1、物理學創新班年度論文題 目：菲涅耳衍射屏軸外一點衍射場光強分析 指導老師： 郭小花 姓 名： 許 嬌 學 院： 電子與信息科學學院 班 級： 2012級物理（一）班 學 號： 20121040105 菲涅爾衍射屏軸外一點衍射場光強分析許嬌（學號：20121040105）（天水師范學院 電子信息與電氣工程學院 2012級物理學一班）摘要：光可以“繞過”障礙物，而在某種程度上傳播到障礙物的幾何陰影區域中，并在屏幕上呈現出光強的不均勻分布現象，這種現象稱為“光的衍射”1 。談及到光的衍射，理論很多，相對已經形成了比較完善的理論體系，本文所涉及的只是在球面波人射的情況下,以菲涅耳圓孔衍射為例來研究衍射

2、屏軸外一點衍射場的光強分布。以菲涅耳圓孔衍射的基本原理為基礎詳盡地論述了菲涅耳衍射軸外一點衍射場的光強分布。關鍵詞：光學，光的衍射，菲涅耳圓孔衍射，半波帶法Abstract: Light can be "bypass obstacles, and in some degree spread to obstacle the geometric shadow region, and on the screen showing a light intensity uneven distribution of the phenomenon, this phenomenon called&qu

3、ot; diffraction of light ". Turning to the light diffraction, a lot of theory relative had formed a relatively complete theoretical system, covered in this paper just in spherical wave incident, of Fresnel circular aperture diffraction as an example to study diffraction screen axis outside a po

4、int diffraction field intensity distribution. Based on the basic principle of the diffraction of Fresnel hole, the distribution of the intensity of the diffracted field outside a point of the Fresnel diffraction axis is discussed.Key words: Optics, optical diffraction, Fresnel

5、60;diffraction by a circularaperture, half-wave zone method目錄引言2第1章 惠更斯-菲涅耳原理21.1 光的衍射現象21.2 惠更斯-菲涅耳原理21.3 根據惠更斯菲涅爾原理計算波面傳播到點時的合振幅3第2章 菲涅耳半波帶42.1 菲涅耳半波帶42.2 次波合振幅的計算4第3章 菲涅耳圓孔衍射53.1 菲涅耳圓孔衍射原理253.2 菲涅耳圓孔衍射屏軸上一點的光強的理論分析73.3 菲涅耳圓孔衍射屏軸外一點的光強分析910引言光可以“繞過”障礙物，而在某種程度上傳播到障礙物的幾何陰影區域

6、中，若在障礙物的后面放一觀察屏，屏上呈現出明暗相間的條紋分布現象，也就是在屏幕上呈現出光強的不均勻分布現象，這種現象稱為“光的衍射”或稱作“光的繞射”；而把看到的條紋稱為“衍射圖樣”。2根據源點和場點距孔徑平面的遠近將衍射分為夫瑯禾費衍射和菲涅爾衍射，又分別稱為遠場衍射和近場衍射。無論是夫瑯禾費衍射和菲涅爾衍射，我們對其衍射屏軸上一點的光強分布規律都很了解，也知道了在衍射屏軸上的光強分布特點，那么，在衍射屏軸外一點的光強是如何分布的，有何特點？下面就以菲涅耳圓孔衍射為例詳盡的討論在衍射屏軸外一點的光強分布和特點。第1章 惠更斯-菲涅耳原理1.1 光的衍射現象光的衍射現象是指光波遇到障礙物以后會

7、或多或少地偏離幾何光學中直線傳播定律的現象。幾何光學表明，光在均勻媒質中按直線定律傳播，光在兩種媒質的分界面按反射定律和折射定律傳播。但是，光是一種電磁波，當一束光通過有孔的屏障以后，其強度可以波及到按直線傳播定律所劃定的幾何陰影區內，也使得幾何照明區內出現某些暗斑或暗紋。總之，衍射效應使得障礙物后空間的光強分布既區別于幾何光學給出的光強分布，又區別于光波自由傳播時的光強分布，衍射光強有了一種重新分布。衍射使得一切幾何影界失去了明銳的邊緣。我們根據光源到衍射場的遠近將光的衍射現象分為兩種類型菲涅耳衍射和夫瑯和費衍射，又分別稱為進場衍射與場衍射。1.2 惠更斯-菲涅耳原理惠更斯原理表明，在任何時

