1、3-5傅里葉變換的基本性質(zhì)傅里葉變換建立了時間函數(shù)和頻譜函數(shù)之間轉(zhuǎn)換關(guān)系。在實際信號分析中，經(jīng)常需要對信號的時域和頻域之間的對應關(guān)系及轉(zhuǎn)換規(guī)律有一個清楚而深入的理解。因此有必要討論傅里葉變換的基本性質(zhì)，并說明其應用。一、 線性傅里葉變換是一種線性運算。若flFi(j )f2(t)F2(j )則afi(t) bf2(t)aFi(j ) bF2(j ) (3-55)其中a和b均為常數(shù)，它的證明只需根據(jù)傅里葉變換的定義即可得出。例3-6 利用傅里葉變換的線性性質(zhì)求單位階躍信號的頻譜函數(shù)F(j )o解 因1 1f(t) U(t) sgn(t) 2 2由式(3-55)得111121F(j ) U(t)

2、- 1- sgn(t) 2 2()-()二、對稱性若 f (t) F (j )F( jt)2 f( )(3-56)證明 因為1 f(t) F(j )ej% 22 f F(j )ejtd2 f( t) F(j )e j td將上式中變量 換為x,積分結(jié)果不變，即2 f ( t) F(jx)e jxtdx再將t用 代之，上述關(guān)系依然成立，即2 f () F(jx)ejxdx最后再將x用t代替，則得2 f( ) F(jt)e jtdtF(jt)所以F(jt) 2 f()證畢若f(t)是一個偶函數(shù)，即f ( t) f，相應有f( ) f (),則式(3-56)成為F(jt) 2 f( )(3-57)可

3、見，傅里葉變換之間存在著對稱關(guān)系，即信號波形與信號頻譜函數(shù)的波形有著互相置換的關(guān)系，其幅度之比為常數(shù)2 。式中的表示頻譜函數(shù)坐標軸必須正負對調(diào)。例如f(t) (t) F(j ) 1F(jt) 12 f( ) 2()/2/2例3-7若信號f (t)的傅里葉變換為F(j )試求f(t)將F(j )中的換成t,并考慮F(j )為的實函數(shù)，有/2/2F(jt) F(t)該信號的傅里葉變換由式(3-54)可知為根據(jù)對稱性f()2 A Sa()22 f()A Sa()2再將f()中的 換成t ,則得f(t)A Sa(-)2f(t)為抽樣函數(shù)，其波形和頻譜如圖3-20所示。/20 /2三、折疊性f(t)F(

4、jf( t)F()FF(jf (t)為實函數(shù)一(3-58)f (t)為虛函數(shù)四、尺度變換性觀看動畫f(t) F(j ).1 _、一 一一，f(at) -F(j-) (a為大于零的實常數(shù))(3-59)a a證明因a>0,由f(at) f(at)ejtdt令x at ,則dx adt,代入前式，可得f (x) f(x)e j x/a dx -F(j-)證畢F (j -)倍，而 a則表示a a a函數(shù)f(at)表示f(t)沿時間軸壓縮(或時間尺度擴展)aF(j )沿頻率軸擴展(或頻率尺度壓縮)a倍。該性質(zhì)反映了信號的持續(xù)時間與其占有頻帶成反比,信號持續(xù)時間壓縮的倍數(shù)恰好等于占有頻帶的展寬倍數(shù)，

5、反之亦然例3-8已知f(t)t /4t /4，求頻譜函數(shù)F(j )解前面已討論了Et/2%0t/2的頻譜函數(shù)，且Fo(j) ESa(y)根據(jù)尺度變換性，信號f(t)比f0(t)的時間尺度擴展-一倍，即波形壓縮了一半，因此其頻譜函數(shù)F(j) 2F0(j-) Es&R兩種信號的波形及頻譜函數(shù)如圖3-21所示。Af0(t)E/20 /2>t/4 0 /4冰(j )E /2五、時移性f(t) F(jf(t t0)F(j)et0(3-60)此性質(zhì)可根據(jù)傅里葉變換定義不難得到證明它表明若在時域f (t)平移時間t0 ,則其頻譜函數(shù)的振幅并不改變，但其相位卻將改變t0oE例3-9求00 tt

6、0,t的頻譜函數(shù)F(j )。解：根據(jù)前面所討論的矩形脈沖信號和傅里葉變換的時移性，有F(j ) ESa(' /2六、頻移性f(t) F(j )f(t)ej 0tF j 0(3-61)證明f(t)ej 0tf (t)e j 0te j tdt f(t)e j( 0)tdt F j( 0)證畢頻移性說明若信號f(t)乘以e j 0t ,相當于信號所分解的每一指數(shù)分量都乘以e j °t,這就使頻譜中的每條譜線都必須平移。，亦即整個頻譜相應地搬移了0位置。頻譜搬移技術(shù)在通信系統(tǒng)得到了廣泛應用，諸如調(diào)幅、同步解調(diào)、變頻等過程都是在頻譜搬移的基礎上完成的。頻譜搬移實現(xiàn)原理是將信號f(t)

7、乘以所謂載頻信號cos 0t或sin 0t ,即.1f(t)cos 0t - F j( 0) F j( 0)2 jf (t)sin 0t7 F j( 0) F j( 0)2七、時域微分性若f(t) F(j )則dnf(t)dtn(j )nF(j )(3-62)證明 因為1-f(t) - F(j )ejtd2兩邊對t求導數(shù)，得df Jdt 2j F(j )ej%所以同理，可推出df(t)dt(j )F(jdnf(t)dtn(j )nF(j )證畢例3-10求f的頻譜函數(shù)F(j ) o解：因為(t)1由時域微分性F(j ) (j )n例3-11圖3-22所示信號f為三角形函數(shù)f(t) (1)1t0

