1、托普高考教育中 文 科 數 學 公 式 總 結、函數、導數1 .元素與集合的關系：xAxCUA,xCUAxA.? A A集合ai,a2,L ,an的子集個數共有2n個；真子集有2n1個；非空子集有2n1個；非空的真子集有2n 2個.2.真值表常見結論的否定形Pq非pp或qp且q真真假真真真假假真假假真真真假假假真假假八;原結論反設詞原結論反設詞是不是至少有一個一個也沒有都是不都是至多什-個至少用兩個不大于至少有n個至多有（n 1）個小于不小于至多后n個至少有（n 1）個對所有x ,成立存在某x ,不成立p或qp且q對任何x ,不成立存在某x ,成"p且qp或q四種命題的相互關系（下圖

2、）：（原命題與逆否命題同真同假；逆命題與否命題同真同假第1頁（共9頁）（1）充分條件：若 p q ,則p是q充分條件.（2）必要條件：若q p,則p是q必要條件.（3）充要條件：若 p q ,且q p ,則p是q充要條件. 注：如果甲是乙的充分條件，則乙是甲的必要條件；反之亦然4.全稱量詞 表示任意,表不存在；的否定是的否定是2例：x R, x x 1 0 的否定是2x R, x x 1 05 .函數的單調性托普高考教育(1)設 x1、x2 a,b, x1 f(xi) fM) 0 f(xi)f(X2)0x2那么f (x)在a,b上是增函數;f (x)在a,b上是減函數(2)設函數y f (x)

3、在某個區間內可導，若 f (x) 0,則f (x)為增函數；若f (x) 0 ,則f (x)為減函數.6 .復合函數yfg(x)單調性判斷步驟:(1)先求定義域(2)把原函數拆分成兩個簡單函數y f(u)和u g (x)(3)判斷法則是同增異減(4)所求區間與定義域做交集7 .函數的奇偶性(1)前提是定義域關于原點對稱。(2)對于定義域內任意的 x,都有f( x) f(x),則f (x)是偶函數；對于定義域內任意的 x,都有f ( x) f(x),則f(x)是奇函數。(3)奇函數的圖象關于原點對稱，偶函數的圖象關于y軸對稱。8 .若奇函數在x=0處有意義，則一定存在f 00 ；若奇函數在x=0

4、處無意義，則利用 f xf x求解;第4頁(共9頁)9 .多項式函數P(x) anxn an ixn 1a0的奇偶性多項式函數P(x)是奇函數P(x)的偶次項(即奇數項)的系數全為零多項式函數P(x)是偶函數P(x)的奇次項(即偶數項)的系數全為零10 .常見函數的圖像：11 .函數的對稱性函數y f(x)與函數y(2)對于函數y f (x) ( xf( x)的圖象關于直線 x 0(即y軸)對稱.R), f (a x) f (a x)恒成立，則函數f(x)的對稱軸是x對于函數y f (x)( x R), f (x a)f (b x)恒成立，則函數f (x)的對稱軸是x12 .由f(x)向左平移

5、一個單位得到函數f(x 1)由f(X)向右平移-個單位得到函數f(x 1)由f(x)向上平移一個單位得到函數f(x) 1由f(x)向下平移一個單位得到函數f(x) 1y f (x a) b的圖象；若將曲線若將函數y f(x)的圖象向右移 a、再向上移b個單位，得到函數f(x,y) 0的圖象向右移a、向上移b個單位，得到曲線 f(x a,y b) 0的圖象. 13.函數的周期性(1) f (x) f (x a),則 f (x)的周期 T a ;(2) f (x a)f(x),則 f(x)的周期 T 2 a一1(3) f (x a),則 f (x)的周期 T 2 af(x)(4) f (x a)

6、f (x b),則 f(x)的周期 T a b ;14 .分數指數m (1) an Vam (a 0,m, n N ,且 n 1).11(2) a n-(a 0, m, n N ,且 n 1)m n ma方- a a15 .根式的性質(1)(癡n a.(2)當n為奇數時，nan a；,，一， n n-a, a 0當n為偶數時，Van |a|a, a 0r s r sa a a (a 0, r,s Q) r r r _(ab) a b (a 0,b 0,r Q).ab N (a 0,a 1,N 0).16 .指數的運算性質 ar asar s(a 0, r,s Q) (2)(3) (ar)sar

7、s(a 0,r,s Q) (4)17 .指數式與對數式的互化式：logaN b18 .對數的四則運算法則：若a>0, aw1, M>0, N>0,則 log a (MN) lOgaM log a N ; (2) log a M log a M log a N ;N(3) log a M n n loga M (n R) ; (4) log am Nn loga N (n, m R) m(5)loga a 1(6) loga1 00).19 .對數的換底公式：logaN 10gm N ( a 0,且 a 1, m 0,且 m 1, N log ma倒數關系式：loga b lo

