1、,word,完美整理版力.2量子力學的矩陣表示一、態的表示二、算符的表示三、量子力學公式的矩陣表示用力學量完全集風亂的正交、歸一和完備的 本征態矢量的集合|a,b, )作基底的表象，稱為 及昆表象。為書寫簡便，用F代表R民,用"代表 a,b,),用n代表本征值譜a,b, .把A,自，表象 簡稱為F?表象。以分立譜為例本征方程：f? n n n,word,完美整理版基底：n，；n 1,2,3, )正交歸一化：(m n) m,n封閉關系：n：n In、態的表示態I )在盧表象上的表示為一個列矩陣Ci 01)生 C2(2| )矩陣元Cn (n| )代表態| )在基底 帖上的投影，或稱 為展

2、開系數。它可在坐標表象上計算Cn n n x)dx(x*, n(X) (X)dx態| ，和| )的內積可以通過列矩陣相乘得到(1空其中,專業資料參考分享,word,完美整理版)，生2|).這是因為(|)(| InXn )n(IM )n*n / (n j n01 )01也)*,(21 )中1則是指若中生 0 ,則稱態型和中正交。而中 態型是歸一化的。基底mj在自身表象上的表示為,專業資料參考分享,word,完美整理版m 1 第m行0基底的正交歸一化寫成中苗中nmn .m n mn態向基底的展開寫成10, Cn n C1 0 C2 1 n展開系數Cn n對于連續譜情況本征方程：F?| ) | )基

3、底： )正交歸格化：(|)()封閉關系： | )d | I態| )在臼表象上的表示矩陣成為本征值的函數,專業資料參考分享,word,完美整理版()1)態I )和I)的內積為(| *( ) ( )d因為>d on*()()d歸一化條件為( | )*( ) ( )d 1.而基底 ，在自身表象上表示為(1)().二、算符的表示1 .算符用矩陣表示算符是通過對態的作用定義的。因為態用列矩陣 表示，所以算符應該用矩陣表示。,專業資料參考分享,word,完美整理版1121I?I?n122212矩陣L是算符I?在F?表象上的表示12112122矩陣元為?|n）可以在坐標表象上計算。下面會看到，在坐標表

4、象上 矩陣元Lmn的計算公式為Lmnm（X）L（X，1 ） n（X）dX式中 n（x） （x|n）.,專業資料參考分享,word,完美整理版【例】用包括Hamilton量在內的力學量完全集的共同本征態的集合作基底的表象，稱為能量表象。在一維諧振子的能量表象上，計算坐標 X ,動量？和H?本身的 表示矩陣。L?212 2H?m 2x22m 2利用矩陣元公式(m x n(m ? nm, n得坐標x ,動量H?n n 12 nJm / 1 in 1卜v - 1-2- m，n 1 V 2ijn7 i ' 2 m，n 1 V20,1, 2,?和H?的表示矩陣,專業資料參考分享,word,完美整理

5、版01x201 1 20、2 202 2001 201 202 202 201 20003 20H005 22 .在自身表象上力學量算符的表示Fmn1m F? n) n(m nn m,n,專業資料參考分享,word,完美整理版在自身表象上力學量算符的表示是一個對角矩 陣，而對角元素就是這個力學量的本征值。因此，求解力學量的本征值問題，可以通過選擇 合適的基底，使這一力學量算符的表示矩陣成為對角 矩陣。對角元素就是待求的本征值，而所用的基底就 是待求的本征態。3 . Hermite共轉矩陣和Hermite矩陣(1) Hermite共轉矩陣矩陣A的Hermite共轉矩陣A定義為：將A轉置且矩陣元取

6、復共轉(A )(A)* .mnnm例如aiia21a12a22*a11a21*a12a22若算符A的表示矩陣為A ,則Hermite共轉算符A的表示矩陣必為A的Hermite共轉矩陣A .證明：(A)mn 1m A n,專業資料參考分享,word,完美整理版，-、 ，-、*（A）mn（A）nm(n| 4|m) (m A n)即舟A,及 A , (2) Hermite 矩陣若A A ,則稱A為Hermite矩陣 若A為Hermite矩陣，則Amn（A）mn（A）；mAnn（A）；n （對角元）Hermite矩陣的非對角元是關于主對角線復共較反 射對稱的，對角元為實數。例如，2 2的Hermite

