1、專題七專題七 曲線的性質和軌跡問題曲線的性質和軌跡問題 【考點搜索】【考點搜索】【考點搜索】【考點搜索】 1.掌握圓錐曲線的第一定義和第二定掌握圓錐曲線的第一定義和第二定義反映的幾何性質；義反映的幾何性質； 2.求曲線的方程的常見方法：求曲線的方程的常見方法： 待定系數法，即先確定方程的方待定系數法，即先確定方程的方式，再確定方程的系數；式，再確定方程的系數； 定義法，即根據知條件，建立坐定義法，即根據知條件，建立坐標系、列出標系、列出x和和y的等量關系、化簡關系的等量關系、化簡關系; 代入法代入法; 參數法參數法.【課前導引】【課前導引】【課前導引】【課前導引】 1. 知知F1、F2是雙曲線

2、是雙曲線 的兩焦點，以線段的兩焦點，以線段F1F2為邊為邊作正三角形作正三角形MF1F2，假設邊，假設邊MF1的中點的中點在雙曲線上，那么雙曲線的離心率是在雙曲線上，那么雙曲線的離心率是( )12222 byax)0, 0( ba13D. 213C. 13B. 324 A. 解析解析 設的中點為設的中點為P P，依題意，依題意， ,212aPFPF 13132,23 aceacc故故 解析解析 設的中點為設的中點為P P，依題意，依題意， ,212aPFPF 13132,23 aceacc故故 答案答案 D D2. 以下四個關于圓錐曲線的命題中：以下四個關于圓錐曲線的命題中：設設A、B為兩個定

3、點，為兩個定點，k為非零常數，為非零常數， ，那么動點，那么動點P的軌跡的軌跡為為 雙曲線；雙曲線；過定圓過定圓C上一定點上一定點A作圓的動點弦作圓的動點弦AB， O為坐標原點，假設為坐標原點，假設 那么動點那么動點P的軌跡為橢圓；的軌跡為橢圓；kPBPA |),(21OBOAOP 方程方程 的兩根可分別作的兩根可分別作 為橢圓和雙曲線的離心率；為橢圓和雙曲線的離心率； 02522 xx有有與與橢橢圓yxyx雙曲線雙曲線 一樣的焦點一樣的焦點. 其中真命題的序號為其中真命題的序號為_寫寫出一切真命題的序號出一切真命題的序號 解析解析 的軌跡能夠是雙曲線的的軌跡能夠是雙

4、曲線的一支，也能夠是一條射線，也能夠一支，也能夠是一條射線，也能夠無軌跡；無軌跡； 的軌跡是圓；計算知的軌跡是圓；計算知正確。正確。【鏈接高考】【鏈接高考】 【鏈接高考】【鏈接高考】 .| , 0, ,1:,)05( 221222221OPOBOAPFPFOCPCBAbyaxCFF 已已知知坐坐標標原原點點為為上上一一點點是是橢橢圓圓的的右右頂頂點點和和上上頂頂點點圓圓分分別別是是橢橢、的的左左右右焦焦點點圓圓是是橢橢設設如如圖圖屆屆長長郡郡月月考考題題xyAPF1F2OB 例例11(1)設橢圓的離心率為，證明設橢圓的離心率為，證明 (2)證明：證明： (3)設設 求橢圓的方程求橢圓的方程.

5、;212 e;PAOP , 15 PAxyAPF1F2OB 解析解析 ,0 )1(221cOFOPPFPF 知知由由,),(,22112rPFrPFyxPcab 設設依題設有依題設有22122221212,4,2brrcrrarr 有有則則.,22cbycyb 由由面面積積相相等等得得212222 ecacbcby xyAPF1F2OB( 另：由另：由ab=c2知：知：) 21251,21111)(222244222422 eeeeeccaacba或解出或解出xyAPF1F2OB(2) 由由(1)有有 cby2 bcbccbbacbccbcycx 224224424222),(),(22cbb

6、aPAcbbP 那那么么則則xyAPF1F2OB0)1( )(222222222224224 cccbaccbbccbbabcbbabPAOPPAOP xyAPF1F2OB1515 )3( bPA即即215:, 012242 eeecab解解得得得得由由22,222222 aacbacbac有有則則xyAPF1F2OB1526422 yx故所求橢圓的方程為故所求橢圓的方程為xyAPF1F2OB1526422 yx故所求橢圓的方程為故所求橢圓的方程為 闡明闡明 此題采用了待定系數法求軌跡方程此題采用了待定系數法求軌跡方程. .xyAPF1F2OB 例例2 2 在在ABCABC中中, , 知知B(

