1、高考專題突破二高考中的三角函數與解三角形問題題型一三角函數的圖象和性質例 1(2016 山東)設 f (x) = 243sin(兀一x)sin x(sin xcosx)2.(1)求f(x)的單調遞增區間；(2)把y=f(x)的圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變),再把得到的圖象向左平移3個單位長度，得到函數y = g(x)的圖象，求g 6的值.解 (1)由 f (x) = 20sin(兀一x)sin x (sin x- cosx)2= 21/3sin 2x (1 2sin xcosx)=出(1 cos2x) + sin2 x 1=sin2 x 3cos2x + 43 1=2sin

2、 2x-T- +*/3- 1. 3,兀兀兀由 2kTt V 2x-3<2 ku + -2( k Z),得 k 兀12< xw k 兀 + 52-( k e Z).所以f(x)的單調遞增區間是kit - 12, kTt + lkez)或k兀-12, k兀+ 2 ke z .(2)由(1)知 f(x) = 2sin 2x-3 +3-1,把y = f(x)的圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變),得到 y= 2sin x-y + J31 的圖象，一 . TT再把得到的圖象向左平移W個單位長度,3得到y= 2sin x+小1的圖象, 即 g( x) = 2sin x+ y3 1

3、.所以 g "6 = 2sin + tJ3 1 = 43.y = Asin( cox +思維升華三角函數的圖象與性質是高考考查的重點，通常先將三角函數化為 6)+k的形式，然后將t=3x+ 6視為一個整體，結合 y=sint的圖象求解.跟蹤訓練 1 已知函數 f (x) = 5sin xcosx5，3cos2x + 22(其中 x C R),求： 函數f (x)的最小正周期；(2)函數f(x)的單調區間；(3)函數f (x)圖象的對稱軸和對稱中心.解 (1)因為 f(x) = 2$in2 x、2(1 + cos2x) +.1 一 f3-.兀=5 2sin2 x-2-cos2x = 5

4、sin 2x ,所以函數的最小正周期T= 22=71.,兀兀兀(2)由 2k 兀 < 2 x < 2 k 兀 + ( k C Z),得 k 兀12 xw k 兀 + 52( k e Z),所以函數f(x)的單調遞增區間為k%- 12, kTt + 52 (kZ).由 2k兀 +2x-?-<2 k兀 + 亭(ke Z),232,n5 兀11 Tt得 k 兀 + 72-Wxw k 兀 + Rk”)，5 Tt11 Tt所以函數f(x)的單調遞減區間為kn + E, kTt + R(kCZ). 由2xg=k兀十5(kJ),得 *=容 + 52-(kZ),所以函數f(x)的對稱軸方程為

5、x=':+著出”).,兀 .，.一由 2x= k 兀(k e Z), 3得 *+-6(k Z),所以函數f(x)的對稱中心為 k2L+-, 0(kez).題型二解三角形例24ABC勺內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知sinA+ 3cosA= 0,a=2幣,b=2.(1)求角A和邊長c；(2)設D為BC邊上一點，且 ADL AC求 ABD勺面積.解(1)sin A+ >/3cosA= 0,tan A= ,3,又 0<*兀，. A=2兀由余弦定理可得 a2= b2+ c22bccosA 即 28=4+c2-2X2 cx -2 ,2即 c +2c24=0, 解得c= -6

6、(舍去)或c = 4,故c= 4.(2) . c2=a2+b22abcosC, 16= 28 + 4 2X2 "X2X cos C, cos C=,AC 2CD= -= 7J7,cosC 2"-71CD= 2BCS»aabc= AB, AC sin / BAC= - x 4x 2x= 2/3,222 V 'S»A ABD= 2S»A ABC=3.思維升華根據三角形中的已知條件，選擇正弦定理或余弦定理求解；在解決有關角的范圍問 題時，要注意挖掘題目中隱含的條件，對結果進行正確的取舍.跟蹤訓練 2(2017 北京)在ABC43, / A=

7、60° , c=|a.(1)求sin C的值；(2)若a=7,求 ABC勺面積.一 .3解(1)在ABC4 因為/ A= 60 , c = ,a,csin A 33 3 3所以由正弦定理得 sin C= = -x=-. a 7214(2)因為 a=7,3所以 c= 7乂 7= 3.由余弦定理 a2=b2 + c22bccosA,得72= b2+32 2bx3x 2,解得b= 8或b= 5(舍去).所以 ABC勺面積 S= 2bcsin A= 2X8X3X 當=6 3.題型三三角函數和解三角形的綜合應用例3如圖，某機械廠欲從 AEB= 2米，AD= 2&米的矩形鐵皮中裁剪出一個

