1、數(shù)學(xué)選修 2 1 知識(shí)點(diǎn)總結(jié)第一章：命題與邏輯結(jié)構(gòu) 知識(shí)點(diǎn)：1、命題：用語(yǔ)言、符號(hào)或式子表達(dá)的，可以判斷真假的陳述句.真命題：判斷為真的語(yǔ)句 . 假命題：判斷為假的語(yǔ)句 .2、“若 p ，則 q ”形式的命題中的 p 稱(chēng)為命題的條件， q 稱(chēng)為命題的結(jié)論 .3、對(duì)于兩個(gè)命題， 如果一個(gè)命題的條件和結(jié)論分別是另一個(gè)命題的結(jié)論和條件，則這兩個(gè)命題稱(chēng)為互逆命題.其中一個(gè)命題稱(chēng)為原命題， 另一個(gè)稱(chēng)為原命題的逆命題。 若原命題為“若 p ，則q ”，它的逆命題為 “若q ，則 p ” .4、對(duì)于兩個(gè)命題， 如果一個(gè)命題的條件和結(jié)論恰好是另一個(gè)命題的條件的否定和結(jié)論的否定，則這兩個(gè)命 題稱(chēng)為互否命題 .

2、中一個(gè)命題稱(chēng)為原命題，另一個(gè)稱(chēng)為原命題的否命題 . 若原命題為“若 p ，則 q ”，則它則這兩個(gè)命p ，則的否命題為“若p ，則 q ”.5、對(duì)于兩個(gè)命題， 如果一個(gè)命題的條件和結(jié)論恰好是另一個(gè)命題的結(jié)論的否定和條件的否定， 題稱(chēng)為互為逆否命題。其中一個(gè)命題稱(chēng)為原命題，另一個(gè)稱(chēng)為原命題的逆否命題。若原命題為“若q ”，則它的否命題為“若 q ，則 p6、四種命題的真假性：原命題逆命題否命題逆否命題真真真真真假假真假真真假假假假假四種命題的真假性之間的關(guān)系：1 兩個(gè)命題互為逆否命題，它們有相同的真假性；2 兩個(gè)命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒(méi)有關(guān)系7、若 pq，則 p 是q的充分條件，

3、 q是 p的必要條件若 p q，則 p是 q的充要條件（充分必要條件） 8、用聯(lián)結(jié)詞“且”把命題 p 和命題 q 聯(lián)結(jié)起來(lái)，得到一個(gè)新命題，記作 p q 當(dāng) p 、 q都是真命題時(shí)， p q是真命題；當(dāng) p、 q兩個(gè)命題中有一個(gè)命題是假命題時(shí)，p q是假命題用聯(lián)結(jié)詞“或”把命題 p 和命題 q 聯(lián)結(jié)起來(lái)，得到一個(gè)新命題，記作 p q 當(dāng) p、 q兩個(gè)命題中有一個(gè)命題是真命題時(shí)，p q是真命題；當(dāng) p 、 q兩個(gè)命題都是假命題時(shí)，p q 是假命題對(duì)一個(gè)命題 p 全盤(pán)否定，得到一個(gè)新命題，記作 p 若 p 是真命題，則 p 必是假命題；若 p 是 假命題，則 p 必是真命題9、短語(yǔ)“對(duì)所有的” 、

4、“對(duì)任意一個(gè)”在邏輯中通常稱(chēng)為全稱(chēng)量詞，用“”表示含有全稱(chēng)量詞的命題稱(chēng)為全稱(chēng)命題全稱(chēng)命題“對(duì) 中任意一個(gè) x ，有 p x 成立”，記作“ x ， p x ”短語(yǔ)“存在一個(gè)” 、“至少有一個(gè)”在邏輯中通常稱(chēng)為存在量詞，用“ ”表示含有存在量詞的命題稱(chēng) 為特稱(chēng)命題特稱(chēng)命題“存在 中的一個(gè) x ，使 p x 成立”，記作“ x ， p xp x 。全稱(chēng)命題的否定是特稱(chēng)命題。 p x 。特稱(chēng)命題的否定是全稱(chēng)命題。10、全稱(chēng)命題 p ： x ， p x ，它的否定 p ： x 特稱(chēng)命題 p ： x ， p x ，它的否定 p ： x第二章：圓錐曲線(xiàn)知識(shí)點(diǎn)：1、求曲線(xiàn)的方程（點(diǎn)的軌跡方程）的步驟：建、設(shè)

