1、精品文檔§ 2 求導法那么上一節我們講述了導數的相關知識 ,要求大家：深刻理解導數概念 ,能準確表達其定義； 明確其物理、幾何意義,會求曲線上一點的切線方程 ；能夠從定義出發求某些函數的導數；知道導數與導函數白區別和聯系 ；明確導數與單側導數,可導與連續的關系.特別要注意,要學 會從導數定義出發求某些導數的導數.例如,我們上節課已計算出左邊所列的導函數,并且我們知道,計算函數在一點的導數或某區間上白導函數歸結為極限的計算.因此,從理論上來講給了一個函數不管它是簡單函數,還是復雜函數,總可用定義求其導數 只要極限存在 但從我們計算左邊幾個函數的經驗知道,用定義計算函數的導數是比擬繁瑣的

2、.試想對根本初等函數的導數計算用定義求導都如此繁瑣 ,對一般的初等函數更是不可想象 .因此,我們不能滿足于只用導數定義求導數,而應去尋找一些求導數的一般方法,以便能較方便地求出初等函數的導數 .在給出較一般的方法之前,先看以下函數如何求導數：f1(x) = sin x cosxg1(x) = sin 2xf2(x) = sin x cosxg2(x) =sin(ax),、 cosx,、fa(x) = ga(x) = arcsin xloga xf4(x) = csin xg4(x) = arccosx、導數的四那么運算問題 1 設 f (x) =sin x 士cosx,求 f '(x)

3、.分析 利用導數的定義及極限的四那么運算知,f'(x) =cosx不sinx = (sinx)'±(cosx)'.即(sin x 一 cosx)' = (sin x)' - (cosx)'一般地,有如下和的導法那么：定理1 (和的導數)設f(x) , g(x) 在x點可導,那么f(x)±g(x)'=f'(x)士g'(x)(求導是線性運算)證實令 y(x) = f (x)+g(x)y _ f (x ：x) g(x x) -f (x) g(x)二 xLx=f (x x) f (x) g(x x) g(x)x

4、xt f'(x) +g'(x)當 Axt 0 時.問題 2 設 f (x) =sin x ax,那么 f'(x) = (sin x)'(ax)' = cosx ax ln a對嗎？精品文檔精品文檔分析 一般地,有如下乘積的求導法那么：定理2 (積的導數)設f( g(x x)g(x), g(x)在x點可導,那么f(x),g(x)r=f (x),g(x)+ f(x),g'(x)(它導它不導,它不導它導,然后加起來) 證實令y(x)= f(x)g(x).：y _ f(x：；x) g(x lx) - f (x) g (x)lxlx(分子-f (x) g(

5、x + Ax) + f (x) g(x + Ax)= f(x：x) f(x) g(x x)f(x)g(x x)-g(x)xxT f (x) g(x) + f (x) g'(x)當 Axt 0時.推論1(u(x)v(x)w(x)'(x0) =u'(xo)v(x0)w(x0) u(xo)v'(xo)w(x0) u(xo)v(x0)w'(xo).推論2假設函數v(x)在x0知可導,C為常數,那么(cos(x)'xB0 =C v'(x0).x a 問題 3 設 f (x)=,求 f' (x).loga x一般地,存如下商的運算法那么：定理

6、3 (商的導數) 設f(x) , g(x)在x點可導,那么f (x); f (x) g(x) - f (x) g (x) _g(x)g2(x)y(x) =1-證實令g(x)X 1-Jx x g(x lx) g(x)推論g (x) g2(x)f(x) g(x)當Axt 0時.=f (x)g(x)給出(3).cf (x) =cf (x)(2)nn.'fi(x)1-fi(x)_ i 1i 1g(x x) - g(x) 1 -精品文檔9._xe sin xy =1 tgx2x in x.f (x) = x3 -sin x cosx ；f (x) = x2 cosx ;23f (x) = x x

7、 x cosx ;一、 5sin x 3tgxf(x)；x精品文檔口 fi(x) =£ Kk(x),Kk(x) = fi(x)fk'(x)fn(x)(3)j k I.:.利用導數的四那么運算法那么舉例.例 1f (x) = x3 +5x2 9x 十冗,求 f'(x), f'.例 2y =cosxlnx,求 y' xw 例 3 證實：(x)'=nx,nw N例 4 證實：(tan x)'= sec2 x, (cot x)'= csc2 x.例 5 證實：(secx)'= secxtan x, (cscx)'=csc

8、xcot x .利用導數的四那么運算法那么求導數舉例:21. f (x)= x sin x；223. f (x) =2x ；45. f (x) = xsin x 7x;67. f (x) = x2 sin x In x ® ; 8 x、反函數的導數問題 1 設 f (x) =arcsin x,求 f'(x).定理4設*=9丫在區間c,d上連續,嚴格上升,在yo三c,d點可導,且 中yo.0, X.=中義.那么反函數y= fx在X.點可導,且一、 11"二二二：fxo注 假設x=*y在Gd可導,導數0或0,那么反函數y=fx存在,且f7x邛y叫 fx%y y=fx這里

9、導數0或0可推出*y 嚴格上升下降,反函數之導數公式也可寫成精品文檔精品文檔dy =定理的證實要證limx_x)dxf(x)- f(xo)x - xo存在,注意到這個比式是函數g(y)=y -y(o(y) - (y0)y = f(x)的復合,由定理條件知limyYof(x) - f(x.)(y)- (yo)=limyyo再由反函數連續性,XT X.時,yTlimx jxof(x) - f(x.)x -x.x =log a(a )',也可求(a 0, ax -(a )=Y(logax)=0(、,'y=x,求y .：(y)(y0)y-y.:(yo)yo,由復合函數求極限定理得lim

