1、第6講二次函數、冪函數基礎鞏固1.“a=0”是“函數f(x)=x2+ax在區間(0,+)上是增函數”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分又不必要條件【答案】A【解析】由“函數f(x)=x2+ax在區間(0,+)上是增函數”可知,對稱軸x=-0,即a0,所以“a=0”是“函數f(x)=x2+ax在區間(0,+)上是增函數”的充分不必要條件.2.函數f(x)=x3與函數y=的圖象()A.關于原點對稱B.關于x軸對稱C.關于y軸對稱D.關于直線y=x對稱【答案】D【解析】函數f(x)=x3與y=互為反函數,它們的圖象關于直線y=x對稱.3.如果函數f(x)=x2+b

2、x+c對任意的實數x,都有f(1+x)=f(-x),那么()A.f(-2)<f(0)<f(2)B.f(0)<f(-2)<f(2)C.f(2)<f(0)<f(-2)D.f(0)<f(2)<f(-2)【答案】D【解析】由f(1+x)=f(-x)知函數f(x)的圖象關于直線x=對稱,又拋物線開口向上,結合圖象可知f(0)<f(2)<f(-2).4.已知函數y=ax2+bx+c,如果a>b>c且a+b+c=0,則它的圖象可能是()【答案】D【解析】a>b>c,且a+b+c=0,a>0,c<0.結合題中圖象可

3、知應選D.5.若函數f(x)=x2-x+a,f(-m)<0,則f(m+1)的值()A.是正數B.是負數C.是非負數D.與m有關【答案】B【解析】方法一:函數f(x)=x2-x+a的對稱軸為x=,而-m,m+1關于對稱,f(m+1)=f(-m)<0.方法二:f(-m)<0,m2+m+a<0.故f(m+1)=(m+1)2-(m+1)+a=m2+m+a<0.6.如果冪函數y=(m2-3m+3)的圖象不過原點,則m的取值是()A.-1m2B.m=1或m=2C.m=2D.m=1【答案】B【解析】冪函數y=(m2-3m+3)中的系數m2-3m+3=1,m=2或1.又y=(m2

4、-3m+3)的圖象不過原點,m2-m-20,即-1m2.故m=2或1.7.(2013屆·山東泰安階段檢測)已知二次函數y=x2-2ax+1在區間(2,3)內是單調函數,則實數a的取值范圍是()A.a2或a3B.2a3C.a-3或a-2D.-3a-2【答案】A【解析】由于二次函數的開口向上,對稱軸為x=a,若使其在區間(2,3)內是單調函數,則需所給區間在對稱軸的同一側,即a2或a3.8.(2012·浙江溫州測試)已知函數f(x)=若f(2-a2)>f(a),則實數a的取值范圍是()A.(-,-1)(2,+)B.(-1,2)C.(-2,1)D.(-,-2)(1,+)【答

5、案】C【解析】函數f(x)=的圖象如圖.由圖可知函數f(x)在R上為增函數.f(2-a2)>f(a),2-a2>a,解得-2<a<1.9.已知函數f(x)=x2-2x+3在區間0,m上有最大值3,最小值2,則m的取值范圍是. 【答案】 1m2【解析】f(x)=x2-2x+3=(x-1)2+2,其對稱軸方程為x=1.f(1)=2,m1.又由f(x)max=x2-2x+3=3得x=2或x=0(舍),故m的取值范圍為1m2.10.對于函數y=x2,y=有下列說法:兩個函數都是冪函數;兩個函數在第一象限內都單調遞增;它們的圖象關于直線y=x對稱;兩個函數都是偶函數;兩

6、個函數都經過點(0,0),(1,1);兩個函數的圖象都是拋物線型.其中正確說法的序號是. 【答案】【解析】從兩個函數的定義域、奇偶性、單調性等性質去進行比較.11.已知冪函數f(x)=為奇函數,且在(0,+)上是減函數(mN*,m2).(1)求f(x);(2)比較f(-2 013)與f(-2)的大小.【解】(1)函數f(x)在(0,+)上為減函數,m2-m-3<0.解得<m<.又mN*,且m2,m=2.故f(x)=x-1,符合題意.(2)函數f(x)為奇函數,f(-2 013)=-f(2 013)=-,f(-2)=-f(2)=-.->-,f(-2013)>

7、;f(-2).12.已知二次函數f(x)的圖象過A(-1,0),B(3,0),C(1,-8)三點.(1)求f(x)的解析式;(2)求f(x)在x0,3上的最值;(3)求不等式f(x)0的解集.【解】(1)由題意可設f(x)=a(x+1)(x-3),將C(1,-8)代入得-8=a(1+1)(1-3),解得a=2.故f(x)=2(x+1)(x-3)=2x2-4x-6.(2)f(x)=2(x-1)2-8,當x0,3時,由二次函數圖象(圖略)知f(x)min=f(1)=-8,f(x)max=f(3)=0.(3)由圖象(圖略)知,f(x)0的解集為x|x-1或x3.13.已知函數f(x)=x2+2ax+

8、3,x-4,6.(1)當a=-2時,求f(x)的最值;(2)求實數a的取值范圍,使函數y=f(x)在區間-4,6上是單調函數;(3)當a=1時,求函數f(|x|)的單調區間.【解】(1)當a=-2時,f(x)=x2-4x+3=(x-2)2-1,x-4,6,函數f(x)在區間-4,2上單調遞減,在區間2,6上單調遞增.故函數f(x)的最小值是f(2)=-1.又f(-4)=35,f(6)=15,故函數f(x)的最大值是35.(2)由于函數f(x)的圖象開口向上,對稱軸是x=-a,因此,要使f(x)在區間-4,6上是單調函數,應有-a-4或-a6,即a-6或a4.(3)當a=1時,f(x)=x2+2x+3,f(|x|)=x2+2|x|+3,此時函數f(|x|)的定義域為x-6,6,且f(|x|)=故函數f(|x|)的單調遞增區間是(0,6,單調遞減區間是-6,0.拓展延伸14.已知函數f(x)=ax2+bx+c(a>0,bR,cR).(1)若函數f(x)的最小值是f(-1)=0,且c=1,F(x)=求F(2)+F(-2)的值.(2)若a=1,c=0,且|f(x)|1在區間(0,1上恒成立,試求b的取值范圍.【解】(1)由已知c=1,f(-1)=a-b+c=0,且-=-1,解得a=1,b=2.于是知f(x)=(x+1