5、、限、代、化建立 適當(dāng)?shù)?直角坐標(biāo)系；設(shè)動(dòng)點(diǎn) M x, y 及其他的點(diǎn)； 找出滿(mǎn)足限制條件的等式； 將點(diǎn)的坐標(biāo)代入等式； 化簡(jiǎn)方程，并驗(yàn)證（查漏除雜） 。2、平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn) F1， F 2的距離之 和等于常數(shù)（大于 FF ）的點(diǎn)的軌跡稱(chēng)為橢圓。這兩個(gè)定點(diǎn)稱(chēng) 為橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離稱(chēng)為橢圓的焦距。MF1 MF2 2a 2a 2c3、橢圓的幾何性質(zhì)：焦點(diǎn)的位置焦點(diǎn)在 x 軸上焦點(diǎn)在 y 軸上圖形標(biāo)準(zhǔn)方程22x22y22 1 a b 0a2 b 222y22 x22 1 a b 0a2 b 2第一定義到兩定點(diǎn) F1 、F2的距離之和等于常數(shù) 2a，即|MF1| |MF2| 2a（ 2a |F1

6、F2|）第二定義與一定點(diǎn)的距離和到一定直線(xiàn)的距離之比為常數(shù)e ，即 MF e （0 e 1）d范圍a x a 且 b y bb x b 且 a y a頂點(diǎn)1 a,0 、 2 a,01 0, b 、 2 0,b1 0, a 、 2 0, a1 b,0 、 2 b,0軸長(zhǎng)長(zhǎng)軸的長(zhǎng) 2a 短軸的長(zhǎng) 2b對(duì)稱(chēng)性關(guān)于 x 軸、 y 軸對(duì)稱(chēng)，關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)焦點(diǎn)F1 c,0 、 F2 c,0F1 0, c 、 F2 0,c焦距F1F2 2c (c2 a2 b2 )離心率cc2a2 b2b2e 2 2 1 2 (0 e 1) a a a a準(zhǔn)線(xiàn)方程2 a xc2 a yc焦半徑M (x0, y0)左焦半徑：

7、右焦半徑：MF1 a ex0MF2 a ex0下焦半徑： MF1上焦半徑： MF2a ey0 a ey0焦點(diǎn)三角形面積2S MF1F2 b tan (F1MF 2 )1 2 2通徑b2 過(guò)焦點(diǎn)且垂直于長(zhǎng)軸的弦叫通徑： HH b a(焦點(diǎn))弦長(zhǎng)公式A(x1,y1),B(x2,y2) ， AB1 k2 x1 x21 k2 (x1 x2)2 4x1x24、設(shè) 是橢圓上任一點(diǎn)，點(diǎn)到 F1對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線(xiàn)的距離為 d1，點(diǎn) 到 F2對(duì)應(yīng) 準(zhǔn)線(xiàn)的距離為 d2 ，則F1F2 e 。d1d25、平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn) F1 ， F2 的距離之 差的絕對(duì)值 等于常數(shù)(小于 F1F2 )的點(diǎn)的軌跡稱(chēng)為雙曲線(xiàn)。MF1 MF2 2

