1、第二十九周 抽屜原理（一）專題簡析：如果給你5盒餅干，讓你把它們放到4個抽屜里，那么可以肯定有一個抽屜里至少有2 盒餅干。如果把4封信投到3個郵箱中，那么可以肯定有一個郵箱中至少有2封信。如果把 3本聯練習冊分給兩位同學，那么可以肯定其中有一位同學至少分到2本練習冊。這些簡單 內的例子就是數學中的“抽屜原理”。基本的抽屜原理有兩條：（D如果把x+k （k，D個元素放到x個抽屜里，那么至少有 一個抽屜里含有2個或2個以上的元素。（2）如果把mXxXk （x>kel）個元素放到x個 抽屜里，那么至少有一個抽屜里含有m+1個或更多個元素。利用抽屜原理解題時要注意區分哪些是“抽屜”？哪些是“元素

2、”？然后按以下步驟解 答：a、構造抽屜，指出元素。b、把元素放入（或取出）抽屜。C、說明理由，得出結論。本周我們先來學習第（1）條原理及其應用。例題1：某校六年級有學生367人，請問有沒有兩個學生的生日是同一天？為什么？把一年中的天數看成是抽屜，把學生人數看成是元素。把367個元素放到366個抽屜中， 至少有一個抽屜中有2個元素，即至少有兩個學生的生日是同一天。平年一年有365天，閏年一年有366天。把天數看做抽屜，共366個抽屜。把367個人 分別放入366個抽屜中，至少在一個抽屜里有兩個人，因此，肯定有兩個學生的生日是同一 天。練習1：1、某校有370名1992年出生的學生，其中至少有2個

3、學生的生日是同一天，為什么？2、某校有30名學生是2月份出生的，能否至少有兩個學生生日是在同一天？3、15個小朋友中，至少有幾個小朋友在同一個月出生？例題2：某班學生去買語文書、數學書、外語書。買書的情況是：有買一本的、二本的、也有三 本的，問至少要去幾位學生才能保證一定有兩位同學買到相同的書（每種書最多買一本）？首先考慮買書的幾種可能性，買一本、二半、三本共有7種類型，把7種類型看成7 個抽屜，去的人數看成元素。要保證至少有一個抽屜里有2人，那么去的人數應大于抽屜數。 所以至少要去7+1=8 （個）學生才能保證一定有兩位同學買到相同的書。買書的類型有：買一本的：有語文、數學、外語3種。買二本

4、的：有語文和數學、語文和外語、數學和外語3種。買三本的：有語文、數學和外語1種。3+3+1=7 （種）把7種類型看做7個抽屜，要保證一定有兩位同學買到相同的書，至少 要去8位學生。練習2：1、某班學生去買語文書、數學書、外語書、美術書、自然書。買書的情況是：有買一 本的、二本的、三本或四本的。，問至少要去幾位學生才能保證一定有兩位同學買到相同的 書（每種書最多買一本）？2、學校圖書室有歷史、文藝、科普三種圖書。每個學生從中任意借兩本，那么至少要幾個同學才能保證一定有兩人所借的圖書屬于同一種？3、一只袋中裝有許多規格相同但顏色不同的玻璃珠子，顏色有綠、紅、黃三種，問最 少要取出多少個珠子才能保證

5、有兩個同色的？例題3：一只袋中裝有許多規格相同但顏色不同的手套，顏色有黑、紅、藍、黃四種。問最少要 摸出多少只手套才能保證有3副同色的？把四種不同的顏色看成是4個抽屜，把手套看成是元素，要保證有1副同色的，就是1 個抽屜里至少有2只手套，根據抽屜原理，最少要摸出5只手套。這時拿出1副同色的后， 4個抽屜中還剩下3只手套。再根據抽屜原理，只要再摸出2只手套又能保證有一副手套是 同色的，以此類推。把四種顏色看成是4個抽屜，要保證有3副同色的，先考慮保證有一副就要摸出5只手 套。這時拿出1副同色的后，4個抽屜中還剩下3只手套。根據抽屜原理，只要再摸出2只 手套又能保證有一副手套是同色的。以此類推，要

6、保證有3副同色的，共摸出的手套有5+2+2=9 (只)答：最少要摸出9只手套才能保證有3副同色的。練習3：1、一只袋中裝有許多規格相同但顏色不同的手套，顏色有黑、紅、藍、黃四種。問最 少要摸出多少只手套才能保證有4副同色的？2、布袋中有同樣規格但顏色不同的襪子若干只。顏色有白、黑、藍三種。問：最少要 摸出多少只襪子，才能保證有3雙同色的？3、一個布袋里有紅、黃、藍色襪子各8只。每次從布袋中拿出一只襪子，最少要拿出 多少只才能保證其中至少有2雙不同襪子？例題4：任意5個不相同的自然數，其中至少有兩個數的差是4的倍數，這是為什么？一個自然數除以4的余數只能是0, 1, 2, 3。如果有2個自然數除

