1、第五章：萬有引力定律 人造地球衛星基礎知識1開普勒行星運動三定律簡介（軌道、面積、比值）丹麥開文學家開普勒信奉日心說，對天文學家有極大的興趣，并有出眾的數學才華，開普勒在其導師弟谷連續20年對行星的位置進行觀測所記錄的數據研究的基楚上，通過四年多的刻苦計算，最終發現了三個定律。第一定律：所有行星都在橢圓軌道上運動，太陽則處在這些橢圓軌道的一個焦點上；第二定律：行星沿橢圓軌道運動的過程中，與太陽的連線在單位時間內掃過的面積相等；第三定律：所有行星的軌道的半長軸的三次方跟公轉周期的二次方的比值都相等即開普勒行星運動的定律是在丹麥天文學家弟谷的大量觀測數據的基礎上概括出的，給出了行星運動的規律。2萬

2、有引力定律及其應用(1) 內容：宇宙間的一切物體都是相互吸引的，兩個物體間的引力大小跟它們的質量成積成正比，跟它們的距離平方成反比，引力方向沿兩個物體的連線方向。（1687年）叫做引力常量，它在數值上等于兩個質量都是1kg的物體相距1m時的相互作用力，1798年由英國物理學家卡文迪許利用扭秤裝置測出。萬有引力常量的測定卡文迪許扭秤實驗原理是力矩平衡。實驗中的方法有力學放大（借助于力矩將萬有引力的作用效果放大）和光學放大（借助于平面境將微小的運動效果放大）。萬有引力常量的測定使卡文迪許成為“能稱出地球質量的人”：對于地面附近的物體m，有（式中RE為地球半徑或物體到地球球心間的距離），可得到。(2

3、)定律的適用條件：嚴格地說公式只適用于質點間的相互作用，當兩個物體間的距離遠遠大于物體本身的大小時，公式也可近似使用，但此時r應為兩物體重心間的距離對于均勻的球體，r是兩球心間的距離當兩個物體間的距離無限靠近時，不能再視為質點，萬有引力定律不再適用，不能依公式算出F近為無窮大。注意：萬有引力定律把地面上的運動與天體運動統一起來，是自然界中最普遍的規律之一，式中引力恒量G的物理意義是：G在數值上等于質量均為1kg的兩個質點相距1m時相互作用的萬有引力(3) 地球自轉對地表物體重力的影響。重力是萬有引力產生的，由于地球的自轉，因而地球表面的物體隨地球自轉時需要向心力重力實際上是萬有引力的一個分力另

4、一個分力就是物體隨地球自轉時需要的向心力，如圖所示，在緯度為的地表處，萬有引力的一個分力充當物體隨地球一起繞地軸自轉所需的向心力 F向=mRcos·2（方向垂直于地軸指向地軸），而萬有引力的另一個分力就是通常所說的重力mg，其方向與支持力N反向，應豎直向下，而不是指向地心。由于緯度的變化，物體做圓周運動的向心力F向不斷變化，因而表面物體的重力隨緯度的變化而變化，即重力加速度g隨緯度變化而變化，從赤道到兩極R逐漸減小，向心力mRcos·2減小，重力逐漸增大，相應重力加速度g也逐漸增大。OONF心mF引mg甲在赤道處，物體的萬有引力分解為兩個分力F向和m2g剛好在一條直線上，則

5、有FF向m2g，所以m2g=F一F向Gm2R自2 。物體在兩極時，其受力情況如圖丙所示，這時物體不再做圓周運動，沒有向心力，物體受到的萬有引力F引和支持力N是一對平衡力，此時物體的重力mgNF引。NoF引丙NF引o乙綜上所述重力大小：兩個極點處最大，等于萬有引力；赤道上最小，其他地方介于兩者之間，但差別很小。重力方向：在赤道上和兩極點的時候指向地心，其地方都不指向地心，但與萬有引力的夾角很小。由于地球自轉緩慢，物體需要的向心力很小，所以大量的近似計算中忽略了自轉的影響，在此基礎上就有：地球表面處物體所受到的地球引力近似等于其重力，即mg 說明：由于地球自轉的影響，從赤道到兩極，重力的變化為千分

6、之五；地面到地心的距離每增加一千米，重力減少不到萬分之三，所以，在近似的計算中，認為重力和萬有引力相等。萬有引力定律的應用： 基本方法：衛星或天體的運動看成勻速圓周運動， F萬=F心(類似原子模型)方法：軌道上正常轉：地面附近：G= mg GM=gR2 (黃金代換式) （1）天體表面重力加速度問題通常的計算中因重力和萬有引力相差不大，而認為兩者相等，即m2gG， g=GM/R2常用來計算星球表面重力加速度的大小，在地球的同一緯度處，g隨物體離地面高度的增大而減小，即gh=GM/（R+h）2，比較得gh=（）2·g設天體表面重力加速度為g，天體半徑為R，由mg=得g=，由此推得兩個不同