8、a 2a 2c這兩個(gè)定點(diǎn)稱(chēng)為雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離稱(chēng)為雙曲線(xiàn)的焦距6、雙曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)：焦點(diǎn)的位 置焦點(diǎn)在 x 軸上焦點(diǎn)在 y 軸上圖形標(biāo)準(zhǔn)方程22xy2 2 1 a 0, b 0ab22yx2 2 1 a 0, b 0ab第一定義到兩定點(diǎn) F1、F2的距離之差的絕對(duì)值等于常數(shù) 2a ，即|MF1 | |MF2 | 2a(0 2a |F1F2 |)第二定義與 一 定點(diǎn) 的距 離和到 一 定直 線(xiàn)的 距 離 之比 為常 數(shù) e ，即 MFe (e 1)d范圍x a或 x a ， y Ry a或 y a， x R頂點(diǎn)1 a,0 、 2 a,01 0, a 、 2 0,a軸長(zhǎng)實(shí)軸的長(zhǎng) 2a 虛軸

9、的長(zhǎng) 2b對(duì)稱(chēng)性關(guān)于 x 軸、 y 軸對(duì)稱(chēng)，關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)焦點(diǎn)F1 c,0 、 F2 c,0F1 0, c 、 F2 0,c焦距F1F2 2c (c2 a2 b2 )離心率ecc2aa2(e 1)a2 b2 1 ab22a2準(zhǔn)線(xiàn)方程x2 a cy2 a c漸近線(xiàn)方 程ybx ayax bM在右支M在上支左焦：MF1ex0 a左焦：MF1ey0 a焦半徑右焦：MF2ex0 a右焦：MF2ey0 aM ( x0, y0 )M在左支M在下支左焦：MF1ex0 a左焦：MF1ey0 a右焦：MF2ex0 a右焦：MF2ey0 a焦點(diǎn)三角 形面積S MF1F2bcot2(F1MF2 )通徑過(guò)焦點(diǎn)且垂直

10、于長(zhǎng)軸的弦叫通徑： HHb2 a7、實(shí)軸和虛軸等長(zhǎng)的雙曲線(xiàn)稱(chēng)為等軸雙曲線(xiàn)。8、設(shè)是雙曲線(xiàn)上任一點(diǎn)，點(diǎn)到 F1對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線(xiàn)的距離為 d1，點(diǎn) 到 F2對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線(xiàn)的距離為 d2，則F1F2 e 。d1d29、平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn) F 和一條定直線(xiàn) l 的距離相等的點(diǎn)的軌跡稱(chēng)為拋物線(xiàn) 定點(diǎn) F 稱(chēng)為拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)， 定直線(xiàn) l 稱(chēng)為拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)兩點(diǎn)的線(xiàn)段，稱(chēng)為拋物線(xiàn)的“通徑” ，即10、過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)作垂直于對(duì)稱(chēng)軸且交拋物線(xiàn)于 2p11、焦半徑公式：若點(diǎn)x0 , y0 在拋物線(xiàn) y2 px p0 上，焦點(diǎn)為 F ，則Fx0p2 ；、若點(diǎn)x0, y0在拋物線(xiàn)2px上，焦點(diǎn)為F，則Fx0p2；若點(diǎn)x0, y0在拋物

11、線(xiàn)2py上，焦點(diǎn)為F，則Fy0p2；若點(diǎn)x0, y0在拋物線(xiàn)2py上，焦點(diǎn)為F，則Fy0p212、拋物線(xiàn)的幾何性質(zhì)：圖形標(biāo)準(zhǔn)方程2y 2 pxp02y 2 pxp02x 2 pyp02x 2 pyp0定義與一定點(diǎn) F 和一條定直線(xiàn) l的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線(xiàn)（定點(diǎn)F 不在定直線(xiàn) l上）頂點(diǎn)0,0離心率e1對(duì)稱(chēng)軸x軸y軸范圍x0x0y0y0焦點(diǎn)F p ,02F p ,02F 0, p2F 0, p2準(zhǔn)線(xiàn)方程px2px2py2yp2焦半徑M (x0,y0)MF x0 p2MFx0 p2MF y0 p2MFy0 p2通徑過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)且垂直于對(duì)稱(chēng)軸的弦稱(chēng)為通徑： HH 2p焦點(diǎn)弦長(zhǎng) 公式AB