8、 t求其頻譜函數(shù)F(j )。解：將f(t)微分兩次后，得到圖3-22(c)所示函數(shù)，其表達式為121f(t)- (t ) -(t) (t )由微分性f''(t) (j)2f (t)-(ej 2ej ) 2cos 1所以f(t)2(cos1)(j )22-sin (/2)2(/2)2S"(a)八、頻域微分性例3-12 求f解：因為根據(jù)頻域微分性秒t) 1/0-1/圖 3 - 22f(t)tf(t)tnf(t)tU的頻譜函數(shù)tU九、時域積分性U(t)f(t)f (t)dtF(j(b)F(j )jdF(j )ddnF(j )F(jF(j)F(0)(1/)f (t)(1/ )

9、 t (-2/ )(c)(3-63)(3-64)例3-13根據(jù)解：因為根據(jù)時域積分性1和積分性求例3-14求圖3-23所示信號解：f(tk求兩次微分后,由時域積分性f(t)U(t)U(t)f (t)(x)dxf(t)f (x)dx(a)十、頻域積分性U (t)的頻譜函數(shù)。(x)dxf的頻譜函數(shù)F(j )。(t/2)(t /2)t /2/2j-sin(-) 22-sin(y)2. ,、-sin( )2-sin(y)Sa(y)Sa(0)Af(t)1/1 c()-Sa(-2-)N(t)(1/ )/20* 1t/2 0/2 t(b)(c)圖 3 - 23(-1/ )f(t)F(j1,1,1f(0)(t

10、)-f(t)F(jx)dx (3-65)jtjf(t) snt)例3-15 已知t ，求F( j )。解：因為12sin(t) 了(ejt e jt) 2j (1)(1) j (1)(1)根據(jù)頻域積分性Sin(t) 1 j (x 1) (x 1)dx U (1) U (1)t j十一、時域卷積定理若f1(t)F1(j )f2F2(j )f1(t)f2(t)F1(j )F2(j )(3-66)證明F f1(t) f2 (t)f1( )f2(t )d ejtdtf1( )f2(t)e j tdt d證畢f(xié)1( )F2(j )e j tdF2(j ) f1( )e j td Fz(j )P(j )例

11、3-16圖3-24(a)所示的三角形函數(shù)試利用時域卷積定理求其頻譜函數(shù)可看做為兩個如圖324(b)所示門函數(shù)G (t)卷積F(j(a)圖AG (t)11> t /20/2 t(b)3 - 24解:sin(5)所以例3-17 一個信號f(t)F(j_ 2Sa (y)f(t)的希伯特變換f是f和t的卷積，即f(t)1 f(t):解：因為sgn(t)則對稱性2 jt2 sgn(2 sgn()jsgn()由時域卷積定理.1f(t)f(t) -jsgn( )F(j )即F(j ) jsgn( )F(j )十二、頻域卷積定理若fi(t)Fi(j )f2(t)F2(j )則1fi(t)f2(t)Fi(

12、j ) F2(j )(3-67)或fi(t)f2(t)Fi(j2 f)Fz(j2 f)例3-18 利用頻域卷積定理求 f(t) tU(t) 的傅里葉變換F(j ) 解：因為 j由對稱性jt 2()2()有 (t j2 ()1U(t) () 一 j所以根據(jù)頻域卷積定理f(t) tu (t)有F(j ) 2- j2 ( )()丁11j ( )( ) j ()()()即1 F(j ) j ()()十三、帕塞瓦爾定理若f1F1(j )f2(t)F2(j )則1f1(t) f 2(t)dt 2-F1(j )F2(j )d (3-68)可推廣212%(t) dt F(j ) d (3-69)若f1(t)為

13、實函數(shù)，則.21_ 2、f；(t)dt F；(j )d (3-70)2若f1(t) , fe +Sa2( )d例3-19求。解：因221 Sa ( )d 2Sa( )2 Sa( )d 2。)為實函數(shù)，則 1，、f1(t) f 2(t)dt E(j )F2(j )d (3-71)2由帕塞瓦爾定理可得_ 2Sa2( )d3 G2(g出十四、奇偶性若 f(t) F(j ) F( )ej () R( ) jX(),則當f為實函數(shù)時，則F( ) F(j )| F()()()R( ) R()X( ) X()(3-72)若f(t)為實偶函數(shù)，即f (t) f(t),則F(j ) F( ) R()X( ) 0( 實偶函數(shù))(3-73)若f(t)為實奇函數(shù)，即f f(t),則F(j ) jX()R( ) 0(虛奇函數(shù))(3-74)當f為虛函數(shù)，即f(t) jx(t)時,則F( ) F()()()R( ) R()X( ) X()(3-75)傅里葉變換的基本性質(zhì)歸納如表3-3所示。表3-3傅里葉變換的基本性質(zhì)性質(zhì)名稱時域頻域1.線性afi(t)bf2aFi(j ) bF2(j )2.對稱性F(jt)2 f()3.折疊性f( t)F( j )4.尺度交換性f(at)-F(j-) aa5.時移性f(t to)F(j6.頻移性