1、第八講 多元函數微分學的幾何應用多元函數微分學的幾何應用一、一元向量值函數及其導數二、空間曲線的切線與法平面三、曲面的切平面與法線多元函數微分學的幾何應用一、一元向量值函數及其導數二、空間曲線的切線與法平面三、曲面的切平面與法線一、一元向量值函數及其導數（一）向量值函數的概念（二）向量值函數的極限和連續（三）向量值函數的導數（四）舉例一、一元向量值函數及其導數（一）向量值函數的概念（二）向量值函數的極限和連續（三）向量值函數的導數（四）舉例引入空間曲線的參數方程),(tx ),(ty ),(tz , tzkyjxir ktjtittf)()()()( )(tfr 映射3, :Rf 一元向量值函

2、數定義設數集,RD 則稱映射nRDf:為一元向量值函數，通常記為：因變量自變量定義域Dttfr ),(l注(1) 一元向量值函數是一元函數的推廣一元函數一元向量值函數自變量因變量實數值實數值實數值n維向量(2) 這里只研究n=3的情形表示法在3R中, 若向量值函數Dttf ),(的三個分量函數依次為,),(),(),(321Dttftftf 則向量值函數f可表示為Dtktfjtfitftf ,)()()()(321或Dttftftftf ),(),(),()(321圖形xyzOMr設,OMr 當t 改變時,終點M的軌跡(記作曲線)稱為向量值函數Dttfr ),(的終端曲線，曲線也稱為向量值函數

3、Dttfr ),(的圖形一、一元向量值函數及其導數（一）向量值函數的概念（二）向量值函數的極限和連續（三）向量值函數的導數（四）舉例一、一元向量值函數及其導數（一）向量值函數的概念（二）向量值函數的極限和連續（三）向量值函數的導數（四）舉例定義設向量值函數)(tf在點0t的某一去心鄰域內有定義, 如果存在一個常向量,0r對于任意給定的正數, 總存在正數, 使得當t 滿足 |00tt時,對應的函數值)(tf都滿足:,|)(|0 rtf那么,常向量0r就叫做向量值函數)(tf當0tt 時的極限，記作,)(lim00rtftt 或00,)(ttrtfl注向量值函數)(tf當0tt 時的極限存在的充要

4、條件:)(tf的三個分量函數)(),(),(321tftftf當0tt 時的極限存在,且有: )(lim),(lim),(lim)(lim3210000tftftftftttttttt定義l注 向量值函數)(tf在0t連續的充要條件:設向量值函數)(tf在點0t的某一鄰域內有定義, 若)()(lim00tftftt 則稱向量值函數)(tf在0t連續.)(tf的三個分量函數)(),(),(321tftftf都在0t連續.定義設向量值函數.),(Dttf 若,1DD )(tf在1D中的每一點都連續，則稱)(tf在1D上連續,并稱)(tf1D為上的連續函數.一、一元向量值函數及其導數（一）向量值函數

5、的概念（二）向量值函數的極限和連續（三）向量值函數的導數（四）舉例一、一元向量值函數及其導數（一）向量值函數的概念（二）向量值函數的極限和連續（三）向量值函數的導數（四）舉例定義.|dd0tttr 設向量值函數)(tf在點0t的某一鄰域內有定義, 如果ttfttftrtt )()(limlim0000存在,那么就稱這個極限向量為向量值函數)(tfr 在0t處的導數或導向量,記作)(0tf 或l注)(tf的三個分量函數)(),(),(321tftftf都在0t可導.0t向量值函數)(tf在可導的充要條件:當)(tf在0t可導時,.)()()()(321ktfjtfitftf )(tf1D),(0

6、tf 設向量值函數.),(Dttf 若,1DD )(tf在1D中的每一點都存在導向量在上可導.那么就稱運算法則(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)0dd Ct)()(ddtuctcut )()()()(ddtvtutvtut )()()()()()(ddtuttuttutt )()()()()()(ddtvtutvtutvtut )()()(ddtuttut )()()()()()(ddtvtutvtutvtut 設)(),(),(ttvtu 可導,C是常向量,c是任一常數，則幾何意義xyzOr割向量0 t向量向量值函數Dttfr ),(的終端曲線,為空間曲線割向量切向量與t 的增長方向

7、一致0 t與t 的增長方向相反與t 的增長方向一致與t 的增長方向一致向量值函數Dttfr ),(的終端曲線在點M處的一個切向量,其指向與t 的增長方向一致.MNr tr trt 0lim: )(0tf ),(0tfOM )(0ttfON 指向, 0)(0 tf設一、一元向量值函數及其導數（一）向量值函數的概念（二）向量值函數的極限和連續（三）向量值函數的導數（四）舉例一、一元向量值函數及其導數（一）向量值函數的概念（二）向量值函數的極限和連續（三）向量值函數的導數（四）舉例u例1).(lim4tft 設,)(sin)(cos)(tkjtittf 求u例2u例3(1)滑翔機在任意時刻t 的速度