7、-3,0), C(3,0), B(-3,0), C(3,0), 的垂心的垂心H H分有向分有向線段線段 所成的比為所成的比為 ABCDBCAD ,于于AD.81(1) 分別求出點分別求出點A和點和點H的軌跡方程的軌跡方程;?1,1,1),0 , 1(),0 , 1()2( 為為什什么么能能成成等等差差數數列列嗎嗎那那么么設設QHPQHPQP 解答解答 設設H H點的坐標為點的坐標為(x,y),(x,y),對應的對應的A A的坐標的坐標為為(x1, y1), (x1, y1), 那么那么D D的坐標為的坐標為(x1, 0), (x1, 0), 由由H H分分有向線段有向線段 知知所所成成的的比比

8、為為81AD 1198yyxxACBH 又又13311 xyxy, 13893 xyxy故故),0( 18922 yyx即即此即點此即點H的軌跡方程的軌跡方程.得得代代入入上上式式再再將將,9811 yyxx,yx, 181892121 yx即即).0( 1818922 yyx的的軌軌跡跡方方程程為為故故點點A (2)由由(1)可知可知, P, Q分別為橢圓的左右焦分別為橢圓的左右焦點點, 設設H(x, y), 且且數列數列, 那么那么 能成等差能成等差QHPQHP1,1,1但但,112HQHPPQ 故故,313,313, 2xHQxHPPQ 27,313131312

9、22 xxx化化簡簡得得.1,1,1不不可可能能成成等等差差數數列列故故QHPQHP!, 03191822矛矛盾盾但但此此時時 xy.1,1,1不不可可能能成成等等差差數數列列故故QHPQHP!, 03191822矛矛盾盾但但此此時時 xy 闡明闡明 此題采用了代入法求軌跡方程此題采用了代入法求軌跡方程. . 例例3 3 如圖，設拋物線的焦點為如圖，設拋物線的焦點為F F，動，動點點P P在直線上運動，過在直線上運動，過P P作拋物線作拋物線C C的兩的兩條切線條切線PAPA、PBPB，且與拋物線，且與拋物線C C分別相切分別相切于于A A、B B兩點兩點. . (1) (1)求求APBAPB

10、的重的重心心G G的軌跡方程的軌跡方程. . (2) (2)證明證明PFA=PFA=PFB.PFB.ABPFOyxl 解答解答 (1) (1)設切點設切點A A、B B坐標分別為坐標分別為 )(,(),(01211200 xxxxxx 和和; 02:200 xyxxAP的的方方程程為為切切線線; 02:211 xyxxBP的方程為的方程為切線切線1010,2:xxyxxxPPP 點的坐標為點的坐標為解得解得ABPFOyxl所以所以APB的重心的重心G的坐標為的坐標為 ,310PPGxxxxx ,2433210212010PPPGyxxxxxyyyy ABPFOyxl).24(31, 02)43

11、(22 xxyxyx即即:,43 2跡跡方方程程為為的的軌軌從從而而得得到到重重點點上上運運動動直直線線在在由由點點所所以以GlPxyyGGp ABPFOyxl).41,(),41,2(),41,(:1)2( 2111010200 xxFBxxxxFPxxFA因為因為方法方法由于由于P點在拋物線外，點在拋物線外，. 0| FP則則ABPFOyxl|41)41(|)41)(41(2|cos10220202010010FPxxxxFPxxxxxxFAFPFAFPAFP ABPFOyxl|41)41(|)41)(41(2|cos10221212110110FPxxxxFPxxxxxxFBFPFBFP

12、BFP 同理有同理有AFP=PFB.ABPFOyxl. 041)41(,4141:;2|:),0 ,2(, 0, 0,0)1( 1121121111000101 xyxxxxxxyBFxdAFPxPyxxxxx即即的方程為的方程為直線直線而而的距離為的距離為點到直線點到直線則則點坐標為點坐標為所以所以則則設設不妨不妨由于由于時時當當方法方法2：2|412|)41()()41(|42)41( |:1211212122111212xxxxxxxxxdBFP 的的距距離離為為點點到到直直線線所所以以所以所以d1=d2，即得，即得AFP =PFB., 041)41(),0(04141:,0)2(002

