1、典型的應用題 常見應用題的分類：歸一問題歸總問題和差問題和倍問題差倍問題平均數問題植樹問題盈虧問題 年齡問題 雞兔同籠 周期問題 還原問題 數字與數位 包含排除問題 牛吃草問題 例1：分攤路費問題甲、乙兩人乘一輛出租車從某地到游泳館去甲、乙兩人乘一輛出租車從某地到游泳館去(無起步無起步價價),行駛到一半路程時行駛到一半路程時,遇見一位同學遇見一位同學,3人合乘到游人合乘到游泳館泳館,最后司機收費最后司機收費13.5元。如果按照合理的方法分元。如果按照合理的方法分攤車費攤車費,后上的同學應付多少元后上的同學應付多少元?歸一歸總問題 解析：可以把路費五等分，前一半路程甲乙付，后一半路程三人平分。那

2、么后上的同學應付費為13.55=2.7元。 例2：拼錢買面包 甲、乙、丙三人在外出時買了甲、乙、丙三人在外出時買了8個面包，平均分給三個人個面包，平均分給三個人吃，甲沒有帶錢，乙付了吃，甲沒有帶錢，乙付了5個面包的錢，丙付了個面包的錢，丙付了3個面包的個面包的錢。后來，甲帶來了他應付的四元八角錢，請問，應還給錢。后來，甲帶來了他應付的四元八角錢，請問，應還給乙、丙各多少錢？乙、丙各多少錢？ 解答過程如下：解答過程如下： 8 8個面包的總錢：個面包的總錢：48483=1443=144（角）（角） 一個面包的價錢：一個面包的價錢：1441448=188=18（角）（角） 乙付了：乙付了：18185

3、=905=90（角）（角） 甲應還乙：甲應還乙：909048=4248=42（角）（角） 丙付了：丙付了：18183=543=54（角）（角） 甲應還乙：甲應還乙：545448=648=6（角）（角）例3：和倍問題 弟弟有課外書20本，哥哥有課外書25本，哥哥給弟弟多少本后，弟弟的課外書是哥哥的2倍？例4：差倍問題 甲、乙兩人存款若干元,甲存款是乙存款的3倍,如果甲取出240元,乙取出40元,甲、乙存款數正好相等.問甲原有存款多少元,乙原有存款多少元？和差倍分問題【解析】： 兄弟兩人的總數是不變的可看成是“3份量”如下圖所示； 【解答】：（1）兄弟倆共有課外書的數量是202545。（2）哥哥給

4、弟弟若干本課外書后，兄弟倆共有的倍數是213。（3）哥哥剩下的課外書的本數是45315。（4）哥哥給弟弟課外書的本數是251510。答：答：哥哥給弟弟10本課外書。 1 哥哥 弟弟 25 本 2 倍 給弟弟 2520 20 本 【解析】：甲存款是乙的3倍,乙是1倍數,甲、乙相差數(240-40)元,也是原來的相差數,正好等于原有存款的(3-1)倍。圖示:【解答】：乙原存款數:(240-40)(3-1)=100(元)； 甲原存款數:1003=300(元)? 元取240元取40元 乙: 甲:? 元例5：平均分 某次考試，小英等7人的平均分是78分，其中最高得分是97分，最低得分是64分，小英得了8

5、8分，余下的4個人中有3個人得了相同的分數.分數各不相同的5個人的平均分是80分，其中還有一位同學與別人的得分都不同，他的得分是多少分？平均數問題【解答】：7個人的分數總和是：787=546（分）.分數各不相同的5個人平均分是80分，那么另2位分數相同的同學每人得分是：（546-805）2=73（分）.這位與別人的得分都不相同的同學，他的得分是：546-97-64-88-733=78（分）.例6：直線型植樹問題 學校召開運動會前,在100米直跑道外側每隔10米插一面彩旗,在跑道的一端原有一面彩旗還需備多少面彩旗? 植樹問題【解析】：此題是植樹問題中植樹線路不封閉的一種,并要求植樹線路的一端要植

