1、12.3 2.3 變量間的相關關系變量間的相關關系2.3.1 2.3.1 變量之間的相關關系變量之間的相關關系2.3.2 2.3.2 兩個變量的線性相關兩個變量的線性相關 第二課時第二課時2復習回顧復習回顧1 1、相關關系、相關關系自變量取值一定時，因變量的取值帶有一定自變量取值一定時，因變量的取值帶有一定隨機性的兩個變量之間的關系隨機性的兩個變量之間的關系. .正相關的散點圖中的點散布在從左下角到右正相關的散點圖中的點散布在從左下角到右上角的區域，負相關的散點圖中的點散布在上角的區域，負相關的散點圖中的點散布在從左上角到右下角的區域從左上角到右下角的區域 2 2、正相關和負相關的兩個相關變量

2、的、正相關和負相關的兩個相關變量的散點圖的特點散點圖的特點33.3.觀察人體的脂肪含量百分比和年齡的樣本觀察人體的脂肪含量百分比和年齡的樣本數據的散點圖，這兩個相關變量成正相關數據的散點圖，這兩個相關變量成正相關. .我們需要進一步考慮的問題是，當人的年齡增我們需要進一步考慮的問題是，當人的年齡增加時，體內脂肪含量到底是以什么方式增加呢？加時，體內脂肪含量到底是以什么方式增加呢？對此，我們從理論上作些研究對此，我們從理論上作些研究. .45思考思考1 1：在各種各樣的散點圖中，有些散點圖中的在各種各樣的散點圖中，有些散點圖中的點是雜亂分布的，有些散點圖中的點的分布有一點是雜亂分布的，有些散點圖

3、中的點的分布有一定的規律性，年齡和人體脂肪含量的樣本數據的定的規律性，年齡和人體脂肪含量的樣本數據的散點圖中的點的分布有什么特點？散點圖中的點的分布有什么特點？ 這些點大致分布在一條直線附近這些點大致分布在一條直線附近. .知識探究（一）：回歸直線知識探究（一）：回歸直線 6如果散點圖中的點的分布，從整體上看大致在一如果散點圖中的點的分布，從整體上看大致在一條直線附近，則稱這兩個變量之間具有條直線附近，則稱這兩個變量之間具有線性相關線性相關關系關系，這條直線叫做，這條直線叫做回歸直線回歸直線. .該直線叫該直線叫回歸方程回歸方程。 注注: :如果關于兩個變量統計數據的散點圖呈如果關于兩個變量統

4、計數據的散點圖呈現發散狀現發散狀, ,則這兩個變量之間不具有相關關系則這兩個變量之間不具有相關關系. .720 2530354045 50 55 60 65年齡脂肪含量0510152025303540如圖如圖 ：思考思考2:2:那么，我們該怎樣來求出這個回歸方程？那么，我們該怎樣來求出這個回歸方程？我們有這樣幾種方案？我們有這樣幾種方案？對一組具有線性相關關系的樣本數據，如果能夠求出它的回歸方程，對一組具有線性相關關系的樣本數據，如果能夠求出它的回歸方程，那么我們就可以比較具體、清楚地了解兩個相關變量的內在聯系，那么我們就可以比較具體、清楚地了解兩個相關變量的內在聯系，并根據回歸方程對總體進行

5、估計并根據回歸方程對總體進行估計. . 8202530 35 4045 50 55 60 65年齡脂肪含量05101520253035409202530 35 4045 50 55 60 65年齡脂肪含量0510152025303540我們把由一個變量的變化我們把由一個變量的變化去推測另一個變量的方法去推測另一個變量的方法稱為稱為回歸方法。回歸方法。10實際上，求回歸方程的關鍵是如何用數學的實際上，求回歸方程的關鍵是如何用數學的方法來刻畫方法來刻畫“從整體上看，各點與此直線的從整體上看，各點與此直線的距離最小。距離最小。整體上最接近整體上最接近 思考：思考：回歸直線與散點圖中各點的位置回歸直線

