1、第三節直線、平面平行的判定與性質1.能以立體幾何中的定義、公理和定理為出發點，認識和理解空間中線面平行的有關性綱要求質與判定定理.2.能運用公理、定理和已獲得的結論證明一些空間圖形中平行關系的簡單命題.突破點一直線與平面平行的判定與性質抓牢雙基自學回扣基本知識直線與平面平行的判定定理和性質定理文字語言圖形語言付號語言判定定理平面外一條直線與此平面內的一條直1 / a, a? a, l ? a? l/ a線平行，則該直線與此平面平行(線線平 行？線面平行)性質定理一條直線與一個平面平行，則過這條直 線的任一平面與此平面的交線與該直 線平行(線面平行？線線平行)7l / a, l?伏 aCl 戸

2、b? l / b基本能力一、判斷題(對的打，錯的打“X” )(1) 若一條直線和平面內一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行.()(2) 若直線a/平面a, P a,則過點P且平行于直線a的直線有無數條.()(3) 空間四邊形 ABCD中，E, F分別是 AB , AD的中點，貝U EF /平面BCD .()答案：X (2)X V二、填空題1若兩條直線都與一個平面平行，則這兩條直線的位置關系是 .答案：平行、相交或異面2.若直線 a門直線b= A, a /平面a,則b與a的位置關系是 解析：因為a/ a, a a與平面a沒有公共點，若 b? a ,則A a ,又A a,此種情況 不可能. b

3、/ a或b與a相交.答案：b/ a或b與a相交3如圖，在正方體 ABCD-AiBiCiDi中，E為DDi的中點，貝V BDi與平面 AEC的位置HC考法EaaHEHB關系為答案：平行在厶 ABE 中，PB = PE, AG = GE,所以 PG / BA,又 PG?平面 ABCD , BA?平面 ABCD ,所以PG /平面 ABCD .在梯形 ADFE 中，DQ= CF , AG= GE，所以 GQ/ AD,又 GQ?平面 ABCD , AD?平面 ABCD ,所以GQ/平面ABCD.因為 PG n GQ= G, PG?平面 PQG, GQ?平面 PQG,所以平面 PQG/平面 ABCD.又

4、PQ?平面PQG，所以PQ/平面 ABCD.又 FQ= QD，/ EQF =Z DQH ,所以 EFHD Q,所以 EQ= QH.在厶 BEH 中，BP= PE, EQ= QH，所以 PQ/ BH .又 PQ?平面 ABCD , BH ?平面 ABCD ,所以PQ/平面ABCD.研透高考深化提能全析考法法二：如圖，連接EQ并延長，與 AD的延長線交于點連接BH.因為 EF / DH，所以/ EF Q=Z HD Q,線面平行的判定例1如圖，空間幾何體 ABCDFE中，四邊形 ADFE是梯形,且EF / AD , P, Q分別為棱 BE , DF的中點.求證：PQ/平面 ABCD.證明法一：如圖，

5、取 AE的中點G,連接PG, QG.考法二線面平行性質定理的應用例2 如圖所示，四邊形ABCD是平行四邊形，點P是平面ABCD 外一點，M是PC的中點，在DM上取一點 G,過G和AP作平面交平 面BDM于GH.求證：AP / GH.證明如圖所示，連接AC交BD于點0,連接M0,四邊形ABCD是平行四邊形， 0是AC的中點，又M是PC的中點， AP / M0.又M0 ?平面 BMD , AP?平面 BMD , AP/ 平面 BMD ./平面PAHG n平面BMD =GH,且AP?平面PAHG , AP/ GH.方法技巧線面平行問題的解題關鍵(1) 證明直線與平面平行的關鍵是設法在平面內找到一條與

6、已知直線平行的直線，解題 的思路是利用幾何體的特征，合理利用中位線定理、線面平行的性質，或者構造平行四邊 形、尋找比例式證明兩直線平行.(2) 應用線面平行性質定理的關鍵是確定交線的位置，有時需要經過已知直線作輔助平 面來確定交線.集訓沖關1.考法一在直三棱柱 ABC-AiBiCi 中，AC= 4, CB = 2, AAi =2,Z ACB = 60° E, F 分別是 AiCi, BC 的中點.證明： C,F / 平面ABE.證明：取AC的中點M，連接CiM , FM，在 ABC中，FM / AB,而FM ?平面 ABE , AB?平面 ABE ,li FM / 平面 ABE ,在

