1、3A.3sina米B.3cosa米C.D.一、選擇題1.（ 20 佃廣西北部灣，11, 3 分）小菁同學在數學實踐活動課中測量路燈的高度.如圖，已知她的目高 AB 為 1.5米，她先站在 A 處看路燈頂端 0 的仰角為 35再往前走 3 米站在 C 處，看路燈頂端 0 的仰角為 65則路燈頂點 0 到底面的距離約為（已知sin35 0.6DOS35Q.8tan35 Q.7sin65 0.4cos65 0,9tan65 2.1A.3.2 米 B.3.9 米 C.4.7 米 D.5.4 米貫嚴Mil題圍【答案】C.【思路分析】 本題考查解直角三角形過點 O 作 OE 丄 AC 于點 F，延長 BD

2、 交 OE 于點 F，設 DF=x,根據銳角三 角函數的定義表示 OF 的長度，然后列出方程求出 x 的值即可求出答案.【解答過程】 解：過點 O 作 OE 丄 AC 于點 F,延長 BD 交 OE 于點 F,設 DF=x,。OF/ tan65 =- ,DF OF=xtan65,/ BF=3+ x,/ tan35=,BF OF=(3+ x)tan35 , 2.1x=0.7(3+x), x=1.5, OF=1.5X2.1=3.15, OE=3.15+1.5=4.65 ,故選 C.【知識點】 解直角三角形及其應用2.（2019 吉林長春，6 , 3 分） 如圖，一把梯子靠在垂直水平地面的墻上，梯子

3、 AB 的長是 3 米若梯子與地面的夾角為a則梯子頂端到地面的距離C 為O【答案】A.BCBC【思路分析】 本題主要考查了解直角三角形的應用，直接利用銳角三角函數關系得出sina，進而得AB 3出答案.BCBC【解答過程】 解：由題意可得：sin =，故 BC=3sin (m).AB 3故選：A.【知識點】 解直角三角形的應用二、填空題1. (2019 湖北仙桃，15,3 分)如圖，為測量旗桿 AB 的高度，在教學樓一樓點 C 處測得旗桿頂部的仰角為 60,在四樓點 D 處測得旗桿頂部的仰角為30,點 C 與點 B 在同一水平線上.已知 CD = 9.6m,則旗桿 AB 的高【答案】14.4【

4、解析】 解：作 DE 丄 AB 于 E,如圖所示： 則/ AED = 90,四邊形 BCDE 是矩形，BE=CD=9.6m,/CDE= ZDEA=90,/ADC = 90 +30 = 120 ,/ ACB = 60,/ACD = 30,/ CAD = 30=/ ACD , AD = CD = 9.6m,在 Rt ADE 中，/ ADE = 30,二 AE AD = 4.8m,/ AB = AE+BE = 4.8m+9.6m= 14.4m；【知識點】解直角三角形的應用-仰角俯角問題2. （2019 湖北咸寧，13, 3 分）如圖所示，九（1）班數學課外活動小組在河邊測量河寬AB （這段河流的兩岸

5、平行），他們在點 C 測得/ ACB = 30,點 D 處測得/ ADB = 60, CD = 80m,則河寬 AB 約為m（結果保留整數，1.73）.A tn Ji Tmi卜* S W jli9 1CD B【答案】69【解析】解：在 Rt ABC 中，/ ACB= 30,/ ADB = 60,/ DAC = 30,DA = DC = 80,在 Rt ABD 中，,4069 （米），故答案為 69.【知識點】 解直角三角形的應用3.（2019 湖北孝感，13, 3 分）如圖，在 P 處利用測角儀測得某建筑物AB 的頂端 B 點的仰角為 60,點 C 的仰角為 45,點 P 到建筑物的距離為 P

6、D = 20 米，貝 U BC =米.A【答案】（2020）【解析】 解：在 Rt PBD 中，tan/ BPD貝 U BD = PD ?tan / BPD = 20 ,在 Rt PBD 中，/ CPD = 45,CD= PD = 20, BC = BD - CD = 2020,故答案為：（2020）.【知識點】解直角三角形的應用-仰角俯角問題4.（2019 湖北荊州，14, 3 分）如圖，燈塔 A 在測繪船的正北方向，燈塔B 在測繪船的東北方向，測繪船向正東方向航行 20 海里后，恰好在燈塔 B 的正南方向，此時測得燈塔 A 在測繪船北偏西 63.5。的方向上，則燈塔A,B 間的距離為海里（

