1、深圳大學考試答題紙（以論文、報告等形式考核專用）二 O O二 O O 二學年度第二學期課程名稱主講教師評分姓名專業年級 教育碩士（數學）20102010 級題目:數學與猜想讀書報告教師評語:數學與猜想讀書報告最近我閱讀了波利亞著數學與猜想第一卷數學中的歸納與類比 。這是 一本談古論今，內容豐富多彩，啟發讀者去提煉問題，研究問題，討論問題，直 至檢驗問題的書。 本書通過許多 古代著名的猜想， 討論了論證方法， 讀起來感 到妙趣橫生，引人入勝，能使人看到數學中真正的內在美。在數學與猜想這本書里， 有三章討論了歸納法的相關內容。 第一章探討了歸 納方法， 歸納法常常從觀察開始， 一個生物學家會觀察鳥

2、類的生活， 一個晶體學 家會觀察晶體的形狀，一個對數論感興趣的數學家會觀察整數1 1,2 2, 3 3, 4 4, 5 5的性質。我們應該考察所收集到的觀察結果， 對它們加以比較和綜合， 在證明一 個數學定理之前, 先得猜測這個定理的內容, 在完全作出了詳細證明之前, 你先 得推測證明的思路, 你先得把觀察到的結果加以綜合然后加以類比, 你得一次又 一次地進行嘗試, 數學家的創造性工作成果是論證推理即證明, 但是這個證明是 通過合情推理,通過猜想而發現的。 考察一個猜想的結論并根據這種考察的結果 來判斷猜想是否可靠, 是一種典型的歸納方法, 歸納法能導致錯誤這個道理太明 顯了,但是值得注意的是

3、, 盡管出現錯誤的機會占據絕大多數, 歸納法有時卻能 導出真理,我們應當從歸納失敗的明顯例子開始研究。 歸納法能說明所得的結果可靠, 但決沒有證明它一定可靠,可以看到用歸納法考 察的結果,在數學的其它方法注意特殊情形的觀察, 能夠導致一般性的數學結果, 也可以啟發一般性的證明方法。第四章探討了數論中的歸納方法, 討論了邊長為整數的直角三角形 （在什么 情況下一個奇素數才是邊長為整數的直角三角形的斜邊長？在什么條件下不 是？兩種情形有何區別 ？最后得出猜想 4N+14N+1 形式的素數可以是邊長為整數的 直角三角形的斜邊長, 4N+34N+3 的形式不是）。在數論的歷史中它起過重要作用, 它 使

4、人引出許多別的問題。 例如,哪些數（不管本身是不是平方數） 能表成平方和？ 不能表成平方和的數有什么性質？是否還能表成三個平方數之和？還有, 不能表 成三個平方和的數又有哪些數？要用多少個平方數來表示所有的自然數？最后 得出了四方定理即方程n=xn=x2+y+y2+z+z2+w+w2最后討論了關于四奇數平方和問題,對于 任何自然數,或者本身是平方數,或者總是兩個,三個或四個平方數之和,關于 四奇數平方和問題。第七章通過對數學歸納法的了解我知道了數學歸納與通常的歸納有什么關 系？在檢驗一個猜想時, 我們研究猜想適合的不同情形, 希望知道猜想所主張的 關系是否在任何情形下都是穩定的, 也就是說不依

5、賴于各種不同的情形, 即不受 各種情形的干擾, 自然而然地我們注意到從這種情形到另一種情形的飛躍。 物理 學家牛頓具體化了一個從拋射體運動到行星動的連續飛躍, 他著手去證明萬有引 力定律,而先考慮應該同樣適用萬有引力定律的兩種情形之間的飛躍。 在證明某 個初等定定理時要用數學歸納法，考慮從 n n 到 n+1n+1 的飛躍，也就是兩種情形之間 的飛躍。同時數學歸納法是一種論證的方法, 通常用在證明數學上的猜想, 而這 種猜想是我們用某種歸納方法所獲得的。本書第二章講的是一般化、特殊化、類比。在數學解題中強調“類比”并 非波利嚴的奇思異想。 “類比”原本是人類日常的思維方式。人類在日常生活中 大

