1、2019-2020年八年級數學下冊 18.1勾股定理第二課時教案 人教新課標版 三維目標 一、知識與技能 1掌握勾股定理，了解利用拼圖驗證勾股定理的方法 2運用勾股定理解決一些實際問題 二、過程與方法 1經歷用拼圖的方法驗證勾股定理，培養學生的創新能力和解決實際問題的能力 2在拼圖的過程中，鼓勵學生大膽聯想，培養學生數形結合的意識 三、情感態度與價值觀 1利用拼圖的方法驗證勾股定理，是我國古代數學家的一大貢獻，借助此過程對學生進行愛國主義的教育 2經歷拼圖的過程，并從中獲得學習數學的快樂，提高學習數學的興趣 教學重點 經歷用不同的拼圖方法驗證勾股定理的過程，體驗解決同一問題方法的多樣性，進一步

2、體會勾股定理的文化價值 教學難點 經歷用不同的拼圖方法證明勾股定理 教具準備 每個學生準備一張硬紙板;多媒體課件演示 教學過程 一、創設問題情境，引入新課 活動1 問題：我們曾學習過整式的運算，其中平方差公式（a+b）（a-b）=a2-b2；完全平方公式（a±b）2=a2±2ab+b2是非常重要的內容誰還能記得當時這兩個公式是如何推出的？ 設計意圖： 回憶前面的知識，由此得出用拼圖的方法推證數學結論非常直觀，上節課已經通過數格子的方法大膽猜想出了一個命題：在直角三角形中，兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方但我們不能對所有的直角三角形一一驗證，因此需從理論上加以推證，學生也許會

3、從此活動中得到啟示，采用類似拼圖的方法證明 師生行為： 學生動手活動，分組操作，然后在組內交流 教師深入小組參與活動，傾聽學生的交流，并幫助、指導學生完成任務，得出兩個公式的幾何意義 在活動1中教師應重點關注： 學生能否積極主動地參與活動； 學生能否想到用拼圖的方法，通過計算拼圖的面積而得出兩個公式的幾何意義； 學生能否從這兩個公式的幾何意義聯想到直角三角形的三邊關系是否也可以類似證明 生：這兩個公式都可以用多項式乘以多項式的乘法法則推導，如下： （a+b）（a-b）=a2-ab+ab-b2=a2-b2， 所以（a+b）（a-b）=a2-b2； （a+b）2=（a+b）（a+b）=a2+ab+

4、ab+b2=a2+2ab+b2； （a-b）2=（a-b）（a-b）=a2-ab-ab+b2=a2-2ab+b2； 所以（a±b）2=a2±2ab+b2 生：還可以用拼圖的方法說明上面的公式成立例如： (1) (2) 圖（1）中，陰影部分的面積為a2-b2，用剪刀將（1）中的長和寬分別為（a-b）和b的長方形剪下來拼接成圖（2）的形式便可得圖（2）中陰影部分的面積為（a+b）（a-b）而這兩部分面積是相等的，因此（a+b）（a-b）=a2-b2成立生：（a+b）2=a2+2ab+b2也可以用拼圖的方法，通過計算面積證明，如圖:(3) 我們用兩個邊長分別為a和b的正方形，兩個

5、長和寬分別a和b的長方形拼成一個邊長為（a+b）的正方形，因此這個正方形的面積為（a+b）2，也可以表示為a2+2ab+b2，所以可得（a+b）2=a2+2ab+b2 師：你能類似的方法證明上一節猜想出的命題嗎？ 二、探索研究 活動2 我們已用數格子的方法發現了直角三角形三邊關系，拼一拼，完成下列問題：（1）在一張紙上畫4個與圖（4）全等的直角三角形，并把它們剪下來 (4) (5) （2）用這4個直角三角形拼一拼，擺一擺，看能否得到一個含有以斜邊c為邊長的正方形，你能利用拼圖的方法，面積之間的關系說明上節課關于直角三角形三邊關系的猜想嗎？ （3）有人利用圖（4）這4個直角三角形拼出了圖（5），

6、你能用兩種方法表示大正方形的面積嗎？ 大正方形的面積可以表示為：_，又可以表示為_ 對比兩種表示方法，你得到直角三角形的三邊關系了嗎？ 設計意圖： 讓學生通過拼圖計算面積的方法證明直角三角形的三邊關系，培養學生的動手操作能力和創新意識 師生行為： 學生在獨立思考的基礎上，以小組為單位交流自己拼圖的結果 教師深入小組參與活動，傾聽學生的交流，并幫助、指導學生完成任務，用計算面積的方法比較得出直角三角形的三邊關系 在本次活動中，教師應關注： 能否通過拼圖計算面積的方法得到直角三角形的三邊關系 學生能否積極主動地參與拼圖活動 生：我也拼出了圖（5），而且圖（5）用兩種方法表示大正方形的面積分別為（a