7、以4的余數相同， 那么這兩個自然數的差就是4的倍數。一個自然數除以4的余數可能是0, 1, 2, 3,所以，把這4種情況看做時個抽屜，把 任意5個不相同的自然數看做5個元素，再根據抽屜原理，必有一個抽屜中至少有2個數, 而這兩個數的余數是相同的，它們的差一定是4的倍數。所以，任意5個不相同的自然數, 其中至少有兩個數的差是4的倍數。練習4：1、任意6個不相同的自然數，其中至少有兩個數的差是5的倍數，這是為什么？2、任意取幾個不相同的自然數，才能保證至少有兩個數的差是8的倍數？3、證明在任意的(n+1)個不相同的自然數中，必有兩個數之差為n的倍數。例題5：能否在圖29-1的5行5列方格表的每個空

8、格中，分別填上1, 2, 3這三個數中的任一 個，使得每行、每列及對角線AD、BC上的各個數的和互不相同？由圖29“可知：所有空格中只能填寫1或2或3。因此每行、每列、每條對角線上的5 個數的和最小是1X5=5,最大是3X5=15。從5到15共有11個互不相同的整數值，把這 11個值看承11個抽屜，把每行、每列及每條對角線上的各個數的和看承元素，只要考慮元 素和抽屜的個數就可得出結論是不可能的。因為每行、每列、每條對角線上的5個數的和最 小是5,最大是15,從5到15共有11個互不相同的整數值。而5行、5列及兩條對角線上 的各個數的和共有12個，所以，這12條線上的各個數的和至少有兩個是相同的

9、。練習5：1、能否在6行6列方格表的每個空格中，分別填上1, 2, 3這三個數中的任一個，使 得每行、每列及對角線上的各個數的和互不相同？為什么？2、證明在8X8的方格表的每個空格中，分別填上3, 4, 5這三個數中的任一個，在每 行、每列及對角線上的各個數的和中至少有兩個和是相同的。3、在3X9的方格圖中(如圖29-2所示)，將每一個小方格涂上紅色或者藍色，不論如 何涂色，其中至少有兩列的涂色方式相同。這是為什么？答案：練11、 1992年共有366天，把它看成是366個抽屜，把370個人放入366個抽屜中，至少有 一個抽屜里有兩個人，因此其中至少有2個學生的生日是同一天的。2、2月份最多有

10、29天，把它看作29個抽屜，把30名學生放入29個抽屜，至少有一個抽 屜里有兩個人，因此這30名學生中至少有兩個學生的生日是在同一天。3、一年有12個月，把12個月看作12個抽屜，把15個小朋友放入12個抽屜中，至少有 一個抽屜里有兩個小朋友，因此至少有2個小朋友是才同一個月出生。練21、買書的類型中買一本的有4種，買二本的有6種，買三本的有4種，買4本的有一種， 共有4+6+4+1 = 15種情況。把種15種情況看出15個抽屜，要保證有兩位同學買到相同的 書，至少要去16位學生。2、從三周圖書種任意借2本，只有6種情況。要保證有兩個所借的圖書屬于同一種，至少 要7個學生。3、玻璃珠子的顏色有

11、三種，要保證有2個同色，最少應取出4只珠子。練31、思路同例3,最少要摸出11只手套才能保證有4付同色的。2、把三種顏色看作3個抽屜，要保證有一雙同色的就要摸出4只襪子，這時拿出1雙同色 的后，3個抽屜中還剩2只襪子。以后，只要再摸出2只襪子就可保證有一雙同色的。因此, 要保證有3雙同色的，最少要摸4+2+2=8只襪子。3、袋中有三種襪子時。每次從袋中拿出一只襪子，有可能拿出8只都是同一顏色。在余下 兩種顏色中要拿出一雙同色的襪子，最少要取3只。因此，最少要拿出8+3=11只才能保證 其中至少有2雙顏色不同的襪子。練41、一個自然數除以5的余數可能是0、1、2、3、4,把這5種情況看做5個抽屜

12、，6個不 同的自然數放入這5個抽屜，必有一個抽屜中至少有兩個數，這兩數的余數是相同的, 所以它們的差一定是5的倍數。2、 一個自然數除以8的余數可能是0、1、2、3、4、6、7,把這8種情況看做8個抽屜， 要保證至少有兩個數的差是8的倍數，就要保證至少有1個抽屜里有兩個數，根據抽 屜原理，要取9個不同的自然數，才能保證至少有兩個數的差是8的倍數。3、一個自然數除以n的余數可能是0、1、2、3n-1,把這n種情況看作n個抽屜，把(n+l )個自然數反復如n個抽屜中去，則必有一個抽屜中有兩個數，這兩個數的余 數相同，則它們的差一定能被n整除，也就是n的倍數。1、不可能。因為每行、每列、每條對角線上

13、的6個數的和最小是6,最大是18。從6到 18共有13個不同的整數值，而6行、6列及兩條對角線上的各個數的和共有14個， 所以這14條線上的各個數的和至少有兩個是相同的。2、因為每行、每列、每條對角線上的8個數的和最小是24,最大是40。從24到40共有 17個互不相同的整數值，而8行、8列及兩條對角線上的各個數的和共有18個，所以 這14條線上的各個數的和至少有兩個是相同的。3、每個方格中可涂上紅、藍兩種不同的顏色，每列3個方格的上色就有2X2X2=8種不 同情況，把這8種情況看做8個抽屜，根據抽屜原理，9列中至少有兩列的上色方式是 相同的。世紀笄何e. hanch. cn世紀新聞網包含了海

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