1、第一章差分方程差分方程是連續時間情形下微分方程的特例.差分方程及其求解是時間序列方法的基 礎,也是分析時間序列動態屬性的根本方法.經濟時間序列或者金融時間序列方法主要處 理具有隨機項的差分方程的求解問題,因此,確定性差分方程理論是我們首先需要了解的 重要內容. 1.1 一階差分方程假設利用變量以表示隨著時間變量t變化的某種事件的屬性或者結構,那么 yt便是在時 間t可以觀測到的數據.假設yt受到前期取值y和其他外生變量wt的影響,并滿足下述方 程：yt0 1yti wt(1.1)在上述方程當中,由于yt僅線性地依賴前一個時間間隔自身的取值 yti,因此稱具有 這種結構的方程為一階線性差分方程.

2、如果變量wt是確定性變量,那么此方程是確定性差分 方程；如果變量wt是隨機變量,那么此方程是隨機差分方程.在下面的分析中,我們假設Wt是確定性變量.例1.1貨幣需求函數 假設實際貨幣余額、實際收入、銀行儲蓄利率和商業票據利率 的對數變量分別表示為 5、It、1和%,那么可以估計出美國貨幣需求函數為：上述方程便是關于mt的一階線性差分方程.可以通過此方程的求解和結構分析,判斷 其他外生變量變化對貨幣需求的動態影響.1.1.1 差分方程求解：遞歸替代法差分方程求解就是將方程變量表示為外生變量及其初值的函數形式,可以通過以前的 數據計算出方程變量的當前值.由于方程結構對于每一個時間點都是成立的,因此

3、可以將 (1.1)表示為多個方程：t 0: yo 01 y 1 w.t 1 ： y11 yow1t t ： yt依次進行疊代可以得到:(i.2)ttyt 01 ity iiiwii 0i 0上述表達式(i.2)便是差分方程(i.i)的解,可以通過代入方程進行驗證.上述通過疊 代將yt表示為前期變量和初始值的形式,從中可以看出yt對這些變量取值的依賴性和動態變化過程.1.1.2 . 差分方程的動態分析：動態乘子 (dynamic multiplier)在差分方程的解當中,可以分析外生變量,例如W0的變化對t階段以后的yt的影響.假設初始值yi和wi, ,wt不受到影響,那么有：yt1t(1.3)

4、Wo類似地,可以在解的表達式中進行計算,得到：上述乘子僅僅依賴參數i和時間間隔j ,并不依賴觀測值的具體時間階段,這一點在 任何差分方程中都是適用的.例1.2貨幣需求的收入乘子在我們獲得的貨幣需求函數當中,可以計算當期收入一個單位的變化,對兩個階段以后貨幣需求的影響,即：利用差分方程解的具體系數,可以得到：-Wl 0.19,1 0.72It1從而可以得到二階乘子為：注意到上述變量均是對數形式,因此實際上貨幣需求相對于兩個階段以前收入的彈性系數,這意味著收入增長1%將會導致兩個階段以后貨幣需求增加 0.098%,其彈性是比擬 微弱的.定義1.1在一階線性差分方程中,下述乘子系列稱為比相對于外生擾

5、動wt的反響函數：Lj -y ij , j 0,1,(1.5)wt顯然上述反響函數是一個幾何級數,其收斂性依賴于參數1的取值.(1)當01 1時,反響函數是單調收斂的；(2)當11 0時,反響函數是震蕩收斂的；(3)當1 1時,反響函數是單調擴張的；(4)當11時,反響函數是震蕩擴張的；可以歸納描述反響函數對于參數的依賴性：當| 1| 1時,反響函數是收斂的；當| 1| 1 時,反響函數是發散的.一個特殊情形是1 1的情形,這時擾動將形成持續的單一影響, 即她的一個單位變化 將導致其后任何時間ytj的一個單位變化：yt jLj L 1, j 0,1, Wt為了分析乘子的持久作用,假設時間序列y

6、t的現值貼現系數為,那么未來所有時間的yt流貼現到現在的總值為：(1.6)如果Wt發生一個單位的變化,而Ws,s t不變,那么所產生的對于上述貼現量的影響為 邊際導數：.yt j . .1(jyt j)/ wtjLj j , | 1j 0j 0Wt j 01上述分析的是外生變量的暫時擾動, 如果Wt發生一個單位的變化,而且其后的Ws,S t 也都發生一個單位的變化,這意味著變化是持久的.這時持久擾動對于 (t j)時刻的yt j的 影響乘數是：上上 / o(1.7)WtWt 1Wt j當| ll 1時,對上式取極限,并將其識為擾動所產生的持久影響:yt j yt 1lim (1 1jWtWt

7、1yt j)1Wt j 11(1.8)例1.3貨幣需求的長期收入彈性在例1.1中我們已經獲得了貨幣的短期需求函數,從中可以求出貨幣需求的長期收入彈性為：這說明收入增加1%最終將導致貨幣需求增加0.68%,這是收入對于貨幣需求反響的持 久影響效果.如果換一個角度考察擾動的影響,那么我們需要分析一個單位的外生擾動對于yt以后路徑的累積影響,這時可以將這種累積影響表示為：(1.9)yt j 1j 0 wt 1由此可見,如果能夠估計出差分方程中的系數,并且了解差分方程解的結構,那么可以 對經濟變量進行穩定性的動態分析.另外,我們也發現,內生變量對外生變量反響函數的 性質比擬敏感地依賴差分方程中的系數.