7、+b）2或4×ab+c2，由此可得（a+b）2=4×ab+c2 化簡得：a2+b2=c2 由于圖（4）的直角三角形是任意的，因此a2+b2=c2，即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方生：我拼出了和這個同學不一樣的圖，如圖（6）大正方形的邊長是c，小正方形的邊長為a-b，利用這個圖形也可以說明勾股定理因為大正方形的面積也有兩種表示方法，既可以表示為c2，又可以表示為ab×4+（b-a）2對比兩種表示方法可得c2=ab×4+（b-a）2化簡得c2=a2+b2，同樣得到了直角三角形的三邊關系(6) 師：這樣就通過推理證實了命題1的正確性，我們把經過證明被

8、確定為正確的命題叫做定理命題1與直角三角形的邊有關，我國把它稱為勾股定理 我國古代的學者們對勾股定理的研究有許多重要成就，不僅在很久以前獨立地發現了勾股定理，而且使用了許多巧妙的方法證明了它為了弘揚我國古人趙爽的證法，大家從中一定會領略到我國古代數學家的智慧 活動3圖（6）這個圖案和3世紀我國漢代的趙爽在注解周髀算經時給出的圖案一模一樣，人們稱它為“趙爽弦圖”，趙爽利用弦圖證明命題1（即勾股定理）的基本思路如下，如圖（7） 把邊長為a，b的兩個正方形連在一起，它的面積為a2+b2，另一方面這個圖形由四個全等的直角三角形和一個正方形組成把圖（7）中左、右兩個三角形移到圖（9）所示的位置，就會形成

9、一個c為邊長的正方形 因為圖（7）與圖（9）都是由四個全等的直角三角形和一個正方形組成，所以它們的面積相等 因此a2+b2=c2 上面的證法是我國有資料記載的對勾股定理的最早證法“趙爽弦圖”表現了我國古人對數學的鉆研精神和聰明才智它是我國古代數學的驕傲正因如此，這個圖案被選為xx年在北京召開的國際數學家大會的會徽 設計意圖： 了解我國古代數學成就，為我國數學未來的發展立志作出貢獻，培養學生的愛國主義精神 師生行為： 在教師的引導下進一步體會我國古代數學家證明勾股定理的聰明、智慧 師：在所有的幾何定理中，勾股定理的證明方法也許是最多的在西方，一般認為這個定理是由畢達哥拉斯發現的，所以人們稱這個定

10、理為畢達哥拉斯定理 1940年，國外有人收集了勾股定理的365種證法，編了一本書其實，勾股定理的證法不止這些，作者之所以選用了365種，也許他是默默地想讓人注意，勾股定理的證明簡直到了每天一種的地步 生：老師，我在查資料時，還發現勾股定理的證明還和美國的一個總統有關系，是這樣嗎？ 師：是的1876年4月1日，美國俄亥俄州共和黨議員加菲爾德，頗有興趣地在新英格蘭教育日志上發表了提出的一個勾股定理的證明據他說，這是一種思維體操，并且還調皮地聲稱，他的這個證明是得到兩黨議員“一致贊同的”由于1881年加菲爾德當上了美國第二十屆總統，這樣，他曾提出的那個證明也就成了數學史上的一段佳話 生：能給我們介紹

11、一下這位總統的證明方法嗎？師：可以，如下圖所示，這就是這位總統用兩個全等的直角三角形拼出的圖形，和第一個同學用全等的四個直角三角形拼出來的圖形對比一下，有聯系 生：總統拼出的圖形恰好是第一個同學拼出的大正方形的一半 師：同學們不妨自己從上圖中推導出勾股定理 生：上面的圖形整體上拼成一個直有梯形所以它的面積有兩種表示方法，既可以表示為（a+b）·（a+b），又可以表示為ab×2+c2對此兩種表示方法可得（a+b）·（a+b）=ab×2+c2化簡，可得a2+b2=c2 師：很好同學們如果感興趣的話，不妨自己也去尋找幾種證明勾股定理的方法活動4 議一議： 觀察

12、上圖，用數格子的方法判斷圖中兩個三角形的三邊關系是否滿足a2+b2=c2 設計意圖： 前面已經討論了直角三角形三邊滿足的關系，那么銳角三角形或鈍角三角形三邊是否也滿足這一關系呢？學生通過數格子的方法可以得出：如果一個三角形不是直角三角形，那么它的三邊a，b，c不滿足a2+b2=c2通過這個結論，學生將對直角三角形的三邊的關系有進一步的認識 師生行為： 學生分小組討論交流，得出結論： 教師提出問題后，組織討論，啟發，引導 此活動教師應重點關注： 能否積極參與數學活動； 能否進一步體會到直角三角形非常重要的三邊關系 師：上圖中的abc和abc是什么三角形？ 生：abc，abc在小方格紙上，不難看出