7、天體表面重力加速度的關系為（2）計算中心天體的質量某星體m圍繞中心天體m中做圓周運動的周期為T，圓周運動的軌道半徑為r，則：由得：例如：利用月球可以計算地球的質量，利用地球可以計算太陽的質量。可以注意到：環繞星體本身的質量在此是無法計算的。（3）計算中心天體的密度=由上式可知，只要用實驗方法測出衛星做圓周運動的半徑r及運行周期T，就可以算出天體的質量M若知道行星的半徑則可得行星的密度（4）發現未知天體用萬有引力去分析已經發現的星體的運動，可以知道在此星體附近是否有其他星體，例如：歷史上海王星是通過對天王星的運動軌跡分析發現的。冥王星是通過對海王星的運動軌跡分析發現的人造地球衛星。這里特指繞地球

8、做勻速圓周運動的人造衛星，實際上大多數衛星軌道是橢圓，而中學階段對做橢圓運動的衛星一般不作定量分析。1、衛星的軌道平面：由于地球衛星做圓周運動的向心力是由萬有引力提供的，所以衛星的軌道平面一定過地球球心，球球心一定在衛星的軌道平面內。2、原理：由于衛星繞地球做勻速圓周運動，所以地球對衛星的引力充當衛星所需的向心力，于是有實際是牛頓第二定律的具體體現3、表征衛星運動的物理量：線速度、角速度、周期等：（1）向心加速度與r的平方成反比。=當r取其最小值時，取得最大值。a向max=g=9.8m/s2（2）線速度v與r的平方根成反比v=當h，v當r取其最小值地球半徑R時，v取得最大值。 vmax=7.9

9、km/s（3）角速度與r的三分之三次方成百比=當h，當r取其最小值地球半徑R時，取得最大值。max=1.23×103rad/s（4）周期T與r的二分之三次方成正比。T=2當h，T當r取其最小值地球半徑R時，T取得最小值。 Tmin=2=284 min衛星的能量：(類似原子模型)r增v減小(EK減小<Ep增加)，所以 E總增加;需克服引力做功越多，地面上需要的發射速度越大應該熟記常識：地球公轉周期1年， 自轉周期1天=24小時=86400s， 地球表面半徑6.4103km 表面重力加速度g=9.8 m/s2 月球公轉周期30天4宇宙速度及其意義(1)三個宇宙速度的值分別為第一宇宙

10、速度（又叫最小發射速度、最大環繞速度、近地環繞速度）：物體圍繞地球做勻速圓周運動所需要的最小發射速度，又稱環繞速度，其值為： 第一宇宙速度的計算方法一：地球對衛星的萬有引力就是衛星做圓周運動的向心力G=m，v=。當h，v，所以在地球表面附近衛星的速度是它運行的最大速度。其大小為rh（地面附近）時，=79×103m/s方法二：在地面附近物體的重力近似地等于地球對物體的萬有引力，重力就是衛星做圓周運動的向心力當rh時ghg所以v1=79×103m/s第二宇宙速度（脫離速度）：如果衛生的速大于而小于 ，衛星將做橢圓運動。當衛星的速度等于或大于的時候，物體就可以掙脫地球引力的束縛，

11、成為繞太陽運動的人造行星，或飛到其它行星上去，把叫做第二宇宙速度，第二宇宙速度是掙脫地球引力束縛的最小發射速度。第三宇宙速度：物體掙脫太陽系而飛向太陽系以外的宇宙空間所需要的最小發射速度，又稱逃逸速度，其值為：(2)當發射速度v與宇宙速度分別有如下關系時，被發射物體的運動情況將有所不同當vv1時，被發射物體最終仍將落回地面；當v1vv2時，被發射物體將環繞地球運動，成為地球衛星；當v2vv3時，被發射物體將脫離地球束縛，成為環繞太陽運動的“人造行星”；當vv3時，被發射物體將從太陽系中逃逸。5同步衛星（所有的通迅衛星都為同步衛星）同步衛星。“同步”的含義就是和地球保持相對靜止（又叫靜止軌道衛星