7、矩形ACCiAi中，E, M都是中點， CiM / AE ,而CiM ?平面 ABE , AE?平面 ABE , CiM /平面 ABE ,CiM n FM = M ,平面 ABE /平面 FMC i,又CiF?平面FMC 1,故CiF /平面ABE.2.考法二如圖，在直四棱柱 ABCD-AiBiCiDi中，E為線段 AD上的任意一點（不包括A，D兩點），平面CECi與平面BBiD交于FG. 證明：FG /平面AAiBiB.證明：在四棱柱 ABCD-AiBiCiDi 中，BBi/ CCi,BBi?平面 BBiD,CCi?平面 BBiD,所以CCi/平面BBiD.又CCi?平面CECi，平面CE

8、Ci與平面BBiD交于FG , 所以 CCi/ FG.因為 BBi/ CCi,所以 BBi / FG.而 BBi?平面 AAiBiB, FG?平面 AAiBiB,所以FG /平面AAiBiB.突破點二平面與平面平行的判定與性質抓牢雙基自學回扣基本知識平面與平面平行的判定定理和性質定理文字語言圖形語言付號語言判定定理一個平面內的兩條相交直線與 另一個平面平行，則這兩個平面 平行（線面平行？面面平行）1h /a / B,b /B,a Ab=P, a?a,b?0?a /B性質定理如果兩個平行平面同時和第三 個平面相交，那么它們的交線平 行7a / B, aA 尸 a, BA y= b? a/ b基本

9、能力一、判斷題（對的打，錯的打“X” ）（1）如果一個平面內的兩條直線平行于另一個平面，那么這兩個平面平行.（）（2）若一個平面內有無數條直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行.（）（3）如果兩個平面平行，那么分別在這兩個平面內的兩條直線平行或異面.（）（4）若兩個平面平行，則一個平面內的直線與另一個平面平行.（）答案：（i）x （2）x V V二、填空題1設a B, 丫為三個不同的平面，a, b為直線，給出下列條件:a? a, b?a/ b/ a； a y Y a丄 y B丄 y其中能推出all B的條件是 （填上所有正確的序號）答案：2.已知平面 a/ B,直線a? a,有下列命題： a與

10、B內的所有直線平行； a與B內無數條直線平行； a與B內的任意一條直線都不垂直.其中真命題的序號是.解析：由面面平行和線面平行的性質可知，過a與B相交的平面與 B的交線才與a平行，故錯誤；正確；平面B內的直線與直線 a平行，異面均可，其中包括異面垂直，故錯誤.答案：3.如圖，aB, PAB所在的平面與 a,PC = 2, CA= 3,CD = 1,貝U AB =解析：/ aB, CD / AB，則訴 CB ,B分別交于CD ,PAX CD二 AB="AXCC"52.答案：5研透高孝深化提能典例如圖，ABCD是邊長為3的正方形，DE丄平面 ABCD , AF丄平面 ABCD

11、, DE = 3AF = 3.證明：平面ABF /平面DCE .證明法一：應用面面平行的判定定理證明因為DE丄平面 ABCD , AF丄平面 ABCD ,所以DE / AF，因為 AF ?平面DCE , DE ?平面 DCE，所以 AF /平面 DCE ,因為四邊形 ABCD是正方形，所以AB / CD ,因為AB?平面DCE，所以AB /平面DCE ,因為 AB A AF = A, AB?平面 ABF , AF ?平面 ABF，所以平面 ABF /平面 DCE.法二：利用兩個平面內的兩條相交直線分別平行證明因為DE丄平面 ABCD , AF丄平面 ABCD ,所以 DE / AF ,因為四邊

12、形 ABCD為正方形，所以 AB / CD.又 AF A AB= A, DE A DC = D ,所以平面 ABF /平面 DCE .法三：利用垂直于同一條直線的兩個平面平行證明因為DE丄平面 ABCD ,所以DE丄AD，在正方形 ABCD中，AD丄DC ,又 DE n DC = D,所以AD丄平面DEC .同理AD丄平面ABF .所以平面 ABF /平面 DCE .方法技巧判定面面平行的4種方法(1) 利用定義：即證兩個平面沒有公共點(不常用)(2) 利用面面平行的判定定理(主要方法)(3) 利用垂直于同一條直線的兩平面平行(客觀題可用)(4) 利用平面平行的傳遞性，即兩個平面同時平行于第三

13、個平面，則這兩個平面平行(客觀題可用)針對訓練1. (2019南昌模擬)如圖，在四棱錐 P-ABCD中，/ ABC=Z ACD =90° / BAC = Z CAD = 60 ° PA丄平面 ABCD , PA= 2, AB = 1.設 M , N分別為PD , AD的中點.(1) 求證：平面CMN /平面PAB;(2) 求三棱錐 P-ABM的體積.解：(1)證明：T M , N分別為PD, AD的中點， MN / PA./ MN ?平面 PAB, PA?平面 PAB, MN / 平面 PAB.在 Rt ACD 中，/ CAD = 60° CN = AN，/ AC

