1、第七章 非線性方程解法 二分法考察有根區間a, b，取中點x0=(b+a)/2 將它分為兩半，假設中點x0不是f(x)的零點，然后進行根的搜索，即查找f(x0)與f(a)是否同號，如果確系同號，說明所求的根x在x0的右側，這是令a1= x0，b1=b;否則x必在x0的左側，這是令a1=a,b1=x0,不管出現哪一種情況，新的有根區間a, b的長度僅為a, b的一半。.重復以上做法得新近似根x1,這樣不斷將區間分半,得到一系列區間a, b,和近似根(區間中點) ,n=0,1,2,3, 誤差為(b-a)/2n+1.這樣的方法稱為二分法。下面是一個關于二分法的例子。例1 求f(x)=x3- x-1=

2、0在區間1,1.5內的一個實根，要求準確到小數點后的第二位. 這里a=1,b=1.5,而f(a)<0,f(b)>0。取a,b的中點x0=1.25，將區間二等分，由于f(x0 )<0, 既f(x0 )與f(a)同號，故所求的根x必在x0 右側，這是應令ax0 =1.25, b=b=1.5,而得到新的有根區間a，b，這樣繼續結果如下表：nF()有根區間誤差限01.25-1.25,1.50.5/211.375+1.25,1.3750.5/2221.3125-1.3125,1.3750.5/2331.34375+1.3125,1.343750.5/2441.3281+1.3125,1

3、.32810.5/2551.3203-1.3203,1.32810.5/2661.3242  0.5/27x6=1.3242,誤差限0.00390625(真值=1.3247,e*=-0.0005).有三位有效數字.實際上x5就有三位有效數字了.二分法實驗(1) 上機題目：二分法的應用 實驗目的：熟悉二分法并在計算機上實現 實驗要求：上機前充分準備，復習有關內容，寫出計算步驟，查對程序；完成實驗后寫出完整的實驗報告，內容應該包括：所用的算法語言，算法步驟陳述，變量說明，程序清單，輸出計算結果，結果分析等等；用編好的程序在atlab環境中執行。 算法說明：找出 計算f(x)在有

4、限根區間a, b端點的值，f(a),f(b) 計算 計算f(x)在區間中點（）處的值f() .判斷 若f()=0，則即是根，計算過程結束，否則檢驗若f()f(a)<0,則以代替b,否則以代替a.反復執行步驟和步驟，直到區間a, b長度小于允許誤差，此時中點即為所求近似根。計算例題：求f(x)=x3- x-1在1,1.5的零點. f(1)<0,. f(1.5)>0,delta=10Matlab程序：(希望學生們以自己的方法去編一個程序，把下面程序看作是理解的摸板，不看，等自己完成了進行比較)function x=erfenfa(f,a,b,n,delta)f=inline(f)

5、; %定義f.yb=feval(f,b);disp('i x') %以指定格式輸出'i','x'for i=1:n ya=feval(f,a); %f的在a點的值給yb. s=(a+b)/2; %開始二分區間 c=feval(f,s); %計算 if c=0 %判斷二分區間 break elseif (c*ya)<0 b=s; else a=s; end if abs(b-a)<delta break end disp(sprintf('%d %10e',i,s) %以以上規定格式輸出解果end 計算例題結果為：x=erfenfa('x3-x-1',1.0,1.5,6,10(-3)i x1 1.250000e+0002 1.375000e+0003 1.312500e+0004 1.343750e+0005 1.328125e+0006 1.320313e+000x =1.3203分析：二分法的優點是算發簡單，且總是收斂的。缺點是收斂速度太慢復習思考題 1. 什么叫二分法，它的優點是什么？如何估計誤差？在什么情況下不能用二分法求根？ 2. 什么是簡單迭代法？它的收斂條件是什么？誤差估計式（2-5）、（2-6）各有何