12、），所以其周期等于地球自轉周期，既T=24h，特點（1）地球同步衛星的軌道平面，非同步人造地球衛星其軌道平面可與地軸有任意夾角，而同步衛星一定位于赤道的正上方，不可能在與赤道平行的其他平面上。這是因為：不是赤道上方的某一軌道上跟著地球的自轉同步地作勻速圓運動，衛星的向心力為地球對它引力的一個分力F1，而另一個分力F2的作用將使其運行軌道靠赤道，故此，只有在赤道上空，同步衛星才可能在穩定的軌道上運行。（2）地球同步衛星的周期：地球同步衛星的運轉周期與地球自轉周期相同。（3）同步衛星必位于赤道上方h處，且h是一定的得故（4）地球同步衛星的線速度：環繞速度由得（5）運行方向一定自西向東運行題型解析類

13、型題： 萬有引力定律的直接應用 【例題】下列關于萬有引力公式的說法中正確的是（）A公式只適用于星球之間的引力計算，不適用于質量較小的物體B當兩物體間的距離趨近于零時，萬有引力趨近于無窮大C兩物體間的萬有引力也符合牛頓第三定律D公式中萬有引力常量G的值是牛頓規定的【例題】設想把質量為m的物體，放到地球的中心，地球的質量為M，半徑為R，則物體與地球間的萬有引力是（）AB無窮大C零D無法確定【例題】設想人類開發月球，不斷地把月球上的礦藏搬運到地球上假如經過長時間開采后，地球仍可看成均勻球體，月球仍沿開采前的圓軌道運動則與開采前比較A地球與月球間的萬有引力將變大B地球與月球間的萬有引力將減小C月球繞地

14、球運動的周期將變長D月球繞地球運動的周期將變短類型題： 重力加速度g隨離高度h變化情況 表面重力加速度：軌道重力加速度：【例題】設地球表面的重力加速度為g，物體在距地心4R（R是地球半徑）處，由于地球的引力作用而產生的重力加速度g，則g/g，為（ ）A、1； B、1/9； C、1/4； D、1/16。【例題】火星的質量和半徑分別約為地球的和，地球表面的重力加速度為g，則火星表面的重力加速度約為（ ）(A)0.2 g(B)0.4 g(C)2.5 g(D)5 g類型題： 用萬有引力定律求天體的質量和密度 通過觀天體衛星運動的周期T和軌道半徑r或天體表面的重力加速度g和天體的半徑R，就可以求出天體的

15、質量M。由 得又 得【例題】已知地球繞太陽公轉的軌道半徑r=1.491011m， 公轉的周期T=3.16107s，求太陽的質量M。【例題】宇航員在一星球表面上的某高處，沿水平方向拋出一小球。經過時間t，小球落到星球表面，測得拋出點與落地點之間的距離為L。若拋出時初速度增大到2倍，則拋出點與落地點之間的距離為L。已知兩落地點在同一水平面上，該星球的半徑為R，萬有引力常數為G。求該星球的質量M。【例題】某行星的衛星，在靠近行星的軌道上運動，若要計算行星的密度，唯一要測量出的物理是（ ）A：行星的半徑B：衛星的半徑C：衛星運行的線速度D：衛星運行的周期【例題】如果某行星有一顆衛星沿非常靠近此恒星的表

16、面做勻速圓周運動的周期為T，則可估算此恒星的密度為多少?【例題】中子星是恒星演化過程的一種可能結果，它的密度很大。現有一中子星，觀測到它的自轉周期為T=s。問該中子星的最小密度應是多少才能維持該星的穩定，不致因自轉而瓦解。計算時星體可視為均勻球體。(引力常數G=6.6710m/kg·s)類型題： 雙星問題 宇宙中往往會有相距較近，質量可以相比的兩顆星球，它們離其它星球都較遠，因此其它星球對它們的萬有引力可以忽略不計。在這種情況下，它們將圍繞它們連線上的某一固定點做同周期的勻速圓周運動。這種結構叫做雙星。由于雙星和該固定點總保持三點共線，所以在相同時間內轉過的角度必相等，即雙星做勻速圓

17、周運動的角速度必相等，因此周期也必然相同。由于每顆星的向心力都是由雙星間相互作用的萬有引力提供的，因此大小必然相等，由F=m2r可得，于是有m1m2r1r2O列式時須注意：萬有引力定律表達式中的r表示雙星間的距離，按題意應該是L，而向心力表達式中的r表示它們各自做圓周運動的半徑，在本題中為r1、r2，千萬不可混淆【例題】在天文學中，把兩顆相距較近的恒星叫雙星，已知兩恒星的質量分別為m和M，兩星之間的距離為L，兩恒星分別圍繞共同的圓心作勻速圓周運動，如圖所示，求恒星運動的半徑和周期。Mmo【例題】兩個星球組成雙星，它們在相互之間的萬有引力作用下，繞連線上某點做周期相同的勻速圓周運動。現測得兩星中

