1、1.11.1正弦定理和余弦定理正弦定理和余弦定理主要內容1.1.2余弦定理1.1.1 正弦定理導入課題導入課題 在我國古代就有嫦娥奔月的神話故事.明月高懸，我們仰望夜空，會有無限遐想，不禁會問：遙不可及的月亮離地球究竟有多遠呢? 1671年， 兩個法國天文學家測出了地球與月球之間的距離大約為385400km.他們是怎樣測出兩者之間距離的呢？385400km 在初中，我們已經能夠借助于銳角三角 函數解決有關直角三角形的一些測量問題.在實際工作中我們還會遇到許多其他的測量問題，這些問題僅用銳角三角函數就不夠了，如： 在數學發展歷史上，受到天文測量、航海測量和地理測量等方面實踐活動的推動，解三角形的

2、理論得到不斷發展，并用于解決許多測量問題. 1.怎樣在航行途中測出海上兩個島嶼之間的距離？ 2.怎樣測量底部不可到達的建筑物的高度？ 3.怎樣在水平飛行的飛機上測量飛機下方山頂的海拔高度？ 4.怎樣測出海上航行的輪船的航速和航向？實際問題舉例 這些問題的解決需要我們進一步學習任意三角形中邊與角關系的有關知識. 本章中我們要學習正弦定理和余弦定理，并學習應用這兩個定理解三角形以及解決實際測量中的一些問題.1.1.11.1.1正弦定理正弦定理 我們知道，在任意三角形中有大邊對大角，小邊對小角的邊角關系。我們是否能夠得到這個邊、角關系準確量化的表示呢？ 在ABC中，A、B、C所對的邊分別為BC、AC

3、、AB，它們的長分別為a、b、c，這節課我們研究A、B、C、 a、b、c之間有怎樣的數量關系？ABC直角三角形中直角三角形中: Rt: Rt ACBACB1sin,sin,sinCcbBcaAABCabcCccBbcAacsin,sin,sin即CcBbAasinsinsin斜三角形中這一關系式是否仍成立呢?CcBbsinsin首先，在銳角三角形首先，在銳角三角形ABCABC中，中，CD=asinBCD=bsinAasinB=bsinA得到BACD設邊AB上的高是CD，根據三角函數定義同理，在ABC中BbAasinsin為外接圓半徑RRCcBbAa2sinsinsin變式變式: : AaCcC

4、cBbBbAasinsin;sinsin;sinsin1 cbaCBA:sin:sin:sin2 當ABC是鈍角三角形鈍角三角形時，以上等式仍然成立嗎？是否可以用其他方法證明正弦定理？BACCcBbsinsin 在鈍角三角形ABC中，設角B為鈍角，邊AB上的高是CD，根據三角函數定義，CD=ACsinA=bsinACD=CBsinCBD =asin(1800-B) =asinBasinB=bsinA得到BACD同理BbAasinsin用外接圓法可證明正弦定理用外接圓法可證明正弦定理DCRDcCc2sinsinRAaRBb2sin2sin，同理：ABCDabcO如圖:為外接圓半徑即得：RRCcB

5、bAa2sinsinsin設BD為外接圓直徑，長為2RBAD=900正弦定理同樣成立RAa2sin正弦定理與解三角形正弦定理與解三角形 正弦定理指出了任意三角形中三條邊與對應角的正弦之間的一個關系式，非常好地描述了任意三角形中邊與角的一種數量關系. 利用正弦定理可以解決一些怎樣的解三角形問題呢？從理論上,正弦定理可解決兩類問題: 1.兩角和任意一邊,求其他兩邊和另一角； 2.兩邊和其中一邊對角,求另一邊的對角,進而可求其他的邊和角.解：根據三角形內角和定理 C=1800-A-B=1800-32.00-81.80=66.20 例1. 在ABC中，已知A= , B= , a= 42.9cm, 求解

6、三角形. 000 .32sin8 .81sin9 .42sinsinABab00 .32分析分析: :這是一個已知兩角和一邊求另兩邊和一角的問題這是一個已知兩角和一邊求另兩邊和一角的問題. .根據正弦定理80.1(cm)根據正弦定理000 .32sin2 .66sin9 .42sinsinACac74.1(cm)08 .81 已知在 中, , 求 和30,45,10CAcba,BABC練習練習1ABC 例2:已知在ABC中,a=20cm,b=28cm,A=400,求解三角形（角度精確到10，邊長精確到1cm）. 分析分析: :這是一個已知兩邊及一邊的對角這是一個已知兩邊及一邊的對角, ,求其他

7、邊和角的求其他邊和角的問題問題. .根據正弦定理8999. 02040sin28sinsin0aAbB解：因為00B1800, 所以B640，或B11601)當B640時C=1800-(A+B)1800-(400+640)=760)(3040sin76sin20sinsin00cmACac2)當B1160)(1340sin24sin20sinsin00cmACacC=1800-(A+B)1800-(400+1160)=240 已知在 中, , 求 和CA,1,60, 3cBbaABC 分析分析: :這是一個已知兩邊及一邊的對角這是一個已知兩邊及一邊的對角, ,求其他邊和求其他邊和角的問題角的問