8、四邊形ABE劭口工成某儀器的零件，裁剪要求如下：點E, F分別在邊BC AD上，且EB= EF, AF<BE設/BEF=0 ,四邊形 ABEF勺面積為f（ 0）（單位：平方米）.（i）求f（ 6）關于e的函數關系式，求出定義域；（2）當BE, AF的長為何值時，裁剪出的四邊形ABEF勺面積最小，并求出最小值.解 （1）過點F作FMML BE垂足為 M16,>兀在 RtA FME, MF= 2, / EMF= 2, / FEM= 0 ,所以EF=2sin 0ME=2tan 02故 AF= BM= EF-E陣而7 ,1所以 f( 8)=2(AF+ BxAB1222422 sin 0 t

9、an 0 + sin 0 sin 0 tan 0.一_.一一兀由題意可知，ARBE所以0<5，且當點E重合于點C時，EF= EB= 2巾,FM= 2, 6 =4,42兀 兀所以函數f(e)=而下-tOnT的定義域為了，萬.(2)由(1)可知,4 sin 2 2-+ cos2"2e e2sin -cos"2e2tan -21 tan -22tanf + :一tan 一21 er-tan 2tan 2=2 .3tan 了兀 兀 9 兀 兀乂 4，2，28，4，9 、/38兀兀故當tan-=-,即3=0, 8=可時，四邊形 ABEF的面積最小， 23263此時 BE= -7

10、=羋，AF= 2T-r2T=2r f( °)=4T-T2T = 2!3. sin 93 sin 9 tan 93' ' sin 9 tan 9 v當BE AF的長度分別為裁剪出的四邊形ABEF的面積最小，最小值為2小平方米.思維升華三角函數和解三角形的綜合問題要利用正弦定理、余弦定理進行轉化，結合三角函數的性質，要注意角的范圍對變形過程的影響.跟蹤訓練3在ABC43,角 A B, C所對的邊分別為 a, b, c,且asin B- bcosC= ccosB.(1)判斷ABC勺形狀;(2)若 f (x) =1cos2x2cosx+1,求 f (A)的取值范圍. 232解

11、 (1)因為 asin B- bcosC= ccosB,由正弦定理可得sin Asin B sin Bcos C= sin Ccos B即 sin Asin B= sin CcosB+ cos Csin B,所以 sin( C+ E) = sin Asin B.因為在 ABC43, A+ B+ C=兀，所以 sin A= sin Asin B,兀又 sin Aw0,所以 sin B= 1, B= / 所以 ABC直角三角形.3cos x+2,1(2)因為 f (x) =2cos2x-=cos2x |cosx=3cos x 一二21一9,所以 f(A) = cosA-g21, 39因為 ABC是

12、直角三角形，,-一兀 一所以 0“<5，且 0<cosA<1,所以當cosA= 1時，f(A)有最小值一:.39所以f(A)的取值范圍是 一1, 1 .9 31.已知函數 f(x)=Asin( cox+ 6)兀A>0, 3>0, |<萬，xCR的部分圖象如圖.(1)求函數f(x)的解析式.(2)求函數f(x)在區間0, 512上的最值，并求出相應的 x值.解(1)由題干圖象可知|A = 2,又 A>0,故 A= 2.4周期T-=-x313兀 兀 43兀12 =3 42兀又 T=兀，3 = 2. .f (x) = 2sin(2 x+ 6),由題干圖象知f

13、 *=2sin=2,33ke Z,兀3 = + 2k兀,ke Z,兀兀又| 加萬，. (1) = -, ,兀故 f (x) = 2sin 2x- -.(2) . xC 0, 5y , /.2 x-C 袁，號 , 12663兀1兀rr，sin 2x- 1 , 2sin 2x- - 1, 2.626即*=:日, f(x)取得最大值,f ( X)max= f7t幣=2.r兀當 2X-T=兀6"，即 X=0 時，f ( X)取得最小值，f(X)min=f(0) = 1.X2X2 X Tt2 設函數 f = 2tan 4 cos 42cos 4+1.(1)求f(X)的定義域及最小正周期.(2)