7、結果保留整數）.（參考數據 sin26.5 0.45, cos26.5 0.90, tan26.5 0.50,【答案】22.4【解析】 解：由題意得， MN = 20,/ ANB= 63.5，/ BMN = 45 ，/ AMN = / BNM = 90 BN = MN = 20,如圖，過 A 作 AE 丄 BN 于 E,則四邊形 AMNE 是矩形，AE = MN = 20, EN= AM ,/ AM=MN?tan26.5 =20X0.50=10, BE = 20 - 10= 10 ,B2.24)【知識點】 解直角三角形的應用-方向角問題5.（2019 內蒙古赤峰，17, 3 分）如圖，一根豎直

8、的木桿在離地面3.1m 處折斷，木桿頂端落在地面上，且與地面成 38角，則木桿折斷之前高度約為m.（參考數據：sin38 0.62, cos38 0.79, tan38 0.78）【答案】8.1【解析】 解：如圖：AC = 3.1m,/ B= 38 , AB 木桿折斷之前高度= AC+AB= 3.1+5 = 8.1 （ m）【知識點】 解直角三角形的應用6. （2019 江蘇徐州，16, 3 分）AB1022.4 海里.故答案為：22.4.16.如國*尤人肌于空中 A 處測嗎某建加頂部 E 處的仰介為 4 亍，澳得該建麹良殊匚處的駙律 為 17若無人機的飛行高度AD為強IT*則該建筑的扁度執

9、7 為 AHI.鑒葦戳據；sin!7 噲 0.29. col7a= Q,郵，ianl7* =03）【答案】262【解析】 本題解答時要通過作垂線構造矩形和直角三角形解：過 A 作 AE 丄 BC 于 E,則四邊形 ADCE 為矩形，在 RtAACD,/AD=62,/ACD =/EAC=17 /AE=CD=AD=-6L =200tan 17 0.31/ AE 丄 BE, / BAE=45 / BE=AE=200, / BC=CE + BE= AD + BE = 62 + 200 = 262 ( m)【知識點】解直角三角形的應用 三、解答題1.（20 佃廣東深圳，20, 8 分）如圖所示，某施工隊

10、要測量隧道長度BC , AD=600 米，AD 丄 BC ,施工隊站在點 D 處看向 B,測得仰角 45。，再由 D 走到 E 處測量，DE / AC , DE=500 米，測得仰角為 53,求隧道 BC3, tan535長.(sin53【思路分析】 作 EM 丄 AC 于點 M，構建直角三角形，解直角三角形解決問題.【解題過程】 如圖， ABD 是等腰直角三角形， AB=AD=600 .作 EM 丄 AC 于點 M，貝 U AM=DE=500 ,二 BM=100 .在 Rt CEM 中，tan53 =CM，即CM=4,EM 600 3 CM=800 BC=CWBM=800- 100=700

11、（米）,隧道 BC 的長度為 700 米.答：隧道 BC 的長度為 700 米.cB MAL、ED【知識點】解直角三角形2.（20 佃 廣西河池，T22, F8 分）如圖，在河對岸有一棵大樹A，在河岸B點測得A在北偏東 60 方向上，向東前進 120m 到達 C 點，測得A在北偏東 30 方向上，求河的寬度（精確到 0.1m）.參考數據：2 1.414 , 3 : 1.732 .A北一 */壬TBcCD 的長，結合 BC =BD -CD =120，即可求出AD的長.【解題過程】 解：過點A作AD_直線 BC，垂足為點D，如圖所示.在 Rt ABD 中，tan. BAD =BDAD .BD =A

12、DUtan60 二 3AD ；CD 在 Rt ACD 中，tan ZCADAD.CD 二 ADLtan30AD .3.BC =BD -CDAD =120 ,3.AD =103.9 .河的寬度為 103.9 米.【思路分析】 過點A作AD_直線 BC ,垂足為點D，在 Rt ABD和 Rt ACD 中，通過解直角三角形可求出BD,【知識點】 解直角三角形的應用 一方向角問題3.（2019 貴州遵義，19, 10 分）某地為打造宜游環境，對旅游道路進行改造，如圖是風景秀美的觀景山，從山腳 B 到山腰 D 沿斜坡已建成步行道， 為方便游客登頂觀景，欲從 D 到 A 修建電動扶梯，經測量，山高 AC=