8、1.2 p階差分方程如果在方程當中允許yt依賴它的p階前期值和輸入變量,那么可以得到下述 p階線性差 分方程(將常數項歸納到外生變量當中)：yt1yt 12 yt 2p yt p wt(1.10)(1.11)為了方便起見,將上述差分方程表示成為矩陣形式：F t1 vt其中:yt123yt i100yt 2, f 0i0p 1pWt00000, vt0yt p i000 i 0其實在方程(i.ii)所表示的方程系統當中,只有第一個方程是差分方程(1.10),而其余方程均是定義方程：yt j yt j, j 1,21, p將p階差分方程表示成為矩陣形式的好處在于,它可以進行比擬方便的疊代處理,同

9、時可以更方便地進行穩定性分析.另外,差分方程的系數都表達在矩陣F的第一行上.進行向前疊代,可以得到差分方程的矩陣解為：t Ft 1 1 Ftv0 Ft 1v1F1Vti vt(1.12)利用fj：表示矩陣Ft中第i行、第j列元素,那么方程系統(1.12)中的第一個方程可以表 示為：(1.13)需要注意,在p階差分方程的解中需要知道p個初值：(yi,y2,yp),以及從時刻0 開始時的所有外生變量的當前和歷史數據：(W0,Wi, ,Wt).由于差分方程的解具有時間上的平移性,因此可以將上述方程(1.12)表示為：t j Fj 1 t i F jvt Fj 1vt iFvt j i vt j(1.

10、14)類似地,表示成為單方程形式：f(j1)f(j1)vf(j1)yt jfii yt1f12yt2fi pytp(115、(j)(j 1)(|.|5)fiiWtfiiWt1fiiWtj 1Wtj利用上述表達式,可以得到p階差分方程的動態反響乘子為：Ljj fi(ij), j 0,1, Wt由此可見,動態反響乘子主要由矩陣 Fj的首個元素確定.例1.4在p階差分方程中,可以得到一次乘子為：二次乘子為：雖然可以進一步通過疊代的方法求出更高階的反響乘子,但是利用矩陣特征根表示那么 更為方便,主要能夠更為方便地求出矩陣 Fj的首個位置的元素.根據定義,矩陣F的特征根是滿足下述的 值：|F Ip |

11、0(1.16)一般情況下,可以根據行列式的性質,將行列式方程轉換為代數方程.例1.5在二階差分方程當中,特征方程為：具體可以求解出兩個特征根為：1-T1 12 1 d 14 2 ,2 1 14 2(1.17)上述特征根的表達式在討論二階線性差分方程解的穩定性時,我們還要反復用到.距陣F的特征根與p階差分方程表達式之間的聯系可以由下述命題給出：命題1.1距陣F的特征根滿足下述方程,此方程也稱為p階線性差分方程的特征方程：證實：根據特征根的定義,可知特征根滿足：對上述行列式進行初等變化,將第 p列乘以(1/ )加到第p 1列,然后將第p 1列乘以 (1/ )加到第p 2列,依次類推,可以將上述行列

12、式方程變化為對角方程,并求出行列式值 為：這便是所求的p階線性差分方程的特征方程.END如果知道p階線性差分方程的特征方程及其特征根,不僅可以分析差分方程的動態反 應乘子,而且可以求解出差分方程解析解的動態形式.1.2.1 具有相異特征根的p階線性差分方程的通解根據線性代數的有關定理,如果一個方陣具有相異特征根,那么存在非奇異矩陣T將其化為對角矩陣,且對角線元素便是特征根:F T T 1 , diag( 1, p)(1.18)這時矩陣F的乘級或者幕方矩陣可以簡單地表示為：Fj (T T 1)j T jT 1, j diag(.,；)(1.19)假設變量tij和tij分別表示矩陣T和T1的第i行

13、、第j列元素,那么可以將上述方程利用矩陣形式表示為:從中可以獲得：F1(j)(tut11) 1j(t12t21) 2(3ptp1) jpcjcjcjc11c22cpp(1.19)其中：Cj3jtj1 , j 0,1,如此定義的序列具有下述約束條件(自行證實):CiC2cp 1(1.20)具有上述表達式以后,在差分方程的解:yt jf(j1) f(j1)vf11 yt 1 f12 yt 2(j)(j 1)f11wtf11wt 1f (j Df1 pyt p(1)f11 wt j 1 wt j(1.15)中可以得到動態乘子為:Ljyjf1(1j)G 1C2 2wtCp jp, j 0,1,(1.2