13、002021 xyxxxxxxyAFxx即即的方程的方程直線直線時時、當當所以所以P點到直線點到直線AF的間隔為：的間隔為：|2|41)41( |2|)41(|41)2)(41( |1020201020220012010201xxxxxxxxxxxxxxd 同理可得到同理可得到P點到直線點到直線BF的間隔的間隔 2|012xxd 因此由因此由d1=d2，可得到，可得到AFP=PFB.同理可得到同理可得到P點到直線點到直線BF的間隔的間隔 2|012xxd 因此由因此由d1=d2，可得到，可得到AFP=PFB. 闡明闡明 此題采用了代入法求軌跡方程此題采用了代入法求軌跡方程. . 例例4 4 如

14、右圖如右圖, , 知知A: (x+2)2+y2 = A: (x+2)2+y2 = 425 B: (x2)2+y2 = , 動圓動圓P與與 A、 B都相外切都相外切. 41yxABP (1)動圓圓心動圓圓心P的的軌跡方程；軌跡方程； (2)假設直線假設直線y=kx+1與與(1)中的曲中的曲線有兩個不同的交點線有兩個不同的交點P1、P2，求，求k的取值的取值范圍范圍. 解答解答 (1) (1)依題意，依題意，PAPAPB= PB= 22125 故故P的軌跡是雙曲線的右支，的軌跡是雙曲線的右支，a=1，c=2，其方程為：其方程為： )1(1322 xyxyxABP(2)聯立方程組聯立方程組:1312

15、2得得消消yyxkxy (*)042)3(22 kxxk在在1, +)有兩不同的解，有兩不同的解， 012)1(0)3(164132222kkfkkkk則則)3,213()3, 2( 的范圍是的范圍是解得解得k 例例5 A5 A、B B是拋物線是拋物線 y2 = 2px(p0) y2 = 2px(p0)上上的的兩點，且兩點，且OAOBOAOB， 1. 1. 求求A A、B B兩點的橫坐標之積兩點的橫坐標之積和縱坐標之積；和縱坐標之積； 2. 2. 求證：直線求證：直線ABAB過定點；過定點； 3. 3. 求弦求弦ABAB中點中點P P的軌跡方程；的軌跡方程； 4. 4. 求求AOBAOB面積的

16、最小值；面積的最小值； 5. 5. 求求O O在在ABAB上的射影上的射影M M軌跡方軌跡方程程. . 解答解答 (1) (1)設設A(x1, y1)A(x1, y1)，B(x2, y2)B(x2, y2)，中點，中點P(x0, y0)P(x0, y0)， 2211,xykxykOBOA OAOB kOAkOB=-1， x1x2+y1y2=0 y12 = 2px1，y22 = 2px2 022212221 yypypy y10, y20, y1y2=4p2 x1x2=4p2.(2) y12=2px1，y22=2px2 (y1y2)(y1+y2) = 2p(x1x2)2121212yypxxyy

17、 212yypkAB )(2:1211xxyypyyAB 直直線線21112122yypxyyypxy 21211212122yyyypxyyypxy 2211214,2pyypxy 2122142yypyypxy )2(221pxyypy AB過定點過定點(2p, 0)，設，設M(2p, 0).(3)設設OA y = kx，代入，代入y2=2px 得得: x=0， )2,2(2kpkp同理，同理， 以代以代k得得B(2pk2, -2pk) .k1 )1()1(0220kkpykkpx2)1(1222 kkkkk2)(200 pypx即即 y02 = px0-2p2， 中點中點M軌跡方程軌跡方

18、程 y2 = px-2p2|)|(|)|(|212121yypyyOMSSSBOMAOMAOB (4)2214|2pyyp 當且僅當當且僅當|y1|=|y2|=2p時，等號成立時，等號成立. (5)法一：設法一：設H(x3, y3), 那么那么 33xykOH 33yxkAB )(:3333xxyxyyAB 得得代代入入即即pyxyyxyx2)(23333 , 02223323332 pxxpyxpyy由由(1)知，知，y1y2=-4p2， 23323422ppxxpy 整理得：整理得：x32+y32 -2px3=0， 點點H軌跡方程為軌跡方程為x2+y2-4x=0(去掉去掉(0, 0). H

