1、初中九年級數(shù)學(xué)培優(yōu)訓(xùn)練（奧數(shù)）專題17直角三角形中的比例線段閱讀與思考借助相似三角形法研究直角三角形，我們會得到許多在解題中應(yīng)用極為廣泛的結(jié)論.如圖，在 RtABC 中，/ A=900, ADBC 于 D,則1 .圖中角的關(guān)系：/ B=/DAC, /C=/DAB;2 .同一三角形中三邊平方關(guān)系：ab2=ad2+bd2, ac2=ad2+cd2； bc2=ab2+ac2.3 .三角形之間的關(guān)系： ABDA CADA CBA,由此得出的線段之間的關(guān)系：AD2=BD?DC, ab2=bd?bc, ac2=cd?bc.由此得出的等積式在計算與證明直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形與原三角形相似

2、, 中應(yīng)用極為廣泛，其特點是：一線段是兩個三角形的公共邊;另兩條線段在同一直線上.例題與求解【例1】如圖，Rt ABC中，CD為斜邊 AB上的高，DE，CB于E.若BE=6, CE=4,則AD=（上海市競賽試題）解題思想：圖中有兩個基本圖形，恰當選取相應(yīng)關(guān)系式求出AD.例1題圖例2題圖【例2】如圖，在RtAABC中,C=900 , CD LAB,下列結(jié)論:CD?AB=AC?BC;111 2 -7.，AC2 BC2 CD2其中正確的個數(shù)是 （）AC2 AD2 一；BC2 BDac+bc>cd+ab.A. 4個B. 3個C. 2個D. 1個（江蘇省競賽試題）解題思路：綜合運用直角三角形性質(zhì)逐

3、一驗證，從而作出判斷.【例3】如圖，在等腰 RABC中，AB=1, /A=900,點E為腰AC的中點，點F在底邊BC上，且EFXBE,求 CEF的面積.（全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）解題思想：欲求 EFC的面積，由于EC=-,只需求出 EFC中EC邊上的高，或求出 EC邊上的2高與EC的關(guān)系.本例解法甚多，同學(xué)們的解題思路，自由探索與思考，尋求更多更好的解法.【例4】如圖，直線 OB是一次函數(shù)y 2x的圖象，點A的坐標為（0, 2）,在直線OB上找一點C,使 ACO為等腰三角形，求點 C的坐標.（江蘇省競賽試題）解題思想：注意分類討論.能力訓(xùn)練A級1 .如圖，在兩個直角三角形中，/ACB = /AD

4、C=90°, AC=J6, AD=2,當AB=時，這兩個直角三角形相似.AC乙。公BCAD（第1題圖）（第2題圖）2 .如圖，在 RtAACB中，CD LAB于點D, 于G,若CE= J3 ,則BG的長為.3 .如圖，ABCD為矩形，ABDE為等腰梯形，占BBC（第3題圖）/ A的平分線 AF交CD于E,過E弓I EG / AB交BC（上海市克賽試題）BD=20, EA=10,貝U AB=.（“五羊杯”競賽試題）4.如圖，梯子 AB斜靠在墻面上，ACXBC,足B沿CB方向滑動y米,A. x y則x與y的大小關(guān)系是B.AC=BC,: )C. X當梯子的頂端A沿AC方向下滑X米時，梯D.

5、不確定（江蘇省競賽試題）（第5題圖）5.如圖，矩形ABCD中,AB=/3BC=3,AEXBDEC等于（6.A."2B.C.,152D.,212,一、 一 一2在 ABC中，AD是局，且ADBD CD ,那么/BAC的度數(shù)是（A.小于900B.等于900C.大于900D.不確定（全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）7.BD=15,如圖，在 ABC中，已知/ C=900 求AE, BE的長.AD是/ CAB的角平分線， 點E在AB上，DE / CA , CD=12,（上海市中考試題）8.如圖, ag2=af在矩形 ABCD中，E是CD的中點，BELAC交AC于F,過F作FG /AB交AE于G,求證:F

6、C.（西安市中考試題）9.如圖，在 RtAABC 中，/ ACB=90°, CDXAB, DEXAC, DFXBC, D, E, F 分別為垂足，求證：CD3=AB -AE BF .（四川省中考試題）10.如圖,在 RtAABC中，/ ACB=900, AD平分/ CAB交BC于點D,過點C作CEXAD于點E,CE的延長線交AB 于點 F,過點 E 作 EG / BC 交 AB 于點 G, AE AD=16, AB=4，5 .求證:CE=EF; 求EG的長.（河南省中考試題）11.如圖,PEXAC 于 E,在4ABC中，已知/ ACB=90° , BC= k - AC, C

7、DAB于點D,點P為AB邊上一動點, PFXBC 于 F.當k=2時,則CEBF當k=3時,連結(jié)EF,DF,求生的值;DF（第11題圖）當k =時,EFDF2、3舊 二（直接寫出結(jié)果，不需證明）.31.如圖，在 RtAABC 中，/ A=900,AD ± BC, P 為 AD 的中點，BP 交 AC 于 E, EF± BC 于 F , AE=3, EC=12,貝U EF=.（黃岡市競賽試題）2.如圖，在RtAABC中，兩條直角邊 AB, AC的長分別為1厘米，2厘米，那么直角的角平分線的長度等于厘米.3.如圖，EFGH是矩形ABCD的內(nèi)接矩形，且EF:（全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題

8、）FG=3: 1, AB: BC=2: 1,則 AH : AE=（上海市競賽試題）4.如圖， ABC中，/ ACB=900, CD和CE分別是底邊 AB上的高和/ C的平分線，若/ CED s ABC,則/ ECD 等于（）A. 180B. 200C. 22.50D. 300（山東省競賽試題）5 .如圖，在 ABC 中，D, E 分別在 AC, BC 上，且 ABXAC, AEXBC, BD=DC=EC=1 ,貝U AC= （ ）A.匹 B. 33C. V2D.% E. V3（美國高中統(tǒng)一考試題）6 .如圖，在等腰 RtABC中，F(xiàn)為AC邊的中點，ADLBF.求證：BD=2CD.（武漢市競賽試

9、題）7 .如圖，P, Q分別是正方形 ABCD的邊AB, BC上的點，且BP=BQ,過B點作PC的垂線，垂 足為H.求證：DH XHQ .（“祖沖之杯”邀請賽試題）8 . AABC 中，BC=a, AC=b, AB=c.若/ C=900,如圖 1,根據(jù)勾股定理，則 a2+b2=c2.若 ABCa2+b2與c2的關(guān)系，并證明你的結(jié)論.不是直角三角形，如圖 2、圖3,請你類比勾股定理，試猜想9,已知/ AOB=90°,在/ AOB的平分線OM上有一點C,將一個三角形的直角頂點與點C重合,它的兩條直角邊分別與 OA, OB （或它們的反向延長線）相交于點D, E.當三角形繞點 C旋轉(zhuǎn)到CD與OA垂直時，如圖1,易證：OD+OE=J2OC.當三角形繞點C旋轉(zhuǎn)到CD與OA不垂直，如圖2,圖3這兩種情況下，上述結(jié)論是否還成立？若成立，請給予證明；若不成立，線段 OD, OE, OC之間，又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你的猜 想，不需證明.10.如圖1 ,在4ABC中，點D, E, Q分別在 AB, AC, BC上，且