1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上中考二輪復(fù)習(xí)之證明兩角相等的方法【相關(guān)定理或常見結(jié)論】1、相交線、平行線：（1）對頂角相等；（2）等角的余角（或補角）相等；（3）兩直線平行，同位角相等、內(nèi)錯角相等；（4）凡直角都相等；（5）角的平分線分得的兩個角相等.2、三角形（1）等腰三角形的兩個底角相等；（2）等腰三角形底邊上的高（或中線）平分頂角（三線合一）；（3）三角形外角和定理：三角形外角等于和它不相鄰的內(nèi)角之和（4）全等三角形的對應(yīng)角相等；（5）相似三角形的對應(yīng)角相等.3、四邊形（1）平行四邊形的對角相等；（2）菱形的每一條對角線平分一組對角；（3）等腰梯形在同一底上的兩個角相等.4、圓（1）在同圓或等

2、圓中，若有兩條弧相等或有兩條弦相等，那么它們所對的圓心角相等；（2）在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等. ，圓心角相等.（3）圓周角定理：在同圓或等圓中，一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半.（4）圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)：圓內(nèi)接四邊形的對角互補;并且每一個外角都等于它的內(nèi)對角.（5）三角形的內(nèi)心的性質(zhì)：三角形的內(nèi)心與角頂點的連線平分這個角.（6）正多邊形的性質(zhì)：正多邊形的外角等于它的中心角.（7）從圓外一點引圓的兩條切線，圓心和這一點的連線平分這兩條切線的夾角；5、利用等量代換、等式性質(zhì) 證明兩角相等.6、利用三角函數(shù)計算出角的度數(shù)相等【典題精析】（一） 利用全等相關(guān)知識證明角相等例

3、1 已知：如圖，于點，于點，與交于點，且 求證：平分例2 如圖，在四邊形ABCD中，ADBC，E是四邊形內(nèi)一點，EDAD，BE=DC，ECB=45 求證：EBCEDC例3 如圖，已知四邊形ABCD中AC=BD，CDBA，四邊形AEBC是平行四邊形求證：ABDABE（二）利用平行、三角形的內(nèi)角和、外角關(guān)系證明角之間的關(guān)系例4已知：ABC中，AD是高，CE是中線，DC=BE，DGCE，G是垂足， 求證：G是CE的中點；B=2BCE. 例5 如圖，直線，連結(jié)，直線及線段把平面分成、四個部分，規(guī)定：線上各點不屬于任何部分當(dāng)動點落在某個部分時，連結(jié)，構(gòu)成，三個角（提示：有公共端點的兩條重合的射線所組成的

4、角是角）（1）當(dāng)動點落在第部分時，求證：；（2）當(dāng)動點落在第部分時，是否成立（直接回答成立或不成立）？（3）當(dāng)動點在第部分時，全面探究，之間的關(guān)系，并寫出動點的具體位置和相應(yīng)的結(jié)論選擇其中一種結(jié)論加以證明（三）利用四邊形的相關(guān)知識證明角的有關(guān)問題例6 已知：如圖，在ABC中，ABAC，E是AB的中點，以點E為圓心，EB為半徑畫弧，交BC于點D，連結(jié)ED，并延長ED到點F，使，連結(jié)FC求證：FA（四）利用圓的相關(guān)知識例7如圖，已知BC是直徑，ADBC.求證：（1）EAF=AFE （2）BE=AE=EF例8 已知：如圖，AD為銳角ABC外接圓的直徑，AEBC于E，交O于F。 求證：1=2例9已知：

5、如圖，AB為O的直徑，AC為弦，CDAB于D，若AEAC，BE交O于點F，連結(jié)EF、DE求證：（1）AE2AD·AB；（2）ACFAED（五）利用三角函數(shù)求兩角之間的關(guān)系例10 已知拋物線的圖象與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左邊），與y軸交于點C（0，3），過點C作x軸的平行線與拋物線交于點D，拋物線的頂點為M，直線y= x+5經(jīng)過D、M兩點.（1）求此拋物線的解析式；（2）連接AM、AC、BC，試比較MAB和ACB的大小，并說明你的理由.【智能巧練】如圖，ABC中，B的平分線與ACB的外角平分線相交于點D，則D與A的比是_.已知，如圖，在ABC中，AC2=AD AB。求證：AC