19、在以在以OM為直徑的圓上為直徑的圓上 點點H軌跡方程為軌跡方程為(x-p)2+y2=p2, 去掉去掉(0, 0). 評注：此類問題要充分利用評注：此類問題要充分利用(1)的結論的結論. 法二：法二： OHM=90, 又由又由(2)知知OM為定線段為定線段專題七專題七 曲線的性質和軌跡問題曲線的性質和軌跡問題 第二課時第二課時【考點搜索】【考點搜索】【考點搜索】【考點搜索】 1. 在求動點軌跡方程的過程中，一是尋覓在求動點軌跡方程的過程中，一是尋覓與動點坐標有關的方程等量關系，偏重于與動點坐標有關的方程等量關系，偏重于數的運算，一是尋覓與動點有關的幾何條件，數的運算，一是尋覓與動點有關的幾何條件

20、，偏重于形，注重圖形幾何性質的運用；偏重于形，注重圖形幾何性質的運用； 2. 留意向量與解析幾何的親密聯絡留意向量與解析幾何的親密聯絡.由于向由于向量具有幾何方式和代數方式的量具有幾何方式和代數方式的“雙重身份，雙重身份，使向量與解析幾何之間有著親密聯絡，大量的使向量與解析幾何之間有著親密聯絡，大量的軌跡問題都是以向量作為背景編擬的軌跡問題都是以向量作為背景編擬的 ； 3.留意利用曲線系解題留意利用曲線系解題.【課前導引】【課前導引】 1. 知反比例函數知反比例函數 的圖像是等的圖像是等軸雙曲線，那么其焦點坐標是軸雙曲線，那么其焦點坐標是 ( )xy3 【課前導引】【課前導引】A.B.C.D.

21、)6,6(),6,6( )3,3(),3,3( )32 ,32(),32,32( )62,62(),62 ,62( 解答解答 雙曲線的實軸為直線雙曲線的實軸為直線 x-y = 0, x-y = 0, 故故兩個頂點坐標兩個頂點坐標為為 , , 且且 )0 ,3(),0 ,3( ).6,6(),6,6(,3226,623 焦焦點點坐坐標標是是圖圖像像知知結結合合ca 解答解答 雙曲線的實軸為直線雙曲線的實軸為直線 x-y = 0, x-y = 0, 故故兩個頂點坐標兩個頂點坐標為為 , , 且且 )0 ,3(),0 ,3( ).6,6(),6,6(,3226,623 焦焦點點坐坐標標是是圖圖像像知

22、知結結合合ca 答案答案 A A 2. 知圓知圓x2+y2=1，點，點A(1，0)，ABC內內接于此圓，接于此圓，BAC=60o，當，當BC在圓上運動在圓上運動時，時，BC中點的軌跡方程是中點的軌跡方程是( )A. x2+y2 = 21B. x2+y2 = 41C. x2+y2 = )21(21 xD. x2+y2 = )41(41 x 解析解析 記記O O為原點，依題意，為原點，依題意，且且OB=OC=1, OB=OC=1, 故原點到直線故原點到直線BCBC的間隔為的間隔為由圖像可知，由圖像可知，BCBC中點的橫坐標小于中點的橫坐標小于應選應選D. D. ,32 BOC,21，41【鏈接高考

23、】【鏈接高考】【鏈接高考】【鏈接高考】 例例1 1 假設直線假設直線mx+y+2=0mx+y+2=0與線段與線段ABAB有有交點，其中交點，其中A(-2, 3)A(-2, 3)，B(3, 2)B(3, 2)，務虛，務虛數數m m的取值范圍的取值范圍. . 解答解答 直線直線mx+y+2=0mx+y+2=0過一定點過一定點C(0, -2), C(0, -2), 直直線線mx+y+2=0mx+y+2=0實踐上表示的是過定點實踐上表示的是過定點(0, -2)(0, -2)的的直線系，由于直線與線段直線系，由于直線與線段ABAB有交點，那么直線有交點，那么直線只能落在只能落在ABCABC的內部，設的內

24、部，設BCBC、CACA這兩條直線這兩條直線的斜率分別為的斜率分別為k1k1、k2k2，那么由斜率的定義可知，那么由斜率的定義可知，直線直線mx+y+2=0mx+y+2=0的斜率的斜率k k應應滿足滿足kk1kk1或或kk2kk2， A(-2, 3) B(3, 2) A(-2, 3) B(3, 2) 25 3421 kk25342534 mmmm或或即即或或C(0, -2)ABxyO 闡明闡明 此例是典型的運用數形結合的思想此例是典型的運用數形結合的思想來解題的問題，這里要清楚直線來解題的問題，這里要清楚直線mx+y+2=0mx+y+2=0的斜率的斜率m m應為傾角的正切，而當傾角在應為傾角的