14、N = 60°又/ BAC= 60 ° CN / AB./ CN?平面 PAB, AB?平面 PAB, CN / 平面 PAB.又 CN n MN = N,平面 CMN /平面 PAB.(2)由(1)知，平面 CMN /平面 PAB,點M到平面PAB的距離等于點 C到平面PAB的距離.由 AB = 1,Z ABC = 90° / BAC= 60° BC= 3,三棱錐 P-ABM 的體積 V = Vm-pab= Vc_pab= Vp_abc =2 x 1 X 3X 2 = 33.2. （2019西安調研）如圖，在多面體 ABCDEF 中，AD / BC,

15、AB 丄 AD , FA 丄平面 ABCD , FA / DE，且 AB = AD = AF = 2BC = 2DE = 2.（1）若M為線段EF的中點，求證：CM /平面 ABF ;（2）求多面體 ABCDEF的體積.解：（1）證明：取 AD的中點N，連接CN , MN ,/ AD / BC 且 AD = 2BC , AN / BC 且 AN = BC ,四邊形ABCN為平行四邊形， CN / AB./ M 是 EF 的中點， MN / AF.又 CN A MN = N , ABA AF = A,平面CMN /平面ABF.又 CM ?平面 CMN , CM / 平面 ABF.(2) / FA

16、 丄平面 ABCD , FA丄 AB.又 AB 丄 AD，且 FA A AD = A, AB丄平面 ADEF，即CN丄平面 ADEF .1 1 1 1連接AC ,則多面體 ABCDEF的體積Vabcdef = Vf-abc + V c-adef = §X 1XX (1 + 2)X 2X 2 = 8.3課時跟蹤檢測1. （2019西安模擬股a, B是兩個平面，直線 a? a則“ a/ 是“ a/ 8'的（）A 充分不必要條件B.必要不充分條件C 充要條件D 既不充分也不必要條件解析：選B 依題意，由a? a, a/ 8不能推出a/ 8此時平面a與8可能相交；反過 來，由all

17、8 a? a,可得a/ 8綜上所述，“ a / 8是“a/ 8的必要不充分條件，選B.f/ E/ 1/iN31./a/2. （2019四川名校聯考）如圖，正方體 ABCD-A1B1C1D1的棱長為a, M , N分別為 A1B和 AC上的點，A1M = AN =a，貝U MN與平面BB1C1C的位置關系是（）A 相交C .垂直B.平行D .不能確定1 1解析：選B 由題可得AiM = 3A1B, AN = 3AC,所以分別取 BC, BBi上的點P, Q,2 222使得 CP= -BC , BQ= -BBi，連接 MQ NP , PQ 貝U MQ綊2B1A1, NP 綊-AB,又 BiAi 綊

18、3 3AB，故M Q綊NP，所以四邊形 MCPN是平行四邊形，則 MN / CP, QP?平面BB1C1C,MN ?平面 BB1C1C，貝U MN /平面 BB1C1C，故選 B.3. （2019棗莊診斷）如圖，直三棱柱 ABC-A' B' C'中， ABC 是邊長為2的等邊三角形，AA'= 4,點E, F, G, H, M分別是邊 AA' , AB, BB', A' B', BC的中點，動點 P在四邊形 EFGH內 部運動，并且始終有MP /平面 ACC' A',則動點 P的軌跡長度為（ ）B. 2 n解析：選D

19、 連接MF , FH , MH，因為M, F, H分別為BC, AB, A' B'的中點,所以MF /平面 AA' C' C, FH /平面 AA' C' C,所以平面 MFH /平面 AA' C' C,所以M與線段FH上任意一點的連線都平行于平面AA' C ' C,所以點P的運動軌跡是線段FH，其長度為4,故選D.4. （2019成都模擬）已知直線a, b和平面a,下列說法中正確的是 （）A .若 a / a, b? a,則 a / bB.若a丄a, b? a,則a丄bC .若a, b與a所成的角相等，貝U a

20、/ bD.若 a / a, b/ a ,貝U a/ b解析：選B 對于A ,若a / a , b? a ,則a/ b或a與b異面，故A錯；對于B,禾U用 線面垂直的性質，可知若 a丄a , b? a ,貝U a丄b,故B正確；對于C ,若a , b與a所成的 角相等，貝U a與b相交、平行或異面，故 C錯；對于D,由a / a, b/ a ,貝U a , b之間的 位置關系可以是相交、平行或異面，故 D錯.5. （2017全國卷I ）如圖，在下列四個正方體中， A , B為正方體的兩個頂點，M, N ,Q為所在棱的中點，則在這四個正方體中，直線 AB與平面MN Q不平行的是（）解析：選A法/