6、D=ABC。 如圖，已知：平行四邊形ABCD中，E是CA延長線上的點，F(xiàn)是AC延長線上的點，且AE=CF求證：E=F；BE=DF 如圖，ABC中，高BD、CE交于點F，且CG=AB，BF=AC，連接AF， 求證：AGAF 第4題 第5題 RtABC中，A=90°，AB=AC，D為BC上任意一點，DFAB，DEAC，垂足分別為F、E，M為BC中點，試判斷MEF是什么形狀的三角形，并說明之.BCDEAF6已知：如圖，AD是ABC外角EAC的平分線，交BC的延長線于點D. 延長DA交ABC的外接圓于點F. 求證：FBC=FCB；若，求FB的長.圖(1)BOAFDCGEl·7如圖，

7、已知直線AB過圓心O，交O于A、B，直線AF交O于F（不與B重合），直線l交O于C、D，交AB于E，且與AF垂直，垂足為G，連結(jié)AC、AD求證：BADCAG；AC·ADAE·AF在問題中，直線l向下平行移動，與O相切，其他條件不變請你畫出變化后的圖形，并對照圖，標(biāo)記字母；問題中的兩個結(jié)論是否仍成立？如果成立，請給出證明；如果不成立，請說明理由8如圖，O的內(nèi)接ABC的外角ACE的平分線交O于點D，DFAC，垂足為F，DEBC，垂足為E，給出下列4個結(jié)論：CE=CF；ACB=EDF；DE是O的切線；=；其中一定成立的是（ ）A. B. C. D . 9已知，如圖，在四邊形ABC

8、D中，AB=DC，E、F分別為BC、AD的中點，BA、CD的延長線分別與EF的延長線交于K、H求證：BKE=CHE10已知：AB是O的直徑，弦CDAB于M，點E是上一動點. 如圖1，若DE交AB于N，交AC于F，且DE=AC，連結(jié)AD、CE，求證：CED=ADE =NF·NE 如圖2，若DE與AC的延長線交于F，且DE=AC，那么=NF·NE的結(jié)論是否成立？若成立請證明，若不成立請說明理由. 圖1 圖2【自主檢測】1已知如左圖，在ABC中, BAC=90°， AB=AC,M為AC的中點，ADBM。求證:AMB=DMC 2. 如右圖在ABC中，EFAB，CDAB，G

9、在AC邊上并且GDC=EFB，求證：AGD=ACB 3、如圖，ABC內(nèi)接于圓，D是弧BC的中點，AD交BC于E，求證：ABD=AEC 4、已知：AB是O的直徑，C是O上一點，連接AC，過點C作直線CDAB于點D，E是AB上一點，直線CE與O交于點F，連結(jié)AF，與直線CD交于點G.求證：ACD=F.證明兩角相等的方法【重點解讀】證明兩角相等是中考命題中常見的一種題型，此類證明看似簡單，但方法不當(dāng)也會帶來麻煩，特別是在中考有限的兩個小時中。恰當(dāng)選用正確的方法，可取得事半功倍的效果。在教學(xué)中總結(jié)了一些定理（或常見結(jié)論）以及幾種處理方法，僅供參考。【相關(guān)定理或常見結(jié)論】1、相交線、平行線：（1）對頂角

10、相等；（2）等角的余角（或補角）相等；（3）兩直線平行，同位角相等、內(nèi)錯角相等；（4）凡直角都相等；（5）角的平分線分得的兩個角相等.2、三角形（1）等腰三角形的兩個底角相等；（2）等腰三角形底邊上的高（或中線）平分頂角（三線合一）；（3）三角形外角和定理：三角形外角等于和它不相鄰的內(nèi)角之和（4）全等三角形的對應(yīng)角相等；（5）相似三角形的對應(yīng)角相等.3、四邊形（1）平行四邊形的對角相等；（2）菱形的每一條對角線平分一組對角；（3）等腰梯形在同一底上的兩個角相等.4、圓（1）在同圓或等圓中，若有兩條弧相等或有兩條弦相等，那么它們所對的圓心角相等；（2）在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等.