6、量地以“類比”（廣義上的 “類比”包括“比喻”,尤其是“隱喻”、“比擬”, 甚至包括“象征”）的方式說話。 “類比滲透于我們所有的思想、我們每天講的 話和我們作出的瑣碎的結論乃至藝術的表達方式和最高的科學成就。 類比在各種 不同的層次上得到應用。”只是當科學研究或哲學研究過于迷戀于邏輯思維、“論 證推理”（波利亞將推理分為“論證推理”與“合情推理”）時，“類比”才從 哲學以及數學等科學研究領域中淡出。結果，“類比”只是保留在“日常語言” 以及“詩化語言”中。“當詩人把少女比作花朵時，他們感到其某些相似性”。 波利亞苦心孤詣地在數學解題中倡導“類比”思維，可以說是在開發出一條“詩 化數學語言”或

7、“日常數學語言”的道路。 這樣看時， 他在數學解題活動中倡導 “類比”與其說是一種 “新思維”，不如說是對人類日常思維的一種恢復和返回。 “類比”也可以理解為“新舊知識”之間的聯系，此時“類比”相當于奧蘇貝爾（Ausubel,Ausubel, D.D.）的“一言以蔽之”，即學習者通過尋找自己已經知道了什么來解 決新的問題。不過，波利亞的“類比”除了探明自己已經知道了什么之外，它更 重視已知中的某個“類型”知識。這種“類型”化的知識具有“結構”的功能， 它暗示學習者需要將自己的知識保持某種“結構”。而且，這里的“結構”不只 是某種總體上的“知識結構” （可稱之為“總體結構”），它更是系列的“類型

8、” 化的小型的知識結構 （可稱之為“類型結構” ）。人們在談論“新舊知識的關系” 時，習慣于將學習者的“原有知識”作為某種總體性的知識結構，學習就是“新 知識”與這種“總體結構”以“同化”或“順應”的方式發生聯系。這樣解釋并 不完全錯誤，但實際上學習者在學習“新知識”時，“新知識”并不直接與“總 體結構”發生聯系， 更多的是直接與原有的知識體系中的 “類型結構” 發生聯系， 并與原有的“類型結構”之間發生“同化”或“順應”（盡管也間接地與“總體 結構”發生聯系）。如果說以前人們對“學習”的定義是“新知識與原有知識之 間的同化或者順應”，那么波利亞所強調的“類比”重新將“學習”定義為“新 知識與

9、原有的某類知識之間發生同化或順應” 。在享受到類比方法解決大大小小 問題時的那種給予我們幫助的樂趣。本書第三章系統的介紹了立體幾何中的歸納推理（典型例子通過猜想多面 體面、頂點和棱的數來歸納證明歐拉公式 F+V=E+2F+V=E+2 和第一章更多種類的合情 推理。這兩種推理之間之間的差異相當大而且是多方面的。 無疑， 論證推理是可 靠的、無可置辯的和終決的，合情推理是冒風險的、有爭議的和暫時的。論證推 理在科學中的滲透深度恰好和數學在科學中的滲透深度一樣， 但是論證推理本身 （如數學本身那樣） 并不能產生關于我們周圍世界本質上的新知識。 我們所學到 的關于世界的任何新東西都包含著合情推理， 它

10、是我們日常事務中所關心的僅有 的一種推理。論證推理有被邏輯 （形式邏輯或論證邏輯） 所制定和闡明的嚴格標 準，而邏輯則是論證推理的一種理論。 合情推理的標準是不固定的， 并且這種推 理在清晰程度上不能與論證邏輯相比或能博得相似的公認。數學被人看作是一門論證科學。 然而這僅僅是它的一個方面。 以最后確定的 形式出現的定型的數學， 好像是僅合證明的純論證性的材料， 然而，數學的創造 過程是與任何其它知識的創造過程一樣的。 在證明一個數學定理之前， 你先得猜 測這個定理的內容， 在你完全作出詳細證明之前， 你先得推測證明的思路。 你先 得把觀察到的結果加以綜合然后加以類比， 你得一次又一次地進行嘗試