13、154米，步行道 BD=168 米，/ DBC=30，在 D 處測得山頂 A 的仰角為 45求電動扶梯 DA 的長（結果保留根號）【思路分析】如圖，過點 D 作 DM 丄 AC 于 M , DN 丄 BC 于 N，則 Rt BDN 中 BD=168，/ DBC=30，可求 DN 的長，由于 DN=CM，所以 AM 可求，Rt ADM 中，/ADM=45 ，進而可求出 AD 的長【解題過程】解：如圖，過點 D 作 DM 丄 AC 于 M , DN 丄 BC 于 N ,貝 U RtBDN 中 BD=168,ZDBC=30, DN=84 ,/ DN=CM , CM=84/ AC=154 , AM=7

14、0 , Rt ADM 中，/ ADM=45 , AD=7012答：求電動扶梯 DA 的長為70J2米.【知識點】解直角三角形4. （2019 海南,20 題,10 分）圖 9 是某區域的平面示意圖，碼頭 A 在觀測站 B 的正東方向，碼頭 A 的北偏西 60方向 上有一小島 C,小島 C 在觀測站 B 的北偏西 15方向上，碼頭 A 到小島 C 的距離 AC 為 10 海里.（1）_ 填空：/ BAC=_度，/C=度；（2）求觀測站 B 到 AC 的距離 BP（結果保留根號）.【思路分析】任務一:根據平均數的計算方法求值即可；任務二：設出旗桿高度，表示出 CE,DE 的長度，得到方程，即可解得

15、；任務三：根據實際情況分析原因【解題過程】 小島 C 在碼頭 A 的北偏西 60方向上，/ BAC = 30 ,在厶 ABC 中，/ABC = 90 +15 = 105，/C=180/BAC-ZABC=45;設 BP= x 海里，則在 Rt BCP 中，CP= BP= x，在 Rt ABP 中，AP = 3BP =3X，TAC = 10， 3x+x = 10，x =5 3 5 答:觀測站 B 到 AC 的距離為（53 5）海里.【知識點】三角函數的應用5. （2019 黑龍江綏化，23 題,6 分）按要求解答下列各題:（1）如圖，求作一點 P 使點 P 到ZABC 的兩邊的距離相等，且在 AB

16、C 的邊 AC 上.（用直尺和圓規作圖，保留作圖痕 跡;不寫作法和證明）;如圖,B,C 表示兩個港口，港口 C 在港口 B 的正東方向上，海上有一小島 A 在港口 B 的北偏東 60的方向上 且在港口 C的北偏西 45方向上測得 AB = 40 海里,求小島 A 與港口 C 之間的距離（結果可保留根號）第 24 題圖【思路分析】（1）根據角平分線的尺規作圖方法進行作圖；（2）過點 A 作 AD 丄 BC,利用三角函數，分別在兩個三角形中求出相應線段的長度【解題過程】（1）如圖，作出ZABC 的平分線，標出點 P；過點 A 作 AD 丄 BC 于點 D,由題意得，ZABD = 30，/ACD =

17、 45，在 Rt ADB 中，：AB = 40,AD = ABsin30=20,在 RtAADC 中,sinZACD =, AC = 20.2（海里），答:小島 A 與港口 C 之間的距離是 20 2 海里.AC第 24 題答圖【知識點】 尺規作圖，三角函數的應用6. （2019 湖南張家界，20, 6）天門山索道是世界最長的高山客運索道，位于張家界天門山景區在一次檢修維護中，檢修人員從索道A 處開始，沿 A BC 路線對索道進行檢修維護如圖：已知AB= 500 米，BC=800 米，AB 與水平線 AA1的夾角是 30, BC 與水平線 BB1的夾角是 60.求：本次檢修中，檢修人員上升的垂

18、直高度 CAi是多少米？（結果精確到 1 米，參考數據：- 1.732）第 20 題圖【思路分析】 過點 B 作 BD 丄 AAi于 D,在 Rt ABD 和在 Rt CBBi中，由正弦函數，分別求出 BD 和 CBi的長, 兩者相加，即為 CAi的長.【解題過程】 如答圖，過點 B 作 BD 丄 AAi于 D，則 AiBi= BD .BDi在 RtAABD 中，由 si nA =-，得 BD = AB?si nA= 500?s in 30 = 500 X = 250 （米）.AB2CB在 Rt CBBi中，由 sin / CBBi=,CB得 CBi= CB?sin/ CBBi= 800?si