8、g ba 120 .對數恒等式：alogaN N ( a 0,且 a 1, N 0).21 .零點存在定理:如果函數f(x)在區間(a,b )滿足f(a)f (b) 0,則f(x)在區間(a,b )上存在零點。22 .函數y f (x)在點Xo處的導數的幾何意義23.函數y是yyof (x)在點xo處的導數是曲線 yf (Xo)(XXo).幾種常見函數的導數C 0(sin x)(C為常數)(ln x)cosx1(2)(4)(6)f (X)在P(X0, f(Xo)處的切線的斜率f (Xo),相應的切線方程X (e )(8)(Xn)(cos x)(logaX (a )nnxx)1(n Q) sin

9、 x1xln aaxln a.24 .導數的運算法則(1) (u v) u(2) (uv)u v uv(3)(與vu v uv /2 (v 0) v25 .復合函數的求導法則設函數u (x)在點x處有導數Ux(x),函數yf (u)在點x處的對應點U處有導數yuf(u),則托普高考教育 . . . . ' ' ' . _ ' . ' '復合函數y f( (x)在點x處有導數，且yx y Ux,或與作fx( (x) f (u) (x).26 .求切線方程的步驟：求原函數的導函數 f (x)把橫坐標xo帶入導函數f (x),得到f (x0),則斜率k

10、 f (xo)點斜式寫方程y y0 f (x0)(x x0)27 .求函數的單調區間求原函數的導函數 f (x)令f (x) 0,則得到原函數的單調增區間。令f (x) 0,則得到原函數的單調減區間。28 .求極值常按如下步驟：求原函數的導函數 f (x);令方程f (x)=0的根，這些根也稱為可能極值點檢查在方程的根的左右兩側白符號，確定極值點。(可以通過列表法)如果在x0附近的左側f (x) 0,右側f (x) 0,則f(xo)是極大值；如果在飛附近的左側f (x) 0 ,右側f (x) 0 ,則f(xo)是極小值.將極值點帶入到原函數中，得到極值。29 .求最值常按如下步驟：求原函數的極

11、值。將兩個端點帶入原函數，求出端點值。 將極值與端點值相比較，最大的為最大值，最小的為最小值。、三角函數、三角變換、解三角形、平面向量30 .同角三角函數的基本關系式第6頁(共9頁)31.32.33.22sin cos 1 , tan正弦、余弦的誘導公式奇變偶不變，符號看象限。 和角與差角公式sin( cos(tan(sincossincostancoscostancos sinmsin sin1 mtan tan二倍角公式sin 2 sincos2cos2cos .22sin 2cos1 1 2sin2托普高考教育tan 22 tantan2c 222 cos 1 cos2 , cos公式變

12、形：c 222sin 1 cos2 , sin1 cos 2；1 cos234.三角函數的周期函數y sin（ x函數y cos（ x），周期T），周期T函數y tan( x ),周期T 一.35.函數 y sin( x）的周期、最值、單調區間、圖象變換（熟記）第11頁(共9頁)36 .輔助角公式（化一公式）y asin x bcosx Va2 b2 sin(x )其中 tan36.正弦定理a bsin A sin Bcsin C2R.37 .余弦定理2,22ab c 2bccos A;,222bca 2ca cos B;222cab 2abcosC.38 .三角形面積公式1bcsin A21

13、一 casin B.21S -absin C239 .三角形內角和定理在AABC中，有A B CC (A B)sin( A B) sin C40 . a與b的數量積（或內積）41 .平面向量的坐標運算uur uur uuu%).(1)設 A(X,y1), B(x2,y2),則 AB OB OA 區 為佻f4 (2)設 a = (x1,y)，b=(x2,y2),則 a b=(x1 x2,y y?).1)* (3)設 a = (x1,y)，b=(x2,y2),則 a b = (x1 x2,y yz).(4)設 a = (x1,y)，b=(x2,y2),貝U a b=xx2 y1y2.(5)設 a=

14、(x,y),則 a xx2 y242 .兩向量的夾角公式設 a=(x，y)，b =(x2, y2),且 b 0,則43 .向量的平行與垂直K »f-»a/ bbax1y2 溝乂 0.a b(a 0) a b 0x1x2 y1y2 0.44 .向量的射影公式若，a與b的夾角為，則b在a的射影為|b|cos三、數列45 .數列an的通項公式與前n項的和的關系(遞推公式)s1,n 1an(數列2口的前n項的和為Sn ai a2 L an).Sn Sn i,n 246 .等差數列an的通項公式ana1 (n 1)ddn a1 d (n*N );47 .等差數列an的前n項和公式n(