11、 ，圓心角相等.（3）圓周角定理：在同圓或等圓中，一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半.（4）圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)：圓內(nèi)接四邊形的對角互補;并且每一個外角都等于它的內(nèi)對角.（5）三角形的內(nèi)心的性質(zhì)：三角形的內(nèi)心與角頂點的連線平分這個角.（6）正多邊形的性質(zhì)：正多邊形的外角等于它的中心角.（7）從圓外一點引圓的兩條切線，圓心和這一點的連線平分這兩條切線的夾角；5、利用等量代換、等式性質(zhì) 證明兩角相等.6、利用三角函數(shù)計算出角的度數(shù)相等【典題精析】（一） 利用全等相關(guān)知識證明角相等例1 已知：如圖，于點，于點，與交于點，且 求證：平分分析：要證平分，因為于點，于點，所以只要證明OD=OE；若能

12、證明若能證OBDOCE即可，因為可證ODB=OEC=90°,BOD=COE，而BD=CE，故問題得到解決證明：于點，于點ODB=OEC=90°在OBD和OCE中ODB=OECBOD=COEBD=CEOBDOCEOD=OE于點，于點平分說明：本例的證明運用了對頂角相等，角的平分線性質(zhì)的逆定理例2 如圖，在梯形ABCD中，ADBC，E是梯形內(nèi)一點，EDAD，BE=DC，ECB=45 o求證：EBCEDC分析：要證明EBCEDC，容易想到證全等，而圖中沒有全等的三角形，如果能構(gòu)造出兩個全等的三角形即可。延長DE與BC交于點于點F， 這樣就很容易證BEFDCF，從而問題得到解決。證

13、明：延長DE與BC交于點于點FADBC，EDAD DFBCBFE=DFC=90°ECB=45 oECB=CEB=45 o CF=EF在RtBEF和RtDCF中EF=CF ，BE=DCRtBEFRtDCFEBCEDC說明：本例運用全等三角形的對應(yīng)角相等，來證明兩角相等例3 如圖，已知四邊形ABCD是等腰梯形，CDBA，四邊形AEBC是平行四邊形求證：ABDABE分析：要證ABDABE，若能證ABDABE即可因為可證BEACBD，AEBCAD，而AB為公共邊，故問題得到解決證明：四邊形ABCD是等腰梯形，ADBC，ACBD四邊形AEBC是平行四邊形，BCAE，ACBEADAE，BDBE又

14、ABAB，ABDABEABDABE說明：本例通過運用等腰梯形的性質(zhì)來證明三角形全等從而證明兩角相等總結(jié)：這類題主要考查全等三角形、特殊四邊形的性質(zhì)，在中考中也是常考的題型，在證明過程中，特別要抓住一些基本圖形，同時還要注意常用輔助線的作法。（二）利用平行、三角形的內(nèi)角和、外角關(guān)系證明角之間的關(guān)系例4已知：ABC中，AD是高，CE是中線，DC=BE，DGCE，G是垂足， 求證：G是CE的中點；B=2BCE. 分析：已知中多垂直和中線條件，可聯(lián)想直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)；要證明G是CE的中點，結(jié)合已知條件DGCE，符合等腰三角形三線合一中的兩個條件，故連結(jié)DE，證明DCE是等腰三角形，由DGCE