19、n60= 800X = 4003= 692.8 （米）.2 CAi= CBi+ BiAi= 692.8+ 250= 942.8943 （米）.本次檢修中，檢修人員上升的垂直高度CAi約為 943 米.【知識點】解直角三角形.7.（20i9 湖北十堰，i9, 7 分）如圖，攔水壩的橫斷面為梯形ABCD , AD = 3m,壩高 AE= DF = 6m，坡角a=45,3=30，求 BC 的長.【思路分析】 過 A 點作 AE 丄 BC 于點 E,過 D 作 DF 丄 BC 于點 F，得到四邊形 AEFD 是矩形，根據矩形的性質 得到 AE=DF = 6, AD = EF = 3,解直角三角形即可得

20、到結論.【解題過程】解： 解：過 A 點作 AE 丄 BC 于點 E,過 D 作 DF 丄 BC 于點 F ,貝 U 四邊形 AEFD 是矩形，有 AE = DF = 6, AD = EF = 3,坡角a=45,3=30,BE = AE= 6, CF一 DF = 6_, BC = BE+EF+CF = 6+3+6 9+6_,BC =（ 9+6） m,答：BC 的長（9+6_） m.【知識點】 解直角三角形的應用-坡度坡角問題8.（2019 湖南郴州，21, 8 分）如圖所示，巡邏船在 A 處測得燈塔 C 在北偏東 45方向上，距離 A 處 30km.在 燈塔 C的正南方向 B 處有一漁船發出求

21、救信號，巡邏船接到指示后立即前往施救已知B 處在 A 處的北偏東60方向上，這時巡邏船與漁船的距離是多少？（精確到 0.01km.參考數據：1.414,_1.732, 一 2.449）【思路分析】 延長 CB 交過 A 點的正東方向于 D，則/ CDA = 90，由題意得：AC = 30km,/ CAD = 45,/BAD = 30,由直角三角形的性質得出 AD = CD AC = 15AD_BD , BD5 一，即可得出答案.【解題過程】解： 延長 CB 交過 A 點的正東方向于 D，如圖所示：由題意得：AC= 30km,/ CAD = 90- 45= 45,/ BAD = 90- 60=

22、30 ,則/ CDA = 90, AD = CD AC= 15_, AD_BD , BD5 一，BC=CD-BD=15 _ 5 15X1.414-5X2.4498.97(km);答：巡邏船與漁船的距離約為8.97km.【知識點】 解直角三角形的應用-方向角問題9.（ 2019 年陜西省，20, 7 分）（本題 7 分）如圖，兩座建筑物的水平距離 BC 為60m,從 C 點測得 A 點的仰角:-為53，從 A 點測得 D 點的俯角為37，求兩座建筑物的高度（參考數據:【思路分析】通過作輔助線，構造一個矩形，禾U用銳角三角函數解決問題. 【解題過程】解：過點 D 作DE_AB，垂足為 E,所以AE

23、D DEB =90由已知，可得.B=/BCD =90, EDA = 1 =37,因為.B =BCD二.DEB =90, 所以四邊形 BCDE 為矩形，所以ED =BC =60,CD =BE,AB在 Rt ABC 中，因為tanBC4AB=BCtan60tan53 603=80,AE在 Rt ADE 中，因為tan. ADEED3AEDtanAD60 tan37 60V45，所以BE = AB - BE =80-45 =35,所以CD = BE =35,所以兩座建筑物的高度分別為80m, 35m .34sin 37,cos37二553tan 37二4sin53=4,5cos53=3,5tan53

24、二單).3第 14 題答圖【知識點】矩形的判定定理和性質定理、銳角三角函數、平行線的性質.10.（2019 黑龍江大慶，22 題,6 分）如圖，一艘船由 A 港沿北偏東 60方向航行 10km 至 B 港，然后再沿北偏西 30 方向航行 10km 至 C 港.（1）求 A,C 兩港之間的距離（結果保留到 0.1km,參考數據：2疋1.414, 3疋1.732）;（2）確定 C 港在 A 港的什么方向第 22 題圖【思路分析】（1）由方位角及 AB,BC 的長度，可得 ABC 是等腰直角三角形，進而得到 AC 長度;（2）根據方位角等角 度,得到/ MAC 的度數.【解題過程】（1）因為 B 港