12、x1 x2 p參數(shù) p 的幾何 意義參數(shù) p 表示焦點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離， p 越大，開(kāi)口越闊關(guān)于拋物線(xiàn)焦點(diǎn)弦的幾個(gè)結(jié)論：設(shè) AB 為過(guò)拋物線(xiàn) y 2 2 px ( p 0)焦點(diǎn)的弦，A(x1,y1)、B(x2,y2)，直線(xiàn) AB 的2傾斜角為 ，則 x1x2 p ,y1y242AB2p ;p;2; sin 以 AB 為直徑的圓與準(zhǔn)線(xiàn)相切； 焦點(diǎn) F 對(duì) A、B 在準(zhǔn)線(xiàn)上射影的張角為；2112|FA| | FB | P第三章：空間向量知識(shí)點(diǎn)：1、空間向量的概念：1）在空間，具有大小和方向的量稱(chēng)為空間向量2）向量可用一條有向線(xiàn)段來(lái)表示有向線(xiàn)段的長(zhǎng)度表示向量的大小，箭頭所指的方向表示向量的方向3）向量

13、uuur 的大小稱(chēng)為向量的模（或長(zhǎng)度），記作uuur uuur4）模（或長(zhǎng)度）為 0 的向量稱(chēng)為零向量；模為 1的向量稱(chēng)為單位向量5）與向量 ar 長(zhǎng)度相等且方向相反的向量稱(chēng)為 ar 的相反向量，記作 ar 6）方向相同且模相等的向量稱(chēng)為相等向量2、空間向量的加法和減法：（1）求兩個(gè)向量和的運(yùn)算稱(chēng)為向量的加法，它遵循平行四邊形法則即：在空間以同一點(diǎn) 為起點(diǎn)的兩個(gè)已知向量 ar 、 b 為鄰邊作平行四邊形C，則以 起點(diǎn)的對(duì)角線(xiàn) uuCur 就是 ar 與 b 的和，這種求向量和的方法，稱(chēng)為向量加法的平行四邊形法則（2）求兩個(gè)向量差的運(yùn)算稱(chēng)為向量的減法， 它遵循三角形法則 即：在空間任取一點(diǎn) uu

14、ur r r則ar b r3、實(shí)數(shù) 與空間向量 ar 的乘積 ar 是一個(gè)向量，稱(chēng)為向量的數(shù)乘運(yùn)算當(dāng)0 時(shí)，rar 與 ar 方向相同；當(dāng)0 時(shí)， ar 與 ar 方向相反；當(dāng)0 時(shí)， ar 為零向量，記為 r0 ar 的長(zhǎng)度是 ar 的長(zhǎng)度的倍4、設(shè) ， 為實(shí)數(shù)， ar ，b 是空間任意兩個(gè)向量，則數(shù)乘運(yùn)算滿(mǎn)足分配律及結(jié)合律分配律：ar b ；結(jié)合律：5、如果表示空間的有向線(xiàn)段所在的直線(xiàn)互相平行或重合，則這些向量稱(chēng)為共線(xiàn)向量或平行向量，并規(guī)定零ar /b 的充要條件是存在實(shí)數(shù)，使向量與任何向量都共線(xiàn)6、向量共線(xiàn)的充要條件：對(duì)于空間任意兩個(gè)向量7、平行于同一個(gè)平面的向量稱(chēng)為共面向量uuur u

15、uur uuur8、向量共面定理：空間一點(diǎn) 位于平面 C內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對(duì)x，y ，使x y C；uuur uuurxC 共面， 則uuur uuur uuur uuurx y z C x y z 1 rr9、已知兩個(gè)非零向量 a 和b ，在空間任取一點(diǎn)uuur r uuur r，作 ar ， b，則或?qū)臻g任一定點(diǎn)有 uuury C ；或若 四點(diǎn)夾角，記作 ar ,br 兩個(gè)向量夾角的取值范圍是：ar,br 0,稱(chēng)為向量 ar ， b 的r10、對(duì)于兩個(gè)非零向量 a 和 b ，若，則向量 ar ，b 互相垂直，記作 ar b 11、 已 知 兩 個(gè) 非 零 向 量 ar 和 b則