7、矩陣一定取下面形式* a c Ac b其中a和b為實數。Hermite算符的表示矩陣必為Hermite矩陣4.算符在坐標和動量表象上的表示（1）在坐標表象上的表示,專業資料參考分享,word,完美整理版x 父x x (x x )ix |?x|x1i (x x ) x(x F (x,8x)x ) F(x , i -) (x例如Hamilton量表示為；x H? x ；222m x 2V(x)注意，式中的函數代表“矩陣”是對角的, 運算中起作用。上述動量的表示可作如下理解(x ?x x (x p)dp(p ?x p)dp( pp(x )dp p (p| p)dp *p(x )1 pp(x )dp

8、p (p p)dp p(x )pp(x )dp p p(x )p1 -(x x )pdp pe2(x x )只在積分X /,專業資料參考分享,word,完美整理版將上式中的被積函數pe±(X X)P寫成一(X X )p-(x X )ppei eX則原式為i1(X X )pidp ex 2i (x x ) X即X ?x X為什么被積函數不寫成-(x X ) p-(x X )ppei ex的形式呢？這完全是為了符合基本假定 及i 一. XX為導出算符F (x, ?x)在坐標表象上的表示,首先把F(x,0x)按x和呢作展開。如果二元函數F(x,y)在(0,0)附近可作展開,專業資料參考分享

9、,word,完美整理版1F(x,y) F (0,0) 1 x y F (0,0)1! x y21-x y F (0,0)2! x y則算符F(x,?x)可展開為1F(x,?x) F (0,0) 1 x一 似一F (0,0)1! x y21-x ?x F (0,0)2! x y然后計算矩陣元，即可得到(x F (x, ?x) x F(x , i -) (x x ).x【例】證明坐標表象上矩陣元Lmn (ml?|n)的計算公式為Lmnm(x)L(x, i -)n(x)dxx其中 n(x) (x|n).證明:,專業資料參考分享,word,完美整理版Lmn(m|x)dx(x|l?|x )dx(x |n

10、)m(x)dxL(X, i -) (x X)dx n(X)m(x) L(x, i 1) n(x)dx x【例】證明(x 同)i <x I ) i (X)xxp 忸x|x) i x |x) i *(x)xx證明：(x |?x| )(x |?x|xdx (xi (x -x )dx xxi (x I ) x要證明的第二式是第一式的復數共輾。(2)動量表象,專業資料參考分享,word,完美整理版i (P P ) Pjp?x|p) P (P P )(p |F(?, ?x)| p F (i ,p) (PP例如在動量表象上Hamilton量表示為2pmV(i4)(p p).【例】一維諧振子能量本征方程

11、的動量表象形式為2P2m1 -m2(P) E (p).證明：H?(p|H?| p)dp(p I ) (p|e| ) e(p| )其中(p H? p；1m2m 2(P P)代入后積分，即證,專業資料參考分享,word,完美整理版【例】設質量為m的粒子處于勢場V（x） Kx中，K為非零常數。求與能量E對應的本征波函數。解.顯然無束縛態解。本征方程坐標表象形式為二 jdi2m dx2KxE(x)E e(x)而動量表象形式為22 K i2mddpE(P)E e(p)比坐標表象形式容易求解。d e(p) i dp K2 p2mE（P）E（P）exp 2 K K通過Fourie變換可得本征態的坐標表象表示

12、E(x) T，、 I E (p)exp px dp.【思考】證明i (p )p,專業資料參考分享,word,完美整理版(xp) i ( P)p三、量子力學公式的矩陣表示下面列出量子力學重要公式在式。1 .薛定謂方程的矩陣形式i *(P)Pf?表象上的矩陣形i型(t)H型(t)t其中證明:Ci(t)(t) C2(t),Cn(t) nH11H 12H H 21 H 22(t)，Hmn (mH>n)(t» H? (t»(t)tCm(t)HmnCn(t)Cm。)m(t)>，Hmn (m同"(t>,word,完美整理版2 .力學量平均值公式的矩陣形式*L

13、W LwC1 ,C2,L11LL21 L1222Cnl?n證明：L:m)(m?nXn)*C l Cmmn n m n【例】在自身表象上，寫出力學量上的平均值。解.,專業資料參考分享2Cn,word,完美整理版3 .本征方程的矩陣形式LlLil L12L21L22CiC2Cil C2L111L21L12L22 lC1C20有非零解的條件稱為“久期方程”L111L21L12L221這是一個N次曷代數方程，N為表象空間的維數。求解久期方程可得N個實根，構成本征值譜l i； i 1,2, ,N把l i代回本征方程可得相應本征態C1c2，i 1,2，N,專業資料參考分享,word,完美整理版若有重根，則出現簡并【例】已知在正交歸一化基底 的三維空間中，體系能量算符2H 00求能量的本征值和本征態。u, Ju2),u