25、在 A 港沿北偏東 60方向，所以/ ABQ = 30 ,因為 C 港在 B 港的北偏西 30 ,所以/CBQ = 60 ,所以/ ABC = 90 ,因為 AB = BC = 10km,所以 ABC 是等腰直角三角形，所以 AC =2 AB = 10 2 14.1km;由（1）可知，/CAB = 45 ,所以/ MAC = 15 ,所以 C 港在 A 港的北偏東 15的方向.【知識點】 方位角，三角函數11.（2019 吉林省，21, 7 分）墻壁及淋浴花灑截面如圖所示，已知花灑底座 A 與地面的距離 AB 為 170cm，花 灑 AC 的長為 30cm,與墻壁的夾角/ CAD 為 43求花

26、灑頂端 C 到地面的距離 CE （結果精確到 1cm）.（參考數 據：sin43 0.68 ,cos430.73, tan43 0.93）【思路分析】如圖，過點 C 作 CM 丄 BD 于點 M,解 Rt ACM，可以求出 AM 的長，從而可以求出 BM 的長, 由于 CE=BM問題可以解決.片A【解題過程】解：如圖，過點 C 作 CM 丄 BD 于點 M ,Rt ACM 中 AC=30m, / CAD=43 ,AM _ AMcos/ CAD=AC 30 AM=30cos / CAD=30 0.73=21.9,所以 CE=AM+AB=21.9+170=191 令 192cm答：花灑頂端 C 到

27、地面的距離為 192cm【知識點】解直角三角形12.(20 佃遼寧本溪，22，12 分)小李要外出參加 建國 70 周年”慶?；顒樱杈W購一個拉桿箱，圖，分別 是她上網時看到的某種型號拉桿箱的實物圖與示意圖，并獲得了如下信息： 滑桿 DE，箱長 BC，拉桿 AB 的長度都相等，B, F 在 AC 上, C 在 DE 上,支桿 DF=30cm, CE:CD=1:3 , / DCF=45 , / CDF=30，請根據以上信息， 解答下列問題：(1 )求 AC 的長度，(結果保留根號)；(2)求拉桿端點 A 到水平滑桿 ED 的距離(結果保留根號).【思路分析】 本題主要考查解直角三角形 .(1)

28、過點 F 作 FM 丄 ED，垂足為 M，根據 DF=30cm,/ CDF=30 可得 MF 和 MD 的長，根據/ DCF=45 可得出CM 的長進而求出 DE，根據 DE=BC=AB 即可求出 AC 的長；(2)過點 A 作 AN 丄 ED，垂足為 N,根據 AC=40+40( cm),/ DCF=45 以及 AN=AC sin / DCF 即可求出答案【解題過程】 解：(1)過點 F 作 FM 丄 ED，垂足為 M./ DF=30cm,/ CDF=30 ,/ DCF=45 , CM=MF=15 cm, CD=CM+MD=15+15.3 ( cm) / CE:CD=1:3 , ED=20+

29、20 .3 (cm)/ DE=BC=AB ,(2)過點 A 作 AN 丄 ED，垂足為 N ,AC=40+40 羽(cm), / DCF=45 , AN=AC sin/ DCF=20 逅+20 禹 (cm)【知識點】 解直角三角形及其應用13.( 2019 廣西賀州，22，8 分)如圖，在A處的正東方向有一港口B.某巡邏艇從A處沿著北偏東 60 方向巡 邏，到達 C處時接到命令，立刻在 C 處沿東南方向以 20 海里/小時的速度行駛 3 小時到達港口B求A,B間的距離.C.3 ：、1.73 ,2 : 1.4，結果保留一位小數)【思路分析】 過點 C 作 CD _ AB，垂足為點D，則.ACD

30、=60 , BCD =45，通過解直角三角形可求出BD,AD的長，將其相加即可求出AB的長.【解題過程】解： 解：過點 C 作 CD _AB，垂足為點D，則.ACD =60 , . BCD =45，如圖所示.在 Rt BCD 中，sin. BCDcos BCD =CDBCBC.BD =BCbsinBCD =20 3-：42 , CD =BCLDOSBCD =20 3 -: 42 ;2 2AD在 Rt. ACD 中，tan /ACD =-CD.AD 二 CDLtan ACD =42:72.2 . MF=15 cm,MD=153cm.AC=AB+BC=40+40(cm).AB =AD BD =72.242 =114.2 . A,B間的距離約為 114.2