6、樹.那么全長、棵數、間隔長三量之間的關系是: 棵數=全長間隔長；全長=間隔長棵數；間隔長=全長棵數只要知道其中兩個,就可以求出第三個量.100米是全長,10米是間隔長,求棵樹. 【解答】：列式是:10010=10(面) 例7：盈虧問題盈 劉阿姨給小朋友分蘋果，如果每人分3個蘋果，則多16個蘋果，如果每人分5個蘋果，則正好分完，那么劉阿姨買了多少個蘋果，分給幾個小朋友？盈虧問題【點撥】：列出已知條件：每人3個 多16個（盈）每人5個 正好分完因為人數和蘋果總數不變，從兩次分配中我們可以知道，第二種分配方案比第一種分配方案多分16個，為什么會多分16個蘋果呢？因為第二種分配方案每人分的比第一種每人

7、分的多2個，多少人才能多16個呢？用162=8（人），可知有8個小朋友，那么蘋果數為83+16=40（個）或58=40（個）【解答】：（1）小朋友有多少人？16（5-3）=8（人）（2）蘋果有多少個？58=40（個）或38+16=40（個） 學校買來一些故事書，每班發16本，正好分完，每班發18本，少40本，則買故事書多少本？分給幾個班？ 例8：盈虧問題（2）虧 【點撥】：列出已知條件：每班16本 正好分完每班18本 少40本（不足）因為書本數和班數是不變的，從兩次分配方案中我們可以知道，第一種分配方案比第二種分配方案少40本，為什么會少40本呢？是因為第一次分配每班分的比第二次每班分的少2本

8、，多少班才能相差40本呢？用402=20（個），即共有20個班，共買多少本書呢？1620=320（本）或1820-40=320（本）【解答】：（1）共有多少個班？ 40（18-16）=20（個）（2）共有多少本書？2016=320（本）或2018-40=320（本）例9：簡單的年齡問題 哥哥5年前的年齡等于7年后弟弟的年齡,哥哥4年后的年齡與弟弟3年前的年齡和是35歲,求兄弟二人今年的年齡?年齡問題 【點撥】：根據題意看圖,我們可以知道35歲為粗線表示的部分.如果我們把弟弟7年后的年齡作為1倍量,那么哥哥5年前的年齡也是1倍量.只要我們找到這兩倍量所對應的數量,就可以先求出1倍量,使問題得解.

9、【解答】：35+3+7-5-4=36(歲)362=18(歲)18-7=11(歲)14+5=23(歲)弟弟:7年今年5年哥哥:今年3年35歲4年例10：簡單的雞兔同籠問題 一個農夫有若干只雞和兔，它們共有50個頭和140只腳，問雞、兔各有多少? 雞兔同籠 【解析】：雞兔同籠問題適用的基本方法是假設法。假設這籠里全是雞，那么雞腳的總數應為：502=100(只)，與實際相比較，腳減少的數為140100=40(只)。腳減少的原因是每把一只兔當作一只雞時，要少42=2(只)腳。所以實際的兔數是40(42)=20(只)，若先假設的全是雞，則先求出的是兔數。【解答】：設全是雞，那么相應的雞腳數：502=10

10、0(只) 與實際相比，腳減少的數：140100=40(只)兔腳與雞腳的差：42=2(只)實際兔數為：402=20(只)那么實際的雞數：5020=30(只) 蜘蛛有8條腿，蜻蜓有6條腿和2對翅膀，蟬有6條腿和1對翅膀，現在這三種小蟲共21只，有140條腿和24對翅膀，求每種小蟲各幾只？ 例11：復雜的雞兔同籠問題 【解析】：此題中出現了3種昆蟲，不僅有腿的比較，而且又出現了翅膀，顯然比前幾道題復雜了。解此題的關鍵就是將3種昆蟲轉化為2種昆蟲，這樣解起來就比較容易了。 突破口在于：蟬和蜻蜓都有6條腿。 【解答】：因為蜻蜓和蟬都有6條腿，所以從腿的數目考慮，可以把昆蟲分成8條腿和6條腿兩種，利用基本