15、，可得G是CE的中點.由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，BE=DE，B轉(zhuǎn)化為EDB.證明：連結(jié)DE，ADB=90°，E是AB的中點，DE=AE=BE（直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半），又DC=BE，DC=DE，又DGCE，G是CE中點（等腰三角形底邊上的高平分底邊）.DE=DC，DCE=DEC（等邊對等角），EDB=DEC+DCE=2BCE（三角形的外角等于兩不相鄰內(nèi)角的和），又DE=BE，B=EDB，B=2BCE直角三角形、等腰三角形等特殊三角形，其特殊性質(zhì)有：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；等腰三角形三線合一的性質(zhì)通常有以下變形形式：已知等腰和高、已知頂角平分線

16、和高、已知等腰和底邊中線. 特殊三角形與線段和角的相等、線段和角的倍半關(guān)系有著密切關(guān)系.例5 如圖，直線，連結(jié)，直線及線段把平面分成、四個部分，規(guī)定：線上各點不屬于任何部分當(dāng)動點落在某個部分時，連結(jié)，構(gòu)成，三個角（提示：有公共端點的兩條重合的射線所組成的角是角）（1）當(dāng)動點落在第部分時，求證：；（2）當(dāng)動點落在第部分時，是否成立（直接回答成立或不成立）？（3）當(dāng)動點在第部分時，全面探究，之間的關(guān)系，并寫出動點的具體位置和相應(yīng)的結(jié)論選擇其中一種結(jié)論加以證明分析：本題主要考查平行線的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理和外角性質(zhì)圖1（1）解法一：如圖1延長BP交直線AC于點E ACBD , PEA = PBD

17、. APB = PAE + PEA , APB = PAC + PBD . 圖2解法二：如圖2過點P作FPAC , PAC = APF . ACBD , FPBD . FPB =PBD . 圖3 APB =APF +FPB =PAC + PBD .解法三：如圖3， ACBD , CAB +ABD = 180° 即 PAC +PAB +PBA +PBD = 180°. 又APB +PBA +PAB = 180°, APB =PAC +PBD . （2）不成立. 圖4（3）(a)當(dāng)動點P在射線BA的右側(cè)時，結(jié)論是PBD=PAC+APB .(b)當(dāng)動點P在射線BA上，結(jié)

18、論是PBD =PAC +APB .或PAC =PBD +APB 或 APB = 0°，PAC =PBD（任寫一個即可）.(c) 當(dāng)動點P在射線BA的左側(cè)時，圖5結(jié)論是PAC =APB +PBD . 選擇(a) 證明：如圖4，連接PA，連接PB交AC于M ACBD , PMC =PBD .又PMC =PAM +APM , PBD =PAC +APB . 選擇(b) 證明：如圖5 圖6 點P在射線BA上，APB = 0°. ACBD , PBD =PAC . PBD =PAC +APB 或PAC =PBD+APB 或APB = 0°，PAC =PBD. 選擇(c) 證

19、明：如圖6，連接PA，連接PB交AC于F ACBD , PFA =PBD . PAC =APF +PFA , PAC =APB +PBD總結(jié)：這類題主要考查平行線的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和，外角性質(zhì)及其應(yīng)用，在求解角的度數(shù)時，一般運用三角形的角及外角的關(guān)系，把所求的角集中在同一個三角形中，然后利用內(nèi)角和求角度，在證明角之間的關(guān)系時，常考慮利用三角形的內(nèi)角和定理和外角性質(zhì)，若題中沒有三角形，常通過作輔助線構(gòu)造三角形。（三）利用四邊形的相關(guān)知識證明角的有關(guān)問題例6 已知：如圖，在ABC中，ABAC，E是AB的中點，以點E為圓心，EB為半徑畫弧，交BC于點D，連結(jié)ED，并延長ED到點F，使，連結(jié)FC求證

20、：FA分析：要證明FA，由圖知只要證明四邊形AEFC是平行四邊形即可。證明：AB=ACABC=ACBEB=EDEBD=EDB EDB=ACB EFACE是AB的中點 AE=EB DFDE，EB=ED AE=EB= DFDEAE+EB= DF+DE即AB=EFAB=ACEF=AC又EFAC四邊形AEFC是平行四邊形FA說明：本例的證明用到了等腰三角形的兩底角相等，平行四邊形的對角相等。（四）利用圓的相關(guān)知識例7如圖，已知BC是直徑，ADBC.求證：（1）EAF=AFE （2）BE=AE=EF分析：由BC是直徑，得到BAC是直角，再利用， 得到ABE=BAE；再證EAF=FAE。證明：（1）BC是