16、arb cos a ,b稱(chēng) 為 ar ， b 的 數(shù) 量 積 ， 記 作 ar b 即ar br cos ar ,br 零向量與任何向量的數(shù)量積為 0 rr12、ar b等于ar的長(zhǎng)度 ar 與b在ar的方向上的投影 br cos ar,br 的乘積 r13 若 ar ， b 為非零向量， er 為單位向量，則有1 er ar ar er ar cos ar,er ； 2 ar brar br 0 ；ar b ar與 b同向ar b ar與 b反向rrr2r，a aaacos a ,b14 量數(shù)乘積的運(yùn)算律：r r r r r r2r r r rr r r r r r r315、空間向量基本定

17、理：若三個(gè)向量ar ， b ， cr 不共面，則對(duì)空間任一向量pr ，存在實(shí)數(shù)組 x, y, z ，使得 pr xar yb zrc 16、三個(gè)向量 ar ，集合可看作是由向量cr 不共面，則所有空間向量組成的集合是rp rpxa yb zc, x, y, z R這個(gè)cr 生成的，稱(chēng)為空間的一個(gè)基底，cr 稱(chēng)為基向量空間任意三個(gè)不共面的向量都可以構(gòu)成空間的一個(gè)基底u(yù)r uur ur ur ur ur 17、設(shè) e1 ， e2 ， e3為有公共起點(diǎn) 的三個(gè)兩兩垂直的單位向量(稱(chēng)它們?yōu)閱挝徽换? ，以e1 ， e2 ，e3 ur uur ur的公共起點(diǎn) 為原點(diǎn)，分別以 e1 ， e2 ， e3

18、的方向?yàn)?x軸， y 軸， z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系r uuur rxyz則對(duì)于空間任意一個(gè)向量 p ，一定可以把它平移， 使它的起點(diǎn)與原點(diǎn) 重合，得到向量pr 存rur ururrur uur ur在有序?qū)崝?shù)組 x, y, z，使得 prxe1ye2ze3 把 x ， y ， z 稱(chēng)作向量p 在單位正交基底e1 ， e2 ， e3在空間直角坐標(biāo)系 xyz中的坐標(biāo) x, y,z下的坐標(biāo)，記作 rp x, y,z 此時(shí)，向量 rp 的坐標(biāo)是點(diǎn)18、設(shè) ar x1, y1, z1則 z y x2 z z12 y1 x2 x1 rb rarr）2z z y x3)r ax1,y1, z14)r

19、rabx1x2y1y2z1z25)若 ar 、rb 為非零向量，則 arar br0 x1x2 y1y2z1z2 0rrrr6)若b0，則 ar / br ax1x2, y1 y2, z1z28）cos a, b7) arar arrbr rarx2,y2,z2 ，則 d22y1 z19) x1, y1, z1 ，uuur2 x1y22y12 z2 z119、在空間中，取一定點(diǎn)作為基點(diǎn)，那么空間中任意一點(diǎn)的位置可以用向量uuru uuru來(lái)表示向量 稱(chēng)為點(diǎn) 的位置向量20、空間中任意一條直線(xiàn)l 的位置可以由l 上一個(gè)定點(diǎn)量 a 表示直線(xiàn) l 的方向向量，則對(duì)于直線(xiàn)l 上的任意一點(diǎn)以及一個(gè)定方向確定點(diǎn)uuur r，有 ta ，這樣點(diǎn)是直線(xiàn) l 上一點(diǎn)，向和向量 a 不僅可以確定直線(xiàn) l 的位置，還可以具體表示出直線(xiàn) l 上的任意一點(diǎn)21、空間中平面的位置可以由向向量分別為內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)來(lái)確定設(shè)這兩條相交直線(xiàn)相交于點(diǎn) ，它們的方 上任意一點(diǎn)，存在有序?qū)崝?shù)對(duì) x,y ，使得 uuur