10、 g f (x) = lim g(y)x_.x0y wo(Yo)(log a y)y=axlogaey =ax=ax ln a,反過來,如果(ax)' x=logay axlnac：Tn x _ -“ _ a ： In X y - ey 一exy = arcsin x 求 y x =sin y(arcsin x)(siny)logaey=arcsinxcos(arcsinx)1 -x2例 9 y = arccosx,求 y .例 1o 丫=融&9乂,求丫.精品文檔精品文檔三、復合函數的導數問題 1 設 f(x) =sin2x,求 f'(x)；2).設 f (x) = s

11、in(ax),求 f'(x)；3),設f (x) =x"求 f'(x).定理5設f (u.)與g'(x.)存在,u.=g(x.),那么復合函數F(x) = fg(x)在x0點可導,且 F d)=f g(x.) g(xo)注 假設f (u)的定義域包含u = g(x)的值域,兩函數在各自的定義域上可導,那么復合函數F(x) = fg(x)在 g(x)的定義域上可導,且 F'(x) = f g(x) g'(x) (懷中抱月)或dy dy du,-, r -yx = yu Ux,dx du dx .定理的證實定義函數fuA(u) =u -uo、f (

12、Uo), u =u0.Alim A(u) = A(Uo) = f (Uo)A(U)在U0點連續,uT0由恒等式,f(u)- f(Uo) =A(u)(U -u.),我們有F(x) -F(Xo) fg(x) - fg(xo)g(x) -g(x.)=Ag(x)x x.x - Xox - Xo令xt x.,得 F (x.)= f g(x.) g'(xo).我們引進A(u) 是為了防止再直接寫表達式F(x) -F(Xo) f (u) - f (Uo) g(x)-g(x.)=x - X.u - U.x - X.中當x Ox.時,可能會出現 u=u.情況.例 1 y = V1X2,求 y'.

13、解y =1(1 -x2)2 (1 -x2)12 2=:(1 -x ) (-2x)2x=,°.1 - x2精品文檔精品文檔八一 2-例 2 y =sinx,求 y .2,22解 y = cosx (x ) = 2 x cos x,.3 、例 3 y =sin(sin x ),求 y .3 3 3 2 3 3解 y = cos(sin x ) cosx (x ) = 3x cosx cos(sin x )2例 4 y=ln(x+d1+x ),求 y .解(x 1 x2)2 1 x2y =-x J x2 x . 1 x2y =ln |x|,求 y1.11解 x >0時,x； x；0

14、時,y =(1n(-x)=q( - x)M.1(In |x|) 時,x .例 6 y =lnsin(2x),求 y2 g、 2cos(2x)y 二cos(2x)二sln(2x)sln(2x)四、隱函數微分法F x,y 0假設可微函數y yx足方程Fx,y0,那么其導數可以從dx求出.一個方程Fx,y =o何時能唯一決定一個可微函數y = yx,留待日后解決,現在我們通常假定能唯一決定一個可微函數,考慮如何求出導函數問題 .222例7 x +y =a,求過點x., y.y.亡0的切線方程.222,、解 對方程x +y =a求導,心中記住y = yx是x的函數,得2x 2y y =0y x = -

15、x y,/、 y (xo)=在(xo, yo)占上 I,八、一I,y0,過x0,y.切線方程為x0y - y.= -(x xo)y.22xx0 yy0 = x° y即 xxo+yy0=a2.精品文檔精品文檔五、對數微分法我們結合例子研究對數微分法y = j-x a>0 v,例81xa,求y.解 函數定義域和入取對數.3, , , 1, ,ln y = - ln | x | 一一 ln | x -a |22,兩邊對y 3 111 2x -3a= =y =y(x)求導,采用隱函數微分法,得y 2 x 2 x-a 2x(xa),所以2x -3a x3y 二2x(x - a) x -

16、a.例 9 y =uv, u =u(x), V =v(x),求 y.y . ,1.v ln u v - u解 取對數,得1n y =v 'lnu ,兩邊求導,得 yu ,y = y ( " v ln u ); uv(vu- v ln u )uu如 y =xx, y' -xx1 ln x 六、雙曲函數及其反函數之導數y = shx = 2(ex -e.y = ch x = 2(ex e/)性質=th x=cth xshxch xchxshxch2x -sh2x = 1,2, 2ch x sh x = ch 2xsh2x = 2shx ch xsh(x 二 y) = sh

17、x ch y - ch x sh y ch(x - y) = ch x ch y - sh x sh y1 -th2x =-12 ch x21icosH + i sin H = ea 一一目8s口 i sin 口 = e1 - cth x = 一 sh xshx chx = ex chx -shx = e.(sh x) = ch x(ch x) = shx精品文檔精品文檔(th x) 一 ch x反雙曲函數Arshx = ln(x1x2)1chArsh x,1(Arsh x)= .,(shy)' y= Arshx1 x1 -xArch x不是單值函數 ,可選一個分支來研究1,Arth x = ln21(Arthx)小結一、二、根本求導法那么1 . (u 土v)'= u'土v'2(uv)'= u'v+uv', (cu)' = cu'；c ,u、, u'v - uv' , 1、,13( )2,( ) =2 ；4vvvv.反函數導數dy=曳包 dx du dx、根本初等函數導數公式1. (c)'=0；2. (x:)' = ：x：4 ("三 R);3. (sin x)'= cosx, (cos x)'=-sin x ；224.