21、直徑BAC=90 oABE+EFA=90 o ，BAE+EAF=90 oABE=BAEEAF=AFE （2）略說明：本例的證明用到了等弧所對的圓周角相等，等角的余角相等例8 已知：如圖，AD為銳角ABC外接圓的直徑，AEBC于E，交O于F。 求證：1=2分析：1和2分別是和所對的兩個圓周角，故只需證=，但不易證明，由于2+C=90 o ，聯(lián)想到把1放到直角三角形中，連結(jié)BD，可得ABD=90 o，從而問題得證。證明：連結(jié)BDAD為直徑ABD=90 o1+D=90 oAEBC于E2+C=90 oC=D1=2總結(jié)：此題關(guān)鍵是見直徑構(gòu)造90 o的圓周角例9已知：如圖，AB為O的直徑，AC為弦，CDA

22、B于D，若AEAC，BE交O于點F，連結(jié)EF、DE求證：（1）AE2AD·AB；（2）ACFAED分析：（1）因為AE=AC，要證AE2AD·AB，實際上證AC2AD·AB，可轉(zhuǎn)化成比例式，放入三角形中用相似三角形來證明。（2）欲證ACFAED，又知ACFABE，則只需證AED=ABE，由（1）得ADEAEB，對應(yīng)角相等得證證明：（1）連結(jié)BCAB是O的直徑，ACB90°又CDAB于D，ADC90°而CABDAC，CABDAC，AC2AD·AB又AEAC，AE2AD·AB（2）由（1），AE2AD·AB，在AED和

23、ABE中，EABDAE，EABDAEABEAED而ABEACF，ACFAED總結(jié)：圓周角定理可提供等角、直角等結(jié)論，進而可用于相似三角形判定，從而可得比例式，求線段長等結(jié)論，解決此類問題是靈活選用圓周角定理和相似等內(nèi)容，并適時添加輔助線。（五）利用三角函數(shù)求兩角之間的關(guān)系例10 已知拋物線的圖象與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左邊），與y軸交于點C（0，3），過點C作x軸的平行線與拋物線交于點D，拋物線的頂點為M，直線y= x+5經(jīng)過D、M兩點.（1）求此拋物線的解析式；（2）連接AM、AC、BC，試比較MAB和ACB的大小，并說明你的理由.解：（1）CDx軸且點C（0，3），設(shè)點D的坐標(biāo)為

24、(x，3) 直線y= x+5經(jīng)過D點，3= x+5x=2即點D(2，3) 根據(jù)拋物線的對稱性，設(shè)頂點的坐標(biāo)為M（1，y），又直線y= x+5經(jīng)過M點，y =1+5，y =4即M（1，4）設(shè)拋物線的解析式為點C（0，3）在拋物線上，a=1即拋物線的解析式為 （2）作BPAC于點P，MNAB于點N由（1）中拋物線可得點A（3，0），B（1，0），AB=4，AO=CO=3，AC=PAB45°ABP=45°，PA=PB=PC=ACPA=在RtBPC中，tanBCP=2在RtANM中，M（-1，4），MN=4AN=2tanNAM=2BCPNAM即ACBMAB 說明：本例第二問判斷AC