14、求f (X)在兀，0上的最值.解 (1) f (X) = 2sin Xc0sx cos ：十三442 6=sin cos = sin X 乎c0sx + ；sin X 226222 22=3sin得f (x)的定義域為x|xw2兀+ 4k兀(kC Z), 一一- 一，2 兀故f(x)的最小正周期為T=十=4兀.2(2) . 一ttw x<0,2<X-;r<- .3266x 兀2兀 兀當,一T£ 一石，一T，即XC 兀，一時，f(x)單調遞減，3X 兀 兀 兀2或6 一萬，一"6"， 即xC 2, 0時，f(x)單調遞增,3f ( X) min =

15、 f Z3兀)=2,.f (X)max= f(0)兀兀3.已知函數f(x) =Asin( cox+ 6) A>0, "0, |加<萬 的圖象過點P石，0 ,圖象上與P 一 一 兀點取近的一個取局點坐標為石，6.3(1)求函數f(x)的解析式；(2)若f (x)<3 ,求x的取值范圍. ,r_ 一T 兀 兀 71解 (1)由題息得 A= 6, 4=Y2= "4， T=兀，2=兀，3=2.-f(x) = 6sin(2 x + 6 ),兀兀又 f(x)過點 ,6 , 6sin 2X+() =6,兀兀2X 3- + 6 = 2k 兀 + 2，kCZ,兀 二 3 =

16、2k 兀一 "6-, k C Z.兀兀又1 6 |<y，1- 6 =一豆，兀 = f (x) = 6sin 2x . 6(2)6sin 2x - -6- <3,即 sin 2x -6- <2,在區間 一?，中，要使sin 2x1- <1, 226 27兀兀 兀-<2x-<-,7兀兀 兀所以- -6- + 2k兀 <2x <+ 2k 兀，k Z,兀兀解得 ku <x<k % + , ke Z.,兀兀所以x的取值范圍為 x k兀一-2-<x<k兀+ , k C Z .4.已知點P(乖，1), Qcosx, sin x

17、) , O為坐標原點，函數 f(x)=OPQp(1)求函數f(x)的最小正周期；(2)若A為ABC勺內角，f(A)=4, BO 3,求 ABCW長的最大值.解 (1)由已知，得 O白(木,1), QF (V3-cosx, 1-sin x),所以 f(x)=Op QF= 3-'/3cosx+1 - sin x兀=4 2sin x+ ,所以函數f(x)的最小正周期為 2兀. 兀(2)因為 f (A) =4,所以 sin A+ =0,又 0<*兀,所以 3<A+-<萼，A= 2-.3333因為BC= 3,所以由正弦定理，得 AG= 2 3sin B, AB= 2 3sin

18、C, 所以 ABC勺周長為 3+ 243sin B+ 2y3sin C=3+29sin B+ 2事sin y-B=3+ 2>3sin B+ .兀因為0<B<, 3所以*B+W弓，兀兀兀所以當B-b = ,即B=Z時， 3 26 ABC勺周長取得最大彳1,最大值為3+23.5.已知a, b, c分別為 ABC三個內角 A, B, C的對邊，且 acosC+ J3asin C b-c=0.求A;1129(2)若AD為BC邊上的中線，cosB= 7, AD=工了，求 ABC勺面積.解 (1) acosC+ 43asin C bc=0,由正弦定理得 sin AcosC+ 3sin A

19、sin C= sin B+ sin C,即 sin AcosC+ iJ3sin Asinsin( A+ C) +sin C,亦即 sin Acos O 3sin Asin C=sin Acos C+ cosAsin C+ sin C,則 3sin Asin O cosAsin C= sin C又 sin Cw0,所以 3sin A cosA= 1,1所以 sin( A 30° ) = 5.在ABB, 0° <A<180° ,則30° < A- 30° <150° ,所以 A- 30° =30°

20、; ,得 A= 60° ., _,_ 1(2)在ABC43,因為 cosB=所以 sin B=所以 sin C= sin( A+ B)=3 1 12X7+2X4 ,375 .,314 .由正弦定理，得asin A 7csin C 5設 a=7x, c=5x(x>0),則在ABD43, AD2= AB2+BD 2AB BDCosB,口 J292 1211即=25x2+ 4X 49x2-2X5xX/X7xX7，解得x= 1(負值舍去)，所以 a= 7, c = 5,1故 S；aabc= acsin B=10.3.6.已知函數f(x) =cos2 3x+/3sin2 3 x + t ( 3 >0),若f (x)的圖象上相鄰兩條對稱軸的距兀離為了，圖象過點(0,0) .(1)求f(x)的表達式和f(x)的單調增區間；兀(2)將函數