8、候波面上的每一個點都可以作為次波的波源，各自發出球面次波；在以后的任何時刻，所有這些次波波面的包絡形成整個波在該時刻新波面。波面s上每個面積元都可以看成新的波源，它們均發出次波。波面前方空間某一點P的振動可以由S面上所發出的次波對于面積ds所發出的各次波在該點疊加后合振幅來表示。菲涅耳對面積元所發出的各次波的振幅和相位提出下列四個假設1：1) 在波動理論中，波面是一個等相位面。因而可以認為面上各點所發出的有次波都有相同的初相位。2) 次波在p點處所引起的振動的振幅與r成反比。這相當于與表明次波是球面波。3) 從面積元所發出的次波在p處的振幅正比于的面積，且與傾角 有關，為的法線e與到p點的連線

9、r之間的夾角，即從發出的次波到達p點時的振幅隨的增大而減少。4) 次波在p點處的相位，由光程決定（）。1.3 根據惠更斯菲涅爾原理計算波面傳播到點時的合振幅根據上面的假設，可知面積元ds發出的去傳播在p點的合振動可以表示為 （1）其中k()為隨著角增大而緩慢減小的函數，稱為傾斜因子。如果波面上各點上的振幅有一定的分布，則面積元發出次波到達P點的振幅與該面積元上的振幅成正比，若分布函數A(Q)，則波面在點所產生的振動為 （2）如果將波面上所有面積元在點的作用加起來，即可求得波面在點所產生的合振動為 （3）或寫成復數形式 （菲涅爾衍射積分） （4）由以上公式可以計算波面發出的波去傳播在p點的合振動

10、的振幅。第2章 菲涅耳半波帶借助于惠更斯菲涅爾原理可以解釋和描述光束通過各種形狀的障礙物時所產生的衍射現象。通常可以根據光源和考察點到障礙物的距離，把衍射現象分為兩類。第一類是障礙物到光源和考察點的距離都是有限的，其中有限的稱為菲涅爾衍射，又稱近場衍射；第二類是障礙物到光源和考察點的距離可以認為是無限的，這種特殊的衍射現象，稱為夫瑯禾費衍射，又稱遠場衍射。32.1 菲涅耳半波帶O為點光源，S為任一時刻的波面（球面），為其半徑。為了確定光波到達對稱軸上任一點時，波面所起的作用，連接O、P與球面相交于點，稱為P點對于波面的極點。令，設想將波面分為許多環形帶，使從每兩個相鄰帶的相應邊緣到點的距離相差

11、半波長，有 （5）在這種情況下，由任何相鄰兩帶的對應部分所發出的次波到達點時的光程差為，亦即它們同時到達P點，而相位差為。這樣分成的環帶稱為菲涅爾半波帶簡稱半波帶。2.2 次波合振幅的計算以分別表示個半波帶發出的次波在P點產生的振動，由于相鄰的兩個半波帶所發出的次波到達P點時的相位差，所以k個半波帶所發出的次波在點疊加的合振幅為 （6）上式中取正號還是負號由K是奇數還是偶數決定：K時奇數時取正號，K是偶數時取負號。由此可見，應用惠更斯-菲尼爾原理來計算從點光源發出的光傳播到任一觀察點P時的振幅，只要把球面波面相對于P點分成半波帶，將第一個帶和最末一個（第K個）帶所發出的次波的振幅想加或相減即可

12、。第3章 菲涅耳圓孔衍射 我們都知道，單色光經過小孔后后會發生衍射現象，如圖1表示一個單色平面波垂直照射到圓孔上（圓孔直徑大于波長）的情形。若在距離很近的K處觀察透過的光，將看到邊緣比較銳利的光斑，其形狀、大小和圓孔基本相同，可看作是圓孔的投影。這時光的傳播可大約看作是直線進行的。若距離再遠些，到K面上觀察時，將看到一個邊緣模糊的略大的圓光斑，光斑內有一圈圈的亮暗環，這時光斑已不能看作是圓孔的投影了。隨著觀察平面到的距離增大，光斑范圍將不斷擴大，但光斑中圓環數目將不斷減少(如K面的情況)，而且環文的中心也表現出從亮到暗,又從暗到亮的周期性變化，當觀察平面距離很遠時，如在K面,將看到一個較大的中

13、間亮邊緣暗且在邊緣外有較弱的亮暗圓環的光斑。若觀察距離再增大的時候，只是光斑擴大，而光斑形狀不變。從這一例子可以看出，在衍射孔后不同距離的地方，衍射圖樣是不同的。觀察位置在K、K及其前后范圍內的衍射現象稱為菲涅耳衍射或近場衍射。圖 1 菲涅爾衍射與夫瑯和費衍射3.1 菲涅耳圓孔衍射原理2 如圖2所示，在S與P之間有一帶圓孔的光屏M，圓孔中心在SP連線上。這時，S對P的作用就只是圓孔范圍內露出的一部分波面上的那些次波源在P點所產生的光振動的迭加。按照波帶法，分別以P為中心 ，+，+為半徑將露出的波面分成若干個波帶 。 圖 2 圓孔范圍內露出的波帶 由可見，只要知道露出波面上對于P點所做出的波帶數