21、CD , M , Q分別是所在棱的中點，所以MQ/ CD，所以AB/ MQ .又AB?平面MNQ, MQ?平面MN Q 所以AB /平面 MN Q同理可證選項 C、D中均有 AB /平面MN Q故選A.法二：對于選項A ,設正方體的底面對角線的交點為0（如圖所示）,連接0Q貝U 0Q/ AB.因為0Q與平面 MN Q有交點，所以 AB與平面 MN Q有交點，即AB與平面MN Q不平行，根據直線與平面平行的判定 定理及三角形的中位線性質知，選項B、C、D中AB /平面MN Q故選A.6.已知m, n是兩條不同的直線,a，3 ,丫是三個不同的平面，則下列命題中正確的A .若a丄Ya丄3，貝ll 丫

22、/3B.若m /n ,m?a,n? 33,則all 3C .若m /n ,m±a ,n丄33,則all 3D .若m /n ,m /a ,則n/ a解析：選C對于A ,若a 丄Y,a丄3則丫/ B或丫與B相交；對于B,若m / n, m? a, n? 3貝U a/ 3或a與3相交；易知 C正確；對于 D,若m/ n , m/ a,貝U n / a或n 在平面a內故選C.7.如圖所示，三棱柱ABC -A1B1C1的側面BCCiBi是菱形，設D是Ac上的點且AiB/平面 BiCD ,貝y A1D : DCi的值為.解析：設BCiA BiC= 0 ,連接OD.T AiB /平面BiCD且平

23、面AiBCi門平面BiCD = OD ,B- AiB/ 0D , 四邊形 BCCiBi是菱形，二0為BCi的中點，二D為AiCi的中點，則AiD : DC i= 4.答案：i8.已知正方體 ABCD-AiBiCiDi ,下列結論中，正確的是 （只填序號）.ADi / BCi;平面 ABiDi /平面 BDC仁 AD4 / dc4； ADJ/ 平面 BDC4.解析：連接 ADi , BCi , ABi , BiDi , Sd , BD ,因為 AB 綊 CiDi ,PlCi所以四邊形 ADiCiB為平行四邊形，故 ADi BCi，從而正確；易證DCi,又 ABiA BiDi= Bi, BD n

24、DCi= D，故平面 ABiDi/ 平面 BDCi, 易知 ADi與DCi異面，故錯誤；因為 ADi / BCi , ADi?平面BDCi, 故ADi /平面BDCi，故正確.答案：9. 在三棱錐 P-ABC中，PB= 6, AC = 3, G PAC的重心，過點截面，使截面平行于 PB和AC，則截面的周長為 .解析：如圖，過點 G作EF / AC，分別交PA, PC于點E, F , 過點E作EN / PB交AB于點N，過點F作FM / PB交BC于點M , 連接MN，則四邊形EFMN是平行四邊形（平面EFMN為所求截面）,2i且EF = MN = §AC = 2, FM = EN

25、= §PB= 2，所以截面的周長為 2X 4=&答案：810. （20i9南寧畢業班摸底）如圖， ABC中，AC = BC = -AB , 四邊形ABED是邊長為i的正方形，平面 ABED丄底面ABC , G, F分 別是EC, BD的中點.求證：GF /底面ABC ;（2）求幾何體 ADEBC的體積.解：（i）證明：如圖，取 BC的中點M , AB的中點N,連接GM ,FN , MN. G, F分別是EC, BD的中點，i GM / BE，且 GM = BE ,iNF / DA，且 NF = DA.又四邊形 ABED為正方形， BE / AD , BE = AD, GM /

26、 NF 且 GM = NF .四邊形MNFG為平行四邊形. GF / MN，又 MN ?平面 ABC , GF ?平面 ABC, GF /平面 ABC.（2）連接 CN , AC = BC,. CN 丄 AB,又平面 ABED丄平面 ABC, CN?平面 ABC,BD / BiDi, ABi /從而正確；由圖BCi?平面 BDCi,G作三棱錐的一個r CN丄平面ABED.1 1易知 ABC是等腰直角三角形， CN = -AB = , C-ABED是四棱錐，1 1 11- VC-ABED = 3S 四邊形 ABED CN = 3 X 1 X石"11.如圖，四邊形 ABCD與四邊形 ADEF為平行四邊形，M , N , G分別是AB, AD ,EF的中點，求證：(1) BE /平面 DMF ;(2) 平面BDE /平面 MNG.證明：(1)