11、。 數學家 的創造性工作成果是論證推理， 即證明；但是這個證明是通過合情推理， 通過猜 想而發現的；只要數學的學習過程稍能反映出數學的發明過程的話， 那么就應當 讓猜測、合情推理占有適當的位置。兩種推理：論證推理和合情推理，在我看來它們之間并不矛盾，相反地， 它們是互相補充的。 在嚴格的推理之中， 首要的事情是區別證明與推測， 區別正 確的論證與不正確的嘗試。 而在合情推理之中， 首要的事情是區別一種推測與另 一種推測， 區別理由較多的推測與理由較少的推測， 如果你把注意力引導到這兩 種區別上來，那么就會對這兩者有更清楚的認識。在探討完兩種推理之后，本書又通過一些典型例子（如：給定邊數，在已

12、知圓中求內接多邊形的最大面積，把一長為 L L 的直線分成幾段，求這幾段乘積 的最大值，已知盒子的表面面各，求其最大容積。算術平均與幾何平均定理等） 的研究，并且把極大和極小問題歸納為幾類： 1.1.平面幾何中的最小和最大距離。 2.2.空間幾何中的最小和最大距離。 3.3.平面上的等高線問題。 4.4.空間中的等值面。 我們可以注意到， 這些問題大都是些極大和極小的問題， 我們總希望以盡可能低 的代價來達到某個目標，或者以一定的努力來獲得盡可能大的效果， 或者在一定 的時間內做最大的功。 我們甚至傾向于設想， 世界萬物按我們的意愿行事， 能以 最小的努力獲得最大的效果。如果你確實理解并感興趣

13、于你已經解決的一個問題，那么你就會得到一種 寶貴的東西：一個模式，或一個模型，以后可模仿它去解決類似的問題，如果你 想這樣做，如果你這樣做時獲得了成功， 如果你考慮到成功的理由， 考慮到從已 解決的問題去類推， 考慮到解決這類問題能夠達到的有關條件等等， 那么你就可 以提出一個模式，提出這樣的模式以后，你便真的有所發現，總之，你就有機會 獲得一些必要的層次和便于應用的問題。本書還講述了與極大和極小有關的等周問題 （如：一個多邊形，除一邊外， 已知其相鄰的各邊長度，求其最大面積及已知一個角用一條已知長度的線切割 它，求其最大面積 ）. .這類問題比其他較為困難的數學問題更吸引人，這可能是出 于十

14、分樸素的理由，盡管每個人都有他自己的問題， 。我們總希望以盡可能低的 代價來達到某個目標， 或者以一定的努力來獲得盡可能大的效果， 獲者在一定的 時間內做最大的功， 當然， 我們還希望冒最小的風險， 本書關于極大和極小的問 題給出了等周定理的三種形式： 1.1.所有等周長的平面圖形中，以圓的面積最大。 2.2.所有等面積的平面圖形中，以圓的周長最小。 3.3.所有的平面曲線中，以圓的等 同商最大。關于等周問題，笛卡兒通過圓，正方形，矩形，等邊三角形等十個圖形， 都具有想同的面積， 圓具有最短的周長。 在具有相等體積的所有立方體中， 球具 有最小的表面面積。我們把這個命題稱作“空間等周定理”.

15、.已經證明成功的許多結論，使得等周定理變得更加合乎推理邏輯。 能夠幫助我們預料其他的許多類 似應用和問題， 關于定理的推導又引起了進一步的新問題， 在立體幾何和數學物 理中還類比地啟示其他的問題， 深刻立足于我們的生活經驗和直觀地觀察中的等 周定理，是如此容易猜到， 但卻不容易證明， 它是誘發我們靈感的一個取之不盡 的源。本書第六章更一般性的陳述， 主要是數學研究中善于用歸納法的大師， 他用 歸納法，憑觀察， 大膽猜測和巧妙證明得出了放多重要的發現。 歐拉的研究報告 中關于整數因子和的一個非常奇特規律的發現。 我從中學到很多關于數學、 發明 心理學、歸納推理的東西。 這個被歐拉所研究的定理在今天仍具有很大的數學趣 味。歐拉研究報告的概述，定理 T T 包含無窮多個特例 GG,GG, C C3,反過來說，這 無窮多個特例 C C，C C2,G,G,的整體即相當于定理 T T。我們可用簡單計算驗證 G G 成立 與否，C C2成立與否，C C3等等成立與否。計算結果證得 C Ci,G,CG,C3,C C4o都成立，我們 只要做這些計算, 一直到我們能深信這一系列計算不斷地無限做下去而始終正確 為止