14、1)究竟系數序列Cj取值如何,下述命題給出了它的具體表達式命題1.2如果矩陣F的特征根是相異的,那么系數可以表示為:Ci(1.22)p ip(i k)k 1, k i證實：由于假設矩陣F具有相異的特征根,因此對角化的非奇異矩陣可以由特征向量 構造.令向量ti為：ti P1,產 i,1 , i 1,2, ,p其中i是矩陣F的第i個特征根.經過運算可以得到：由此可知ti是矩陣F的對應特征根i的特征向量,利用每個ti做列就可以得到矩陣T 將矩陣TT 1 I p的第一列表示出來：p ,可以求解上述線性方程的解為：1t11 ,(12)( 13)( 1 p)注意到：Ci tiS1 , i 1,2, ,p,

15、帶入上述表達式即可得到結論.END例1.6求解二階差分方程：yt 0.6yt 1 0.2yt 2 wt解：該方程的特征方程為：特征根為：11 0.6J(0.6)2 4(0.2)0.84 ,2 1 0.6 .(0.6)2 4(0.2)0.241 0.778 , c2(12)20.222此方程的動態乘子為：WtLj-j- C1 1 c2 2 0.788(0.84)j 0.222( 0.24)j , j 0,1,在上述乘子的作用過程中,絕對信教大的特征根決定了乘子的收斂或者發散過程.一般情形下,如果1是絕對值最大的特征根,那么有：yt i 1lim(jA)ci(1.23)Jwt 1那么動態乘子的收斂

16、或者發散是以指數速度進行.當一些特征根出現復數的時候,差分方程解的性質出現了新的變化,擾動反響函數將出現一定的周期性質.為此,我們討論二階差分方程的情形.當12 4 2 .時,特征方程具有共扼復根,可以表示為：1a bi ,2 a bi ,a 1/2, b (1/2)(124 2)1/2利用復數的三角函數或者指數表示法,可以將其寫作：1 Rcos isin ,Rexp(i ) , R a2 b2 , tan b/a這時動態乘子可以表示為：對于實系統的擾動分析,上述反響乘子應該是實數.由于c,和C2也是共扼復數,因此有：c1i , c2 i那么有：yt iLj L 2 RJ cos( J) 2

17、RJsin( J)(1.24)Wt如果R 1,即復數處于單位圓上,那么上述動態乘子出現周期性變化,并且影響不會消失；如果R 1,即復數處于單位圓內,那么上述動態乘子根據周期方式進行率減,其作用慢慢消失；如果R 1,即復數處于單位圓外,那么上述動態乘子根據周期方式進行擴散,其作 用將逐漸增強.例1.7求解二階差分方程：Vt 0.5yt i0.8yt 2 Wt解：該方程的特征方程為:特征根為:-0.5 f(0.5)24(0.8)0.25 0.86i ,上述共扼復數的模為：由于R 1 ,由此可知其動態乘子呈現收斂趨勢.可以具體計算出其震蕩的周期模式.cos( ) a/R 0.28,1.29由此可知動

18、態乘子的周期為：由此可知動態乘子的時間軌跡上,大于 4.9個時間階段便出現一次頂峰.1.2.2 具有相異特征根的二階線性差分方程的通解針對具體的二階線性差分方程,可以討論解的性質與參數1, 2之間的關系.a.當12 4 2 .時,參數取值處于拋物線12 4 2的下方.這時特征方程具有復特征 根,且復數的模為：因此,當02 1時,此時解系統是震蕩收斂的；當 2 1是震蕩維持的；當 2 1時是震蕩發散的.b.當特征根為實數時,我們分析最大特征根和最小特征的性質.此時12 4 2 0,且當且僅當11 1時解及其動態反響乘子是穩定的.下面我們判斷非穩定情形如果：即：求解可知,使得不等式1 1成立的參數

19、解為：12 ,或者,211同理,使得不等式21成立的參數解為：12 ,或者,211因此當特征方程具有相異實根的時候, 穩定性要求參數落入拋物線上的三角形區域內.C.類似地可以說明,當特征方程具有相等實根的時候,即處于三角形內的拋物線上時, 方程仍然具有穩定解,同時動態反響乘子也是收斂的.1.2.3具有重復特征根的p階線性差分方程的通解在更為一般的情形下,矩陣F可能具有重復的特征根,即具有重根.此時可以利用 Jordan標準型表示差分方程的解及其動態反響乘子.下面以二階差分方程為例說明.假設二階差分方程具有重根,那么可以將矩陣 F表示為：計算矩陣乘積得到：于是動態反響乘子可以表示為： 1.3 期和現值的計算如