25、正切，而當傾角在(0(0, 90, 90) )或或(90(90, 180, 180) )內，角的正切內，角的正切函數都是單調遞增的，因此當直線在函數都是單調遞增的，因此當直線在ACBACB內部變化時，內部變化時，k k應大于或等于應大于或等于kBCkBC，或者，或者k k小小于或等于于或等于kACkAC，當，當A A、B B兩點的坐標變化時，兩點的坐標變化時，也要能求出也要能求出m m的范圍的范圍. . 例例2 2 根據以下條件，求雙曲線方程根據以下條件，求雙曲線方程. .).2 ,23( ,1416)2();32 , 3( ,1169)1(2222且且過過點點有有公公共共焦焦點點與與雙雙曲曲

26、線線且且過過點點有有共共同同漸漸近近線線與與雙雙曲曲線線 yxyx 解答解答 方法一：方法一：,34116922xyyx 的的漸漸近近線線為為雙雙曲曲線線(1),)0(34)32 , 3(, 432, 4, 3軸軸上上雙雙曲曲線線焦焦點點在在軸軸負負半半軸軸之之間間及及在在射射線線故故點點因因令令xxxxyyx 故故設設雙雙曲曲線線方方程程為為),0, 0( , 12222 babyax 1)32()3(342222baab 44922ba解之得：解之得：. 144922 yx雙雙曲曲線線方方程程為為)0, 0( 1)2(2222 babyax設設雙雙曲曲線線方方程程為為 12)23(2022

27、2222baba那那么么 81222ba， 解之得：解之得： . 181222 yx雙雙曲曲線線的的方方程程為為方法二：方法二：(1)設雙曲線方程為設雙曲線方程為 )0(16922 yx41,16)32(9)3(22 . 144922 yx雙雙曲曲線線方方程程為為(3)設雙曲線方程為設雙曲線方程為 141622 kykx 04016kk14216)23(22 kk， 解之得：解之得：k=4 雙曲線方程為雙曲線方程為 181222 yx).0, 0( 11.,0;,0),0(1:222222222222222222 kbkakbykaxbyaxyxbyaxbyax共共焦焦點點的的雙雙曲曲線線為為

28、與與雙雙曲曲線線軸軸上上焦焦點點在在時時當當上上軸軸焦焦點點在在時時當當方方程程為為共共漸漸近近線線的的雙雙曲曲線線與與雙雙曲曲線線評評注注 比較上述兩種解法可知，引入適當比較上述兩種解法可知，引入適當的參數可以提高解題質量，特別是充分的參數可以提高解題質量，特別是充分利用含參數方程的幾何意義，可以更準利用含參數方程的幾何意義，可以更準確地了解解析幾何的根本思想確地了解解析幾何的根本思想.)0( 12222 babyax 例例3 3 知直線知直線l l與橢圓與橢圓有且僅有一個交點有且僅有一個交點Q Q，且與，且與x x軸、軸、y y軸分別交軸分別交于于R R、S S，求以線段，求以線段SRSR

29、為對角線的矩形為對角線的矩形ORPSORPS的的一個頂點一個頂點P P的軌跡方程的軌跡方程. .)0( 12222 babyax 例例3 3 知直線知直線l l與橢圓與橢圓有且僅有一個交點有且僅有一個交點Q Q，且與，且與x x軸、軸、y y軸分別交軸分別交于于R R、S S，求以線段，求以線段SRSR為對角線的矩形為對角線的矩形ORPSORPS的的一個頂點一個頂點P P的軌跡方程的軌跡方程. . 解答解答 由知，直線由知，直線l l 不過橢圓的四個頂不過橢圓的四個頂點，所以設直線點，所以設直線l l的方程為的方程為代入橢圓方程代入橢圓方程 得得).0( kmkxy，222222bayaxb .)2(22222222bamkmxxkaxb 化簡后，得關于的一元二次方程化簡后，得關于的一元二次方程. 02)(222222222 bamamxkaxbka于是其判別式于是其判別式 ).(4)(4)2(222222222222222mbkababamabkamka 由知，得由知，得=0即即