8、題. .練習練習2ABC若若A A為銳角時為銳角時: :銳角一解一銳、一鈍二解直角一解無解babaAbAbaAbasinsinsin若若A A為直角或鈍角時為直角或鈍角時: :銳角一解無解baba已知ABC中邊長a、b和角A，求其它角和邊.反思提高解的情況討論1. 若若A為銳角為銳角1）a=bsinAAbaBCAB2baB1Ca2）bsinAabab2 2）abab小結小結 1. 正弦定理的推導與證明, 2.利用正弦定理所能解決的兩類有關三角形問題: 1) 已知兩角一邊; 2) 已知兩邊和其中一邊的對角.作業作業 P4 P4 練習練習 1, 21, 2 P10 P10習題習題 1.1 A1.1

9、 A組組 1, 21, 21.1.21.1.2余弦定理余弦定理 如果已知一個三角形的兩條邊及其所夾的角，根據三角形全等的判定方法，這個三角形是大小、形狀完全確定的三角形. 我們仍然從量化的角度來研究這個問題，也就是研究如何從已知的兩邊和它們的夾角計算出三角形的另一邊和另兩個角的問題. 已知三角形的兩邊的長BC=a, AC=b,邊BC和邊AC所夾的角是C，我們設法找出一個已知的邊 a、b和角C與第三條邊c之間的一個關系式，或用已知的邊a、b和角C表示第三邊c的一個公式.ABC 聯系已經學過的知識和方法，我們從什么途徑來解決這個問題？ABC 問題：若ABC為任意三角形，已知角C，BC=a,CA=b

10、, 求邊c.CBACAB)(CBACCBACABABCBCBCBACACAC22)180cos(2220CBCCBACACAB解：解：Cabbaccos2222ABCcba余弦定理Cabbaccos2222Abccbacos2222Baccabcos2222余弦定理：三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊余弦定理：三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們的夾角的余弦的積的的平方的和減去這兩邊與它們的夾角的余弦的積的兩倍兩倍. . 用坐標法怎樣證明余弦定理？還有其他方法嗎？坐標法推導余弦定理 解：以解：以CB所在的直線為所在的直線為X軸，軸，過過C點垂直于點垂直于CB的直線為的直

11、線為Y軸，軸，建立如圖所示的坐標系，則建立如圖所示的坐標系，則A、B、C三點的坐標分別為：三點的坐標分別為：)0 , 0(),0 ,(),sin,cos(CaBCbCbACabbaCbaCabCbCbaCbABcos2sincos2cos)0sin()cos(2222222222Cabbaccos2222bAacCByx變式變式acbcaB2cos222bcacbA2cos222abcbaC2cos222Cabbaccos2222Abccbacos2222Baccabcos2222特別地1. 1. 當當C=90C=900 0時，時， cosC=0, ccosC=0, c2 2 = a= a2

12、2+b+b2 22. 2. 當當0 00 0C90C0, ccosC0, c2 2 aa2 2+b+b2 23. 3. 當當90900 0C180C1800 0時，時， cosC0, ccosC a a2 2+b+b2 2利用余弦定理，可以解決以下問題： 1).已知三邊，求三個角； 2).已知兩邊及夾角，求第三邊和其他兩個角.ABCabcc2=a2b22abcosC.a2b2c22abcosC 例1 在ABC中，已知b60cm，c=34cm，A410，解三角形（角度精確到10，邊長精確到1cm）.解：根據余弦定理a2=b2+c2-2bc cosA=602+342-26034cos4101676

13、.82所以 a41（cm) 分析分析：已知兩條邊和其夾角A，先用余弦定理求出第三邊，再求出其它角.aAcCsinsin由正弦定理得由正弦定理得5440. 041656. 034 因為cb, c不是三角形中最大的邊，所以C是銳角，利用計算器可得C330B=1800-（A+C）1800-（410+330）=1060例2 在ABC中，已知a7，b10，c6， 求 A、B 和 C.解：所以 A44所以 C36,所以 B180(AC)100.因為cosA 0.725，bcacb2222因為cosC 0.8071，abcba2222練習 在ABC中，已知a134.6cm，b87.8cm， c161.7cm，求解三角形（角度精確到 ）ABC1|2|cos222ACABBCACABA3652ABCOxy所以 A84.73)85()2(6|22AB85) 18()42(|22BC52) 15()46(|22AC解：因為 例3：ABC三個頂點坐標為A(6，5)、B(-2，8)、C(4，1)，求角A. 我們討論的解三角形的問題可以分為幾種類型？分別是怎樣求解的？ 要求解三角形，是否