6、與散點圖中各點的位置應具有怎樣的關系？應具有怎樣的關系？ (x1， y1)(x2，y2)(xi，yi)(xn，yn)11(x1， y1)(x2，y2)(xi，yi)(xn，yn)假設兩個具有線性相關關系的變量的一組樣本假設兩個具有線性相關關系的變量的一組樣本數據：數據：(x(x1 1，y y1 1) )，(x(x2 2，y y2 2) )，(x(xn n，y yn n) )，設，設其回歸方程為其回歸方程為ybxa我們可用點我們可用點 與這條直線上橫標為與這條直線上橫標為 的點之的點之間的距離來刻畫點間的距離來刻畫點 到直線距離的遠近，即到直線距離的遠近，即( ,)iix yix( ,)iix

7、y() (1,2,3, )iiybxain用這n個距離之和 來刻畫各點到直線的”整體距離”1()niiiybxa1221()niiQyy2221122()()(a)nnybxaybxaybx(x1， y1)(x2，y2)(xi，yi)(xn，yn)由于絕對值使得計算不方便，實際應用中采用13根根據有關數學原理分析，當據有關數學原理分析，當 時，時，1122211()(),()nniiiiiinniiiixxyyx ynx ybxxxnxaybx總體偏差總體偏差 為最小，這樣就得到了回歸方為最小，這樣就得到了回歸方程，這種求回歸方程的方法叫做最小二乘法程，這種求回歸方程的方法叫做最小二乘法. .

8、回歸方程回歸方程21()niiiQyyybxa注：注：對具有線性相關關系的兩個變量，其回歸直線一定對具有線性相關關系的兩個變量，其回歸直線一定通過樣本點的中心通過樣本點的中心,yx（其中回歸方程的斜率為 截距為 ）ba141.1.回歸方程被樣本數據惟一確定，各樣本點回歸方程被樣本數據惟一確定，各樣本點大致分布在回歸直線附近大致分布在回歸直線附近. .對同一個總體，對同一個總體，不同的樣本數據對應不同的回歸直線，所以不同的樣本數據對應不同的回歸直線，所以回歸直線也具有隨機性回歸直線也具有隨機性. . 2 2. .對于任意一組樣本數據，利用上述公式都對于任意一組樣本數據，利用上述公式都可以求得可以

9、求得“回歸方程回歸方程”，如果這組數據不具，如果這組數據不具有線性相關關系，即不存在回歸直線，那么有線性相關關系，即不存在回歸直線，那么所得的所得的“回歸方程回歸方程”是沒有實際意義的是沒有實際意義的. .因此，因此，對一組樣本數據，應先作散點圖，在具有線對一組樣本數據，應先作散點圖，在具有線性相關關系的前提下再求回歸方程性相關關系的前提下再求回歸方程. .15解：散點圖如圖所示由散點圖可知：在平面直角坐標系中，各點散布在左下角到右上角的區域，這些點大致分布在一條直線附近，因此x、y具有線性相關關系141421148.0727.2619403.234181iiiiixyx yx 1411422

10、1140.578140.524iiiiix yx ybxxaybx 故可得：故可得：所求回歸直線方程為0.5770.448xy16在上例中：若某人在上例中：若某人3737歲，則其體內脂肪含歲，則其體內脂肪含量的百分比約為多少？量的百分比約為多少？0.5770.448xy由此可以估計年齡為由此可以估計年齡為3737歲的人其體內脂肪含量的歲的人其體內脂肪含量的百分比約為百分比約為20.901%20.901%0.577 37 0.44820.90117求樣本數據的線性回歸方程步驟求樣本數據的線性回歸方程步驟第一步，作散點圖，確定第一步，作散點圖，確定x,yx,y具有線性相關關系；具有線性相關關系；

11、1122211()(),()nniiiiiinniiiixxyyx ynx ybaybxxxxnx第三步，計算第三步，計算 ybxa第四步，寫出回歸方程第四步，寫出回歸方程 第二步，求第二步，求 1niiix y21niixxy18例例1 1： 有一個同學家開了一個小賣部，他為了研有一個同學家開了一個小賣部，他為了研究氣溫對熱飲銷售的影響，經過統計，得到一個究氣溫對熱飲銷售的影響，經過統計，得到一個賣出的飲料杯數與當天氣溫的對比表：賣出的飲料杯數與當天氣溫的對比表： （1 1）畫出散點圖；）畫出散點圖；（2 2）從散點圖中發現氣溫與熱飲杯數之）從散點圖中發現氣溫與熱飲杯數之 間關系間關系的一般