11、關系式算出8條腿的蜘蛛數=(140621)(86)=(140126)2 =142 =7(只)。 因此，知道了6條腿的昆蟲共有 217=14(只)，也就是蜻蜓和蟬共有14只。因為蜻蜓和蟬共有24對翅膀，現在再用一次基本關系式，得蟬數=(14224)(21)=(2824)1=4(只)。因此，蜻蜓數是144=10(只)。 例12：周期問題（1） 在一根長100厘米的木棍上，自左至右每隔6厘米染一個紅點，同時自右至左每隔5厘米也染一個紅點，然后沿紅點處將木棍逐段鋸開，那么長度是1厘米的短木棍有多少根？ 周期問題【解析】：因為100能被5整除,所以自右至左染色也就是自左至右染色.于是我們可以看作是從同一

12、端點染色.6與5的最小公倍數是30,即在30厘米的地方,同時染上紅色,這樣染色就會出現循環,每一周的長度是30厘米,如下圖所示.由圖示可知長1厘米的短木棍,每一周期中有兩段,如第1周期中,6-5=1,55-64=1.剩余10厘米中有一段.所以鋸開后長1厘米的短木棍共有7段.【解答】：2(100-10) 30+1=23+1=7(段).6121824305101520259596100.90例13：還原問題（1） 小明的爺爺今年年齡減去7后，除以9，再加上2，最后乘10，恰好是100歲，小明爺爺今年多少歲？ 還原問題 解析解析從最后一個條件恰好是100歲，向前推算，乘10后是100歲，那沒有乘10

13、前應是10010=10（歲）；加上2之后是10歲，那沒加2之前應是10-2=8（歲）；除以9后是8歲，那沒除以9之前應是89=72（歲）；減去7后是72歲，那沒減7之前是72+7=79（歲）。所以，小明爺爺今年是79歲。列式為：（10010-2）9+7=79（歲）。例14：數字交換問題 一個兩位數的兩個數字之和是9，將這個兩位數的十位上與個位上的數字交換，得到一個新的兩位數（稱為原數的倒轉數）。如果原來的兩位數比新的兩位數多45，原來的兩位數是多少？ 數字與數位問題 【解析】：倒轉后數字對應數位相應的倍率；【解答】：設這個兩位數的十位數字為x，個位數字為，依據題意可得； 例15：容斥問題 求從

14、1到2010中不能被5整除,也不能被6或7整除的自然數的個數.包含排除問題 例16：簡單的牛吃草問題 牧場上的青草每周都在長，假設每周長的一樣多，如果這片牧場可供24頭牛吃6周，20頭牛吃10周，那么這片牧場可供18頭牛吃多少周？牛吃草問題 【解析解析】因為牧草是在長的，所以我們先計算出牧因為牧草是在長的，所以我們先計算出牧草每周長多少。把草每周長多少。把1頭頭1天吃的草當成天吃的草當成1份：份：24頭牛頭牛6周吃了：周吃了：1246=144（份）（份）20頭牛頭牛10周吃了：周吃了：12010=200（份）（份）同一片牧場上原有草量是一樣的，這中間相差同一片牧場上原有草量是一樣的，這中間相差的就是的就是4周長出來的草量，因此草每周長：（周長出來的草量，因此草每周長：（200144）（10-6）=14（份）（份）18頭牛能吃多少周，我們可以這么考慮：頭牛能吃多少周，我們可以這么考慮：18頭頭牛每周共需吃牛每周共需吃18份，而每周可以長出來份，而每周可以長出來14份，所以份，