1、專題跟蹤訓練(二十九)概率、隨機變量及其分布列、選擇題1. (2018 廣東茂名一模)在 1,2,3,6 這組數據中隨機取出三個數字，則數字 2 是這三 個不同數字的平均數的概率是()11 1A.4 B. 3 C. 2 D.解析在 1,2,3,6這組數據中隨機取出三個數字，基本事件總共有4 個，分別為(1,2,3), (1,2,6), (1,3,6), (2,3,6).數字 2 是三個不同數字的平均數所包含的基本事件只有(1,2,3)，共 1 個.1數字 2 是三個不同數字的平均數的概率P=-.故選 A.4答案 A2. (2018 廣東深圳一模)兩名同學分 3 本不同的書，其中一人沒有分到書，

2、另一人分 得 3 本書的概率為()1 A 2 B.111-C.- D.-436解析兩名冋學分 3 本不冋的書，基本事件有(0,3) , (1a,2) , (1b,2) , (1c,2) , (2,1a),I 0(2,1b) , (2,1c) , (3,0)，共 8 個，其中一人沒有分到書，另一人分到3 本書的基本事件有221個，一人沒有分到書，另一人分得3 本書的概率P=1.故選 B.8 4答案BAF 乂I3. (2018 河南濮陽二模)如圖，已知電路中 4 個開關閉合的概率都是的，則燈亮的概率為()131屆 D. 1解析燈泡不亮包括兩種情況： 四個開關都開，下邊的 2 個都開，上邊的 2 個

3、中12,且是相互獨立1131621111111111有一個開，燈泡不亮的概率是 2X2X2X2+ 2XX 2X2+十2亮是兩個對立事件，燈亮的概率是1-售=囂，故選 C.答案Ca離至少有一個小于或等于o的所有點組成的平面區域如圖中陰影部分所示，各部分組合起來構成一個半徑為丿a的半圓，S陰影=- n |2=2 2答案B不同數的中位數的概率為X -X2 一燈亮和燈不4. （2018 河南安陽一模）在邊長為a的正三角形內任取一點Q,則點Q到三個頂點的距離均大于a的概率是（B. 1-冗61C.31D4解析設邊長為a的正三角形為三角形ABC如圖所示:AB= a,S三角形ABC=小a2 sin3=23AB

4、C勺頂點A、B C的距使點Q到三個頂點2na a8B C的距離都大于的概率P= 1-22p3a41-n.故選B.5.在 123,4,5,6,7,8這組數據中，隨機取出五個不同的數，則數字4 是取出的五個A/BC3A. 56B. 28C. 14D.562814解析設事件A為“數字 4 是取出的五個不同數的中位數”.“從八個數字中取出五個數字”的種數為n= C8= C8= 56.對事件A,先考慮數字 4 在五個數的中間位置，再考慮分 別從數字1,2,3 和 5,6,7,8 中各取兩個數字，則事件A包含的基本事件種數為m3X6=18.m189由古典概型的概率計算公式，得P（A）= =-.n56 28

5、答案B6. （2018 重慶一中一模）將 4 個不同的小球裝入 4 個不同的盒子，則在至少有一個盒子為空的條件下，恰好有兩個盒子為空的概率是（）2112217A BCD58296427解析根據題意，將 4 個不同的小球裝入 4 個不同的盒子的放法為4 = 256.若沒有空盒，有A4=24（種）放法，有 1 個空盒的放法有 dCA3= 144（種），有 3 個空盒的放法有 C4= 4種，則至少有一個盒子為空的放法有256 24= 232（種），故“至少有一個盒子為空”的概232率p1=，恰好有兩個盒子為空的放法有256 24 144 4 = 84（種），故“恰好有兩個盒256p=器 5i 故選A

6、.答案A二、填空題7.在100件產品中有95件合格品，5 件不合格品.現從中不放回地取兩次，每次任取 一件，則在第一次取到不合格品后，第二次取到不合格品的概率為_.解析解法一：設事件A為“第一次取到不合格品”，事件B為“第二次取到不合格品”，則所求的概率為P（B|A）,C2C因為P（AE）=百,RA） = C,C100C100子為空”的概率84a=256,則在至少有一個盒子為空的條件下，恰好有兩個盒子為空的概率44件不合格的，因此第二次取到不合格品的概率為4995X4答案998. (2018 青島模擬)如圖所示的陰影部分是由x軸，直線x= 1 及曲線y= ex- 1 圍成的，現向矩形區域OAB

7、(內隨機投擲一點，則該點落在陰影部分的概率是 _ .9.(2018 皖南八校聯考)某班從 B 名男生、2 名女生中選出 3 人參加志愿者服務，若 選出的男生人數為_E,則E的方差 DE) =.解析從 4 名男生、2 名女生中選出 3 人參加志愿者服務，選出的男生人數E可能、亠dd 1c4d 3C4C1、,為 1,2,3，其中，P( 1) =(3= 5，R 三=2) =-(r = 5 RE= 3) =-(p = 5.所以E的數1312123212學期望E(E) = 1X + 2X + 3X = 2,D(E) = (1 2)X+ (2 2)X，+ (3 2)X=.55555552答案5三、解答題所