25、B和MAB的大小關(guān)系是通過構(gòu)造直角三角形，通過計算這兩個角的三角函數(shù)值來解決問題的。在解決這類問題時如果不能用全等等方法來尋找思路時，不妨從直角三角形入手，分別計算所求角的三角函數(shù)值，從而使問題得到解決.同時還要注意通過一些特殊的點，可能構(gòu)成特殊的三角形。【智能巧練】如圖，ABC中，B的平分線與ACB的外角平分線相交于點D，則D與A的比是_ .已知，如圖，在ABC中，AC2=AD AB。求證：ACD=ABC。 如圖，已知：平行四邊形ABCD中，E是CA延長線上的點，F(xiàn)是AC延長線上的點，且AE=CF求證：E=F；BE=DF 如圖，ABC中，高BD、CE交于點F，且CG=AB，BF=AC，連接A

26、F， 求證：AGAF 第4題 第5題 RtABC中，A=90°，AB=AC，D為BC上任意一點，DFAB，DEAC，垂足分別為F、E，M為BC中點，試判斷MEF是什么形狀的三角形，并說明之.6已知：如圖，AD是ABC外角EAC的平分線，交BC的延長線于點D. 延長DA交ABC的外接圓于點F. 求證：FBC=FCB；若，求FB的長.BCDEAF 第7題 第8題7梯形ABCD中AB/CD，對角線AC、BD垂直相交于H，M是AD上的點，MH所在直線交BC于N. 在以上前提下，試將下列設(shè)定中的兩個作為題設(shè)，另一個作為結(jié)論組成一個正確的命題，并證明這個命題. AD=BC MNBC AM=DM8

27、如圖，已知直線AB過圓心O，交O于A、B，直線AF交O于F（不與B重合），直線l交O于C、D，交AB于E，且與AF垂直，垂足為G，連結(jié)AC、AD求證：BADCAG；AC·ADAE·AF在問題中，直線l向下平行移動，與O相切，其他條件不變請你畫出變化后的圖形，并對照圖，標(biāo)記字母；問題中的兩個結(jié)論是否仍成立？如果成立，請給出證明；如果不成立，請說明理由BOA圖（2）·圖(1)BOAFDCGEl·9如圖，O的內(nèi)接ABC的外角ACE的平分線交O于點D，DFAC，垂足為F，DEBC，垂足為E，給出下列4個結(jié)論：CE=CF；ACB=EDF；DE是O的切線；=；其中一

28、定成立的是（ ）A. B. C. D . 10已知，如圖，在四邊形ABCD中，AB=DC，E、F分別為BC、AD的中點，BA、CD的延長線分別與EF的延長線交于H、G.求證：BHE=CGE11已知：AB是O的直徑，弦CDAB于M，點E是上一動點. 如圖1，若DE交AB于N，交AC于F，且DE=AC，連結(jié)AD、CE，求證：CED=ADE =NF·NE 如圖2，若DE與AC的延長線交于F，且DE=AC，那么=NF·NE的結(jié)論是否成立？若成立請證明，若不成立請說明理由. 圖1 圖2【答案點擊】 12； 證明ACDABC； 證明ABECDF，或連結(jié)ED、FB，證明平行四邊形EBFD

29、； 證明CAGBFA，G=BAF，G+GAE=90°，BAF+GAE=90°，AGAF； MEF是等腰Rt，連結(jié)AM，證AMEBMF 6、DAC=FBC，EAD=FAB=FCB，DAC =EAD，F(xiàn)BC=FCB 證明FBAFDB，得FB=6 7、題設(shè) 結(jié)論 證明略8、略，連結(jié)DF，可證得ACEAFD，結(jié)論仍成立.9、分析 可證得CDFCDE，得CE=CF成立；ACB和EDF（無直接關(guān)系，找相關(guān)的角）：ACB與ACE鄰角互補，EDF也和ACE互補(四邊形的內(nèi)角和360°)，同角的補角相等，即ACB=EDF；所對的圓周角為DCA，所對的圓周角為DAB，DAB=DCE（四邊形的外角等于不相鄰的內(nèi)角），又DCA=DCE ，DCA=DCE，=，故選D. 一般的，證明線段相等或角相等，可根據(jù)條件尋找三角形，證三角形全等；無三角形全等時，可找與之相關(guān)連的線段或角，探索等量關(guān)系；證明弧相等，可以轉(zhuǎn)