14、目就能夠確定該點的振幅，從而得知該點的光強度。當在露出的波面上作出的波數為奇數個時，P點有最大的光強度，而為偶數個波帶時，P點有最小的光強度。圓孔愈小，則圓孔包含的波帶數愈少。相差也小。在此情況下，當j為奇數時，有當j為偶數時，有這表明，當圓孔露出奇數個波帶時，P點的光強是約等于的亮點，而當圓孔露出偶數個波帶時，P點事光強度接近于零的暗點。例如，設圓孔露出的波面對P點正好可劃分為5個波帶，如1圖（b）圖所示。它們在P點所產生振動的振幅為，P點是亮點。3.2 菲涅耳圓孔衍射屏軸上一點的光強的理論分析如圖1所示的菲涅耳圓孔衍射裝置。圖中S為點光源，為開有半徑為a小圓孔（）的衍射屏，W為接收屏，與W

15、相距，與S相距,在與W上分別建立了共Z軸的和(x,y)直角坐標系圖3 菲涅耳圓孔衍射裝置示意圖 由惠更斯一菲涅耳原理知,點光源S發出的光波徑上圓孔衍射后在觀察屏(接收屏)W上產生的擾動為 （7）式中為傾斜因子，及分別為內及W上的光場分布，積分范圍限制在內(基爾霍夫邊界條件)，考慮到,且在傍軸條件下，此時可以把(l)式中分母上緩變的r用來代替,(l)式簡化為 （8）由（7）可知，在菲涅耳近似的條件下： （9）（9）式為泰勒展開式，將(9)式代人(8)式有 （10）對于軸上場點：x=0，y=0，則(10)式變為 （11）由點光源S發出的球面波到達的光場分布為 （12） （13）考慮到，在菲涅耳近似

16、亦即的條件下，(13)式作泰勒展開為 （14）將(14)式代人(12)式,并將分母中R用代替得 （15）再將(15)式代人(11)式,得 （16）采用極坐標后,有 （17）于是軸上的光強分布為 （18）式中，這恰好是發自S的球面波自由傳播到軸上P(0,0)點時的光強，(12)式便是我們導出的菲涅耳圓孔衍射(球面波人射)時軸上光強分布的解析表達式。可以看出，軸上光強是，和a的函數，當，和a的數值發生變化的時候,軸上光強將在0和之間變化。這個結果與實驗結果是吻合的，與波帶法得出的定性結論也是相一致的4。3.3 菲涅耳圓孔衍射屏軸外一點的光強分析如果在P處垂直于SP放置一觀察屏K（圖3a），在屏上的

17、其他點的光強分布也可用同樣的方法求得。圖3 開孔對于點的波帶例如，我們來考慮點。這時應該以為圓心，分別以+，+為半徑（為圓孔內的波面與S連線的交點到P的距離）將露出波面劃分成波帶。由于連線S對圓孔已不再對稱，故波帶變成圖3b的樣子，這些波帶在點所產生的振動的振幅就不僅取決于他們的數目，而且也取決于每個波帶露出部分的多少。精確的計算的合成振幅是不容易的，但可以預料，由P點逐漸往外，有些地方的光強較大，另一些地方的光強較小。例如對于圖3b所示的情況，露出的波帶共有6個，分別用,表示它們的面積。其中與、與基本相等而且相互抵消。由于孔徑上方的切割面積減小。同時，在孔徑的下方又多露出了一塊。基本相消，故

18、可知的強度很小，是暗點。如果再往外考察軸外點點。這時波帶如圖3C所示。相等，,并又多露出一塊.故+。即還有一部分波帶的作用未被抵消，因此，反而比稍亮一點。當被考察點移到更遠時，露出波帶將如圖3d所示，奇數帶與偶數帶較均勻排列，并相消，因此離P點較遠的點都是暗的。21 結語本文主要以菲涅耳圓孔衍射為例來討論菲涅耳衍射屏軸外一點衍射光強的，在本文中只能定性地給出對于軸外點衍射光強隨不同參數r和a的變化作明暗周期性變化的結果，并不能夠做出定量的計算，但其分析結果對于理解菲涅爾衍射現象具有重要的理論參考意義。參考文獻1 姚啟鈞.光學教程M.北京:高等教育出版社,2008.6(2013.8重印).2梁栓廷.物理光學M.北京:機械工業出版社,1980.8(1982.5第三次印).3 趙凱華.光學M.北京:北京大學出版社,