8、以RB|A) =PprAB100X995499100解法二：第一次取到不合格品后，也就是在第二次取之前，還有99 件產品，其中有 44510.(2018 廣州綜合測試)某大學志愿者協會有 6 名男同學，4 名女同學.在這 10 名 同學中，3名同學來自數學學院，其余 7 名同學來自物理、化學等其他互不相同的七個學院. 現 從這 10 名同學中隨機選取 3 名同學，到希望小學進行支教活動(每位同學被選到的可能性相同).(1) 求選出的 3 名同學是來自互不相同學院的概率；(2) 設X為選出的 3 名同學中女同學的人數，求隨機變量X的分布列和數學期望.解(1)設“選出的3 名同學是來自互不相同的學

9、院”為事件A,貝 UP(A)=C3C+C0496隨機變量X的所有可能值為 0,1,2,3.C4_kP(X=k) =C3(k= 0,1,2,3).CTCii所以 RX= 0)二古=6，P(X=1=-c3T= 2，C43C4iRX=2二古=10,P(X=3)=7ir=30.所以隨機變量X的分布列是X0123P16123101301131曰X)=ox6+1X2+2X歷+3X30=11 某學校組織知識測試，設置A B,C三組測試項目供參賽同學選擇甲、乙、丙三名冋學參加比賽，其中甲參加1A組測試，甲通過測試的概率為3乙參加B組測試，乙通過1測試的概率為 2；丙參加C組測試，C組共有 6 道試題，丙只能答

10、對其中4 道題根據規則,丙只能且必須選擇 4 道題作答，至少答對 3 道才能通過測試.(1) 求丙通過測試的概率.(2) 記代B,C三組通過測試的總人數為E,求E的分布列和期望.解(1)設丙通過測試為事件A,_C4+ dc23則P(A)=C廠=5.12113 2依題意得，1 3= 3，1 -2=2，1 一 5 = 5，E的可能取值為 0,1,2,3，則有1122122132=3X2X5+3X2X5+3X2X5 = 5,所以選出的 3 名同學是來自互不相同學院的概率為4960.隨機變量X的數學期望2 1 2=)= 3x2x5=215,C3C+C0497=2)1121132133x2x5+“2x5

11、+3x2x5=113,113=3)= 3x2x5=丄1.8E0123P2211115530102211143所以 E 的期望E仁）=0X-+仆 5 +朕-+ 3X帀=元12. （2018 南昌第一次質檢）交強險是車主必須為機動車購買的險種.若普通 6 座以下私家車投保交強險第一年的費用（基準保費）統一為a元，在下一年續保時，實行的是費率浮交強險浮動因素和浮動費率比率表浮動因素浮動比率A】上一個年度未發生有責任道路交通事 故下浮 10%上兩個年度未發生有責任道路交通事 故下浮 20%上三個及以上年度未發生有責任道路 交通事故下浮 30%上一人年度發蘭一次有貴任不涉及死亡的道路交通事故0%Am上一

12、個年度發生兩次及兩次以上有責 任道路交通事故上浮 10%上一個年度發生有責任道路交通死亡 事故上浮 30%費率也就越高，具體浮動情況如下表:則E的分布列為動機制，保費與上一年度車輛發生道路交通事故的情況相聯系，發生交通事故的次數越多，9三年的該品牌同型號私家車的下一年續保時的情況，統計得到了下面的表格:類型AAAAA5A數量105520155以這 60 輛該品牌車的投保類型的頻率代替一輛車投保類型的概率，完成下列問題:一 2某機構為了研究某一品牌普通6 座以下私家車的投保情況，隨機抽取了60 輛車齡已滿101(2)由統計數據可知任意一輛該品牌車齡已滿三年的二手車為事故車的概率為3 三輛車中至多

13、有一輛事故車的概率為P= 3 J + dr | J= |7.設Y為該銷售商購進并銷售一輛二手車的利潤，Y的可能取值為5000,10000.所以Y的分布列為Y50001000012P3312所以 日Y) = 5000 x- + 10000 x3= 5000,33(1)按照我國機動車交通事故責任強制保險條例汽車交強險價格的規定,a= 950.記X為某同學家的一輛該品牌車在第四年續保時的費用，求X的分布列與數學期望；(數學期望值保留到個位數字)(2)某二手車銷售商專門銷售這一品牌的二手車，且將下一年的交強險保費高于基本保費的車輛記為事故車.假設購進一輛事故車虧損5000 元，一輛非事故車盈利10000 元：若該銷售商購進三輛(車齡已滿三年)該品牌二手車，求這三輛車中至多有一輛事故車的概率;若該銷售商一次購進100 輛(車齡已滿三年)該品牌二手車，求他獲得利潤的期望值.解(1)由題意可知,X的可