13、abc中，bca>90°；abc中，abc，bca，bac都是銳角，所以abc是鈍角三角形，abc是銳角三角形 師：abc的三邊上“長”出三個正方形，誰為幫我數一個每個正方形含有幾個小格子 生：以b為邊長的正方形含有9個小格子，所以這個正方形的面積b2=9個單位面積；以a為邊長的正方形中含有8個小格子，所以這個正方形的面積a2=8個單位面積，以c為邊長的正方形中含有29個小格子，所以這個正方形的面積c2=29個單位面積 a2+b2=9+7=16個單位面積，c2=29個單位面積，所以在鈍角三角形abc中a2+b2c2 師：銳角三角形abc中，如何呢？ 生：以a為邊長的正方形含5個

14、小格子，所以a2=5個單位面積；以b為邊長的正方形含有8個小格子，所以b2=8個單位面積；以c為邊長的正方形含9個小格子，所以a2=9個單位面積由此我們可以算出a2+b2=5+8=13個單位面積在銳角三角形abc中，a2+b2c2 師：通過對上面兩個圖形的討論可進一步認識到只有在直角三角形中，a，b，c三邊才有a2+b2=c2（其中a、b是直角邊，c為斜邊）這樣的關系 生：老師，我發現在鈍角三角形abc中，雖然a2+b2c2，但它們之間也有一種關系a2+b2<c2；在銳角三角形abc中，a2+b2>c2，它們恒成立嗎？ 師：這位同學很善于思考，的確如此，同學們課后不妨驗證一下，你一

15、定會收獲不小 三、課時小結 活動5 你對本節內容有哪些認識？會構造直角三角形，并理解構造原理，深刻理解勾股定理的意義 設計意圖： 這種形式的小結，激發了學生的主動參與意識，調動了學生的學習興趣，為每一位學生都創造了在數學學習活動中獲得成功的體驗機會，并為程度不同的學生提供了充分展示自己的機會，尊重學生的個體差異，滿足多樣化的學習需要，從而使小結活動不流于形式而具有實效性，為學生提供更好的空間以梳理自己在本節課中的收獲 小結活動既要注重引導學生體會勾股定理獨特的證明方法又要從能力，情感態度方面關注學生對課堂的整體感受 師生行為： 由學生小組討論小結 在活動5中，教師應重點關注： （1）不同層次的

16、學生對本節知識的認同程序； （2）學生要從我國古人對數學的鉆研精神和聰明才智中得到啟示，樹立學好數學的信心 板書設計 181 勾股定理（二） 1用拼圖法驗證勾股定理（1） 由上圖得（a+b）2=ab×4+c2 即a2+b2=c2；（2） 由上圖可得c2=ab×4+（b-a）2 即a2+b2=c2 2介紹“趙爽弦圖” 活動與探究 如右圖，木長二丈，它的一周是3尺，生長在木下的葛藤纏木七周，上端恰好與木劉，問葛藤長多少？ 過程：從表面上看，這道題與勾股定理無關系但是如果你用一張直角三角形的紙片約一支圓柱形鉛筆上纏繞，就會發現；這里的葛藤之長相當于直角三角形的斜邊 結果：根據題意

17、，可得一條直角邊（即高）長2丈即20尺，另一條直角邊（即底邊）長7×3=21（尺），因此葛藤長設為x尺，則有x2=202+212=841=292，所以x=29尺，即葛藤長為29尺 備課資料 一、原本一書中勾股定理的證明 我們知道，勾股定理的證明方法有五百余種現存的最古老的證明，載于歐幾里得的原本一書中，它隨原本在世界廣泛流傳而流傳，成為二千年來幾何學教科書中通用證法 如圖，在rtabc各邊上向外作正方形abed，bcgk，cafh連結cd，fb因為af=ac，ab=ad，fab=cad=90°+cab，所以fabcad，作clad因為sfab=fa·fh（fh為f

18、ab的af邊上的高）而s正方形cafh=fa·fh所以s正方形cafh=2sfab 又因為scad =ad·dl（dl為ad邊上的高），而s長方形adlm=ad·dl，所以s長方形adlm=2scad； 綜上所述，可得s正方形cafh=s長方形adlm 同理可證s正方形bcgk=s長方形belm，所以s正方形abed=s長方形adlm+s長方形belm=s正方形cafh+s正方形bcgk，即ab2=ac2+bc2 其實，歐幾里得原本中的證明并不簡單，簡明的證明要數公元三世紀我國數學家趙爽給出的勾股圓方圖即這節課我們介紹的驗證勾股定理的第二種拼圖 二、勾股定理的推廣如果