18、心距離為R，其運動周期為T，求兩星的總質量。【例題】在光滑桿上穿著兩個小球m1、m2，且m1=2m2，用細線把兩球連起來，當盤架勻速轉動時，兩小球剛好能與桿保持無相對滑動，如圖所示。此時兩小球到轉軸的距離r1與r2之比為（ ） r1 r2m1 m2A11B1 C21D12【例題】宇宙中存在一些離其他恒星較遠的、由質量相等的三顆星組成的三星系統，通常可忽略其他星體對它們的引力作用，已觀測到穩定的三星系統存在兩種基本的構成形式：一種是三顆星位于同一直線上，兩顆星圍繞中央星在同一半徑為R的圓軌道上運行；另一種形式是三顆星位于等邊三角形的三個頂點上，并沿外接于等邊三角形的圓形軌道運行，設每個星體的質量

19、均為m。（1）試求第一種形式下，星體運動的線速度和周期；（2）假設兩種形式下星體的運動周期相同，第二種形式下星體之間的距離應為多少？類型題： 人造衛星的一組問題 【例題】“神舟三號”順利發射升空后，在離地面340km的圓軌道上運行了108圈。運行中需要多次進行 “軌道維持”。所謂“軌道維持”就是通過控制飛船上發動機的點火時間和推力的大小方向，使飛船能保持在預定軌道上穩定運行。如果不進行軌道維持，由于飛船受軌道上稀薄空氣的摩擦阻力，軌道高度會逐漸降低，在這種情況下飛船的動能、重力勢能和機械能變化情況將會是A動能、重力勢能和機械能都逐漸減小B重力勢能逐漸減小，動能逐漸增大，機械能不變C重力勢能逐漸

20、增大，動能逐漸減小，機械能不變D重力勢能逐漸減小，動能逐漸增大，機械能逐漸減小【例題】 如圖所示，某次發射同步衛星時，先進入一個近地的圓軌道，然后在P點點火加速，進入橢圓形轉移軌道（該橢圓軌道的近地點為近地圓軌道上的P，遠地點為同步軌道上的Q），到達遠地點時再次自動點火加速，進入同步軌道。設衛星在近地圓軌道上運行的速率為v1，在P點短時間加速后的速率為v2，沿轉移軌道剛到達遠地點Q時的速率為v3，在Q點短時間加速后進入同步軌道后的速率為v4。試比較v1、v2、v3、v4的大小，并用小于號將它們排列起來_。Qv2v3Pv4v1【例題】發射地球同步衛星時，先將衛星發射至近地圓軌道1，然后經點火，使

21、其沿橢圓軌道2運行，最后再次點火，將衛星送入同步圓軌道3。軌道1、2相切于Q點。軌道2、3相切于P點（如圖），則當衛星分別在1，2，3，軌道上正常運行時，以下說法正確的是（）Q123PA衛星在軌道3上的速率大于在軌道上的速率B衛星在軌道3上的角速度小于在軌道上的角速度C衛星在軌道1上經過Q點時的加速度大于它在軌道2上經過Q點時的加速度D衛星在軌道2上經過P點時的加速度等于它在軌道3上經過P點時的加速度【例題】 歐洲航天局用阿里亞娜火箭發射地球同步衛星。該衛星發射前在赤道附近（北緯5°左右）南美洲的法屬圭亞那的庫盧基地某個發射場上等待發射時為1狀態，發射到近地軌道上做勻速圓周運動時為2

22、狀態，最后通過轉移、調試，定點在地球同步軌道上時為3狀態。將下列物理量按從小到大的順序用不等號排列：這三個狀態下衛星的線速度大小_；向心加速度大小_；周期大小_。類型題： 衛星的追及問題 【例題】A、B兩行星在同一平面內繞同一恒星做勻速圓周運動，運行方向相同，A的軌道半徑為r1，B的軌道半徑為r2，已知恒星質量為，恒星對行星的引力遠大于得星間的引力，兩行星的軌道半徑r1r2。若在某一時刻兩行星相距最近，試求：（1）再經過多少時間兩行星距離又最近？（2）再經過多少時間兩行星距離最遠？類型題： 數學知識的運用 物理是以數學為基礎的。合理運用數學知識，可以使問題簡化。甚至在有的問題中，數學知識起關鍵作用。1用比值法