12、規律；的一般規律；（3 3）求回歸方程；）求回歸方程；（4 4）如果某天的氣溫是）如果某天的氣溫是22，預測這天賣出的熱，預測這天賣出的熱飲杯數飲杯數. .19當當x=2x=2時，時，y=143.063y=143.063. .20例例2 2：假設某設備的使用年限x（年）和所支出的維修費用y（萬元）有如下統計資料：使用年限使用年限x x( (年年) )2 23 34 45 56 6維修費用維修費用y y( (萬元萬元) )2.22.23.83.85.55.56.56.57.07.0由資料知 y對 x呈線性關系，試求：;,) 1 (的值中的回歸直線方程ababxy(2)估計使用年限是10年時，維修

13、費用估計是多少？21解解：(1) 制表：制表：i12345合計合計xi2345620yi2.23.85.56.57.025xi24916253690 xi yi4.411.422.032.542.0 112.3. 3 .112,90, 5, 4:51512iiiiiyxxyx于是有23. 1103 .1245905453 .1122b08.0423.15xbya22(2) 回歸直線方程是.08. 023. 1xy(2)估計使用年限是10年時，維修費用估計是多少？)(4 .1238.1208. 01023. 1，10萬元時當yx答：估計使用10年時，維修費用估計是12.4萬元。23練習練習某種產

14、品是的廣告費支出某種產品是的廣告費支出x x（單位：百萬元）（單位：百萬元）與銷售額與銷售額y y（單位：百萬元）之間有如下對（單位：百萬元）之間有如下對應數據應數據（1）畫出散點圖；（2）如果x與y具有相關關系，求回歸直線方程，并說明b的意義24解（1）散點圖如圖所示：1735910305080銷售額（百萬元）廣告費（百萬元）（2）由散點圖可知：X與Y具有相關關系515215501380145iiiiixyx yx 51522156.517.55iiiiix yx ybaybxxx故可得：故可得：所求回歸直線方程為6.517.5yxb表示廣告每增加100萬元，銷售量平均增加650元25課堂總

15、結課堂總結1、兩種相關關系：正相關、負相關、兩種相關關系：正相關、負相關2、線性回歸方程：、線性回歸方程：回歸直線所在方程的斜率與截距的一般公式回歸直線所在方程的斜率與截距的一般公式: :1122211()(),().nniiiiiinniiiixxyyx ynxybxxxnxaybx ybxaybxa26則 b= ,a= , 1.由一組 5 個數據(xi，yi)算得 4,5,xy211112.3,90,nniiiiix yx回歸方程為 . 1.230.081.230.08yx鞏固練習鞏固練習:;)()(1221121xbyaxnxyxnyxxxyyxxbniiniiiniiniii，4.75

16、257yx2對于回歸方程對于回歸方程 當當x=28時時,y的估計值是的估計值是39027(0 0)，( 0)x，(0 ) y，()x y，3線性回歸方程表示的直線線性回歸方程表示的直線 必定過（）必定過（）.22.5yx4 4設有一個回歸方程設有一個回歸方程， 變量變量x 增加增加1 1個單位個單位長度時，變量長度時，變量y y（）（）平均增加平均增加2.5個單位長度個單位長度 平均增加平均增加0.5個單位長度個單位長度平均減少平均減少2.5個單位長度個單位長度 平均減少平均減少0.5個單位長度個單位長度yabxDC28思考思考:根據最小二乘法的知識根據最小二乘法的知識,我們對于任何數我們對于

17、任何數據都可以利用最小二乘計算出其回歸方據都可以利用最小二乘計算出其回歸方程程,問問:是否所有的問題是否所有的問題,我們都可以利我們都可以利用最小二乘來估計用最小二乘來估計?下面的數據給定了兩個變量之間的關系下面的數據給定了兩個變量之間的關系X12345678Y1491625364964請利用最小二乘法求出這兩個變量之間的線性回歸方程請利用最小二乘法求出這兩個變量之間的線性回歸方程29解解根據數據顯示：根據數據顯示：5 .25, 5 . 4yx其他數據如表其他數據如表1296512343216125642781204644936251694120464493625169413687654321合計合計iiyxiy2ixix進而可以求得進而可以求得b=9a=-15于是，線性回歸方程為：于是，線性回歸方程為： Y=-15+9x30事實上，從表中的數據可以看出：事實上，從表中的數據可以看出：2xy 從而我們利用最小二乘估計時，已經失去從而我們利用最小二乘