15、a an)n(n 1)1 d 2 /1 7、sn na1d n(a1d )n.222248 .等差數列an的中項公式49 .等差數列an中，若m n p q ,則am an ap aq50 .等差數列an中，Sn,S2nSn,S3nS2n成等差數列51 .等差數列an中，若n為奇數，則Sn nan 1 52 .等比數列的通項公式n 1a1n*an aq q (n N )；q53.等比數列前n項的和公式為0,q 1Sn1 q或 Snna1，q 1a1anq一,qnai,q 1當 q 1 時，anna154 .等比數列an的中項公式p q ,則 am an apaqSn , S3nS2 n成等比數

16、列55 .等比數列an中，若m n56 .等比數列an中，Sn, S2n四、均值不等式57 .均值不等式：如果 a,b R ,那么a b 2/茄。“一正二定三相等”58 .已知x,y都是正數，則有-y JXy ,當x y時等號成立。2(1)若積xy是定值p ,則當x y時和x y有最小值2，p ;1 2(2)右和x y是te值s,則當x y時積xy有取大值7s .五、解析幾何59 .斜率的計算公式(1) k tan (2) k y2 y1(3)直線一般式中 k -x2 x1B60.直線的五種方程(1)點斜式 yyik(x Xi)(直線l過點P(xi, yi),且斜率為k ).(2)斜截式 y

17、kx b (b為直線l在y軸上的截距).一， y y1x x1(3)兩點式 (yiy2)(P(x,yi)、P2(x2,y2) (xx2).y2 yix2 xi(4)截距式 -i(a> b分別為直線的橫、縱截距，& b 0)a b(5) 一般式 Ax By C6i.兩條直線的平行0(其中A、B不同日為0).若 l1 ： y k1x bi , l2 ： y k2x b2(1) k1k2,bid ；(2) k1,k2均不存在62 .兩條直線的垂直若 l1 ： y k1x bi , l2: y k2x b2(1) kik21.(2) ki0, k2不存在63 .平面兩點間的距離公式dA,

18、B M xi)2 (y2 yi)2 (A(xi,yi) , B(x2,y2).64 .點到直線的距離d | Ax05 (點 P(x0,y0),直線 l ： Ax By C 0).,A2 B265 .圓的三種方程2(1)圓的標準方程(x a)(y22(2)圓的一般萬程xyDx圓心坐標(D, E)半徑=2266 .直線與圓的位置關系22b) r .2Ey F 0( DD2 E2 4F22E 4F >0).直線Ax d rd rd r其中d22By C 0與圓(x a) (y b)相離0；相切0;相交0.弦長=2J?一d"Aa Bb C、A2 B2 .2 .r的位置關系有三種67.橢

19、圓、雙曲線、拋物線的圖形、定義、標準方程、幾何性質2 x 橢圓：a2紜 1(a b 0), a2 c2 b2,離心率e - 1.準線方程: ba托普高考教育22x y_22雙曲線：f 彳 l(a>0,b>0) , c2 a2a2 b2b2,離心率e 1 ,準線方程:a漸近線方程是y bx.a第14頁（共9頁）拋物線：y2 2px ,焦點（B,0）,準線x2p-。拋物線上的點到焦點距離等于它到準線的距離268.雙曲線的方程與漸近線方程的關系22（1 ）若雙曲線方程為1a2b2漸近線方程:（2）若漸近線方程為（3）若雙曲線與2 x -2 ay Bx -0 雙曲線可設為a a b222y

20、2T 1有公共漸近線，可設為三七 ba b02x-2a0 ,焦點在x軸上,在y軸上）.69.拋物線y22 Px的焦半徑公式拋物線y22 px（ p70.過拋物線焦點的弦長0）焦半徑|PF| x0 B.（拋物線上的點到焦點距離等于它到準線的距離。2一 P pAB x1 x2 x1 x2 P .22六、立體幾何71 .證明直線與直線平行的方法（1）三角形中位線（2）平行四邊形（一組對邊平行且相等）72 .證明直線與平面平行的方法（1）直線與平面平行的判定定理（證平面外一條直線與平面內的一條直線平行）（2）先證面面平行73 .證明平面與平面平行的方法平面與平面平行的判定定理（一個平面內的半條相交直線分別與另一平面平行）74 .證明直線與直線垂直的方法轉化為證明直線與平面垂直75 .證明直線與平面垂直的方法（1）直線與平面垂直的判定定理（直線與平面內兩條相交直線垂直）（2）平面與平面垂直的性質定理（兩個平面垂直，一個平面內垂直交線的直線垂直另一個平面）76 .證明平面與平面垂直的方法平面與平面垂直的判定定理（一個平面內有一條直線與另一個平面垂直）77 .柱體、椎體、球體的側面積、表面積、體積計算公式2圓柱側面積=2 rl ,表面積=2 rl 2 r2圓椎側面積=rl ,表面積=rl r1 _V柱體 -Sh （S是枉體的底面積、h是枉體的局）3-1V錐體 -Sh （S是錐體的