8、向量和加速度向量;(2)滑翔機在任意時刻t 的速率;(3)滑翔機的加速度與速度正交的時刻.設空間曲線的向量方程為,),62 , 34 , 1()(22Rttttttfr 求曲線在與20 t相應的點處的單位切向量.一個人在懸掛式滑翔機上由于快速上升氣流而位置向量為ktjtittfr2)sin3()cos3()( 的路徑螺旋式向上. 求多元函數微分學的幾何應用一、一元向量值函數及其導數二、空間曲線的切線與法平面三、曲面的切平面與法線多元函數微分學的幾何應用一、一元向量值函數及其導數二、空間曲線的切線與法平面三、曲面的切平面與法線過點 M 與切線垂直的平面空間曲線在點 M 處的割線的極限位置空間曲線

9、在點 M 處的切線空間曲線在點 M 處的法平面xyzOM二、空間曲線的切線與法平面（一）參數式方程的情形（二）一般式方程的情形二、空間曲線的切線與法平面（一）參數式方程的情形（二）一般式方程的情形)(, )(, )(:tztytx切線方程000zzyyxx)(0t)(0t)(0tM(x0,y0,z0)對應的參數為t0法平面方程)(00 xxt)( )(00yyt0)(00zzt)(0tf T)(),(),(000ttt 切向量l注不全為0)(),(),(000ttt zyxo),0(20kRMu例4切線方程000zzyyxx)(0t)(0t)(0t法平面方程)(00 xxt)( )(00yyt

10、0)(00zzt求曲線 32,tztytx的切線方程和法平面方程.在點(1,1,1)處u例5求螺旋線 kzRyRx,sin,cos2對應點處的切線方程和在法平面方程.特例)(, )(:xzxy視為參數方程 ),(, )(,xzxyxx 參數為x， 切線方程000zzyyxx1)(0 x)(0 x法平面方程0)()()(00000zzxyyxxxT)(),(, 1 (00 xx 二、空間曲線的切線與法平面（一）參數式方程的情形（二）一般式方程的情形二、空間曲線的切線與法平面（一）參數式方程的情形（二）一般式方程的情形光滑曲線0),(0),(:zyxGzyxFF,G有對各個變量的連續偏導數0),(

11、),(),(000 zyxzyGF在),(0000zyxM的某鄰域內)(xy )(xz 0)(),(, xxxF 0)(),(, xxxG 兩邊對x求導0dddd xzzFxyyFxF0dddd xzzGxyyGxGT)(),(, 1 (00 xx 000),(),(,),(),(,),(),(MMMyxGFxzGFzyGF切線方程法平面方程 000zzyyxxMzyGF),(),(MxzGF),(),(MyxGF),(),(MzyGF),(),()(0 xxMyxGF),(),(MxzGF),(),()(0yy0)(0 zzT 000),(),(,),(),(,),(),(MMMyxGFxz

12、GFzyGFu例6 求曲線處的切線及法平面方程. 0, 6222 zyxzyx在點) 1 , 2, 1 ( 處多元函數微分學的幾何應用一、一元向量值函數及其導數二、空間曲線的切線與法平面三、曲面的切平面與法線多元函數微分學的幾何應用一、一元向量值函數及其導數二、空間曲線的切線與法平面三、曲面的切平面與法線三、曲面的切平面與法線（一）隱式方程情形（二）顯式方程情形三、曲面的切平面與法線（一）隱式方程情形（二）顯式方程情形, 0),(: zyxF設有光滑曲面MT 上過點 M 的任何曲線在該點的切線都在同一平面上.此平面稱為 在該點的切平面.有關概念過該點垂直于切平面的直線稱為 在該點的法線.推導在

13、上取一點M(x0,y0,z0)，對應于參數t=t0考慮內過M的任意曲線, )(, )(, )(:tztytx在上0) )(, )(, )(tttF兩邊在t=t0處求導得：)(0t0),(000zyxFx),(000zyxFy),(000zyxFz)(0t)(0t令),(, ),(, ),(000000000zyxFzyxFzyxFnzyx ).(, )(, )(000tttT 0)( ),()( ),()( ),(000000000000zzzyxFyyzyxFxxzyxFzyx曲面 在點 M 的法向量曲面的法線方程 000zzyyxx曲面曲面的切平面方程的切平面方程),(000zyxFx),

14、(000zyxFy),(000zyxFzMTn),(, ),(, ),(000000000zyxFzyxFzyxFnzyx由于曲線 是任意的, 這些切線都在以為法向量的平面上,nnT 切向量三、曲面的切平面與法線（一）隱式方程情形（二）顯式方程情形三、曲面的切平面與法線（一）隱式方程情形（二）顯式方程情形)( ),(000 xxyxfx),(:yxfz 1),(),(0000000zzyxfyyyxfxxyx)( ),(000yyyxfy0zz曲面的切平面方程曲面的法線方程令,),(),(zyxfzyxF 1, zyyxxFfFfF法向量) 1,( yxffn)( ),(000 xxyxfx)( ),(000yy