的小車位置信號讀取簡化模型中的倒立擺擺角信號% Drawing control and x (t) response signals%畫出在控制力的作用下的系統響應曲線%定義曲線的橫縱坐標、標題、坐標范圍和曲線的顏色等特征定義第一個圖形連接時間-作用力曲線定義橫坐標定義縱坐

12、標定義坐標范圍position ')，bottom '，right , Color , Nonefigure (1) hf=line (t,f(:);%grid on;xlabel ( Time (s) )%ylabel ( Force ( N) )%axis (0 1 0 0.12)%axet=axes ( position ， get (gca, XAxisLocation YAxisLocationXColor , k , YColor , k)parent , axet) ;連接時間-小車位置曲線%定義曲線屬性ht=line (t, x, color , r ht=li

13、ne (t, xx,%color , r , parent , axet);%連接時間- 小車速度曲線ylabel ( Evolution of the x position (m) )%定義坐標名稱axis (0 1 0 0.1)%定義坐標范圍title ( Response x and x in the meter to a f (t) pulse of 0.1 N )%定義曲線標題名稱gtext ('leftarrow f (t)' ), gtext (' x (t) rightarrow ), gtext( leftarrow x (t) )% drawing

14、control and theta (t) response singalsfigure (2)hf=line (t, f (:);grid onxlabel ( Time )ylabel ( Force in N )axis (0 1 0 0.12)axet=axes ( ' Position ' , get (gca,Position '),XAxisLocation ' , ' bottom'，'YAxisLocation ' , ' right ' , ' Color' , ' No

15、ne， 'XColor' , ' k' , ' YColor' , ' k');ht=line (t, q,'color ' , ' r' , ' parent ' ,axet);ht=line (t, qq,' color ' , ' r' , ' parent ' ,axet);ylabel ('Angle evolution (red) ')axis (0 1-0.3 0)title (' response

16、 theta(t) and theta ' ' (t) in rad to a f(t) pulse of 0.1 N ')gtext ('leftarrow f(t) ' ),gtext ('theta (t) rightarrow ' ),gtext('leftarrow theta ' ' (t)')好巴)cQ-lno誑4|-孝<執行該程序的結果如圖1.4所示。從中可見，在0.1N的沖擊力作用下，擺 桿倒下(由零逐步增大)，小車位置逐漸增加，這一結果符合前述實驗設計， 故可以在一定程度上確認該“

17、一階倒立擺系統”的數學模型是有效的。同時，由 圖中也可看出近似模型在 0.8s以前與精確模型非常接近，因此，也可以認為近 似模型在一定條件下可以表述原系統模型的性質。R&solnie x and x' ni Lhe儂臼 t。 r(Li pulse of 0.1 N0 12 r二:r-r二r-)0 12IkIdbIhIi圖1.4模型驗證仿真結果第三部分單階倒立擺系統控制由于一階倒立擺系統位置伺服控制的核心是 “在保證擺桿不倒的條件下，使 小車位置可控”。因此，依據負反饋閉環控制原理，將系統小車位置作為“外環”， 而將擺桿擺角作為“內環”，則擺角作為外環內的一個擾動，能夠得到閉環系

18、統 的有效抑制（實現其直立不倒的自動控制）。剩下的問題就是如何確定控制器（校正裝置）D1（s）/D1s）和D2（s）/D2'（s）的結構和參數。（一）內環控制器的設計+一仇呷）一K 一 小 _*0 中2 裝氏（，）圖1.5反饋校正控制的系統內環框圖其中，Ks=1.6為伺服電動機與減速機構的等效模型1.控制器的選擇內環系統未校正時的傳遞函數為一f6F(s) s 12對于內環反饋控制器 錯誤!未找到引用源。 D2(s)可有PD, PI, PID三種可能 的結構形式，這里，不妨采用繪制各種控制器結構下“系統根軌跡”的辦法加以 分析比較，從之選出一種比較適合的控制器結構。各種控制器的開環傳函的

19、傳遞函數分別為：P:篝6.4KdS 6.4KpPD:2ps 126.4Kps 6.4KiPI :Ps(s2 12)26.4Kps2 6.4Kps 6.4KIPID :p.pI-s(s2 12)在Matlab下輸入以下程序用 湊試”的方法畫根軌跡圖:num=分子;den=分母;xlabel('Real Axis');ylabel('Imag Axis');axis(橫、縱坐標范圍);title('Root Locus');grid;rlocus(num,den)下圖為各種控制器下的系統根軌跡:-21 -錯誤!未找到引用源(a) PD(b) PD(c

20、) PId)PID從根軌跡不難發現，采用PD結構的反饋控制器，結構簡單且可保證閉環系統的穩定。所以，選定反饋控制器的結構為 PD形式的控制器2.控制器參數的選定首先暫定K20。這樣可以求出內環的傳遞函數為:20 1.6 -2: KKsG2(s) s2 121 KKsG2(s)D'2(s) i 20 1.62 0.4 (Kp2s 小s2 1212.8s2 12.8Kd2s 12.8Kp2 122Wn2 12.8Kp2 12 12.8Kp2 1.94,_解得：2 Wn 12.8Kd2 2 0.70712.8Kd2 0.39D20.39s 1.94系統內環傳遞函數為:%(s)12.82s2

21、5s 12.83.系統內環的simulink仿真及結果仿真結果為:1.1s2 102s12.8( 1.1s2 10) s2(s2 5s 12.8)（二）外環控制器的設計128W2(s)G(s)s2 5s 12.8可見，系統開環傳遞函數可視為一個高階（4階）且帶有不穩定零點的“非最小相位系統”，為了便于設計，需要首先對系統進行一些簡化處理。1 .系統外環模型的降階（1）對內環等效閉環傳遞函數的近似處理12.8W2 (s)s 5s 12.8將高次項S2忽略，有W2(s)12.85s 12.810.39s 1近似條件可由頻率特性導出，即W2(j )12.8(j )2 5(j ) 12.812.812.82 5j由（2）得：W2（j ）12.85