1、2020 屆天津市高三高考全真模擬(一)數學試題、單選題1已知全集R ，集合 Ax| 2 x3 ,By|y2x1,x 0，則 AeUBAx| 20Bx| 212Cx|012Dx|03答案】 B解析】【詳解】試題分析：x1Q B y| y 2x 1,x 0,B y|y2 eUB x|x12，所以 AeUBx| 212考點】集合的交集、補集運算2若 z則zz(B1CD3答案】解析】復數bi(a,bR)的共軛復數是a bi(a,b R ) ，復數除法運算是將分母實數化，dibi詳解】2i z點睛】3i，2di a biacbiza biz 1.本題考查復數的四則運算，考查運算求解能力A AE3如圖，

2、在矩形 ABCD中， E為CD中點，BACbd ad bc i 2ab21 uuuv 那么向量 AB2uuuvADCuuuvDC(a,b,c,d R)等于uuvuD BC第 3 頁 共 18 頁答案】 Auuur uuur【解析】 利用 AB,DC 是相等向量及 E 為中點可得正確的選項【詳解】1uuur uuur uuur uuur uuur 因為 AB AD AD DE AE ，故選 A 2【點睛】 本題考查向量的加法及向量的線性運算，屬于容易題4 下列命題中錯誤的是（ ）A若 p q為假命題，則 p與 q均為假命題B 已知向量 av(1,m 1) ，v b(m,2) ，則 av/bv是

3、m1的充分不必要條件C命題2 “若 x3x 2 0 ，則x 1 ”的逆否命題是 “若 x 1 ，則 x23x 2 0 ”D命題“x(0, )， xlnx 0 ”的否定是 “ x (0,) ， x lnx 0 ”【答案】B【解析】利用復合命題的真假判斷A 的正誤；充要條件判斷B 的正誤；四種命題的逆否關系判斷 C的正誤；命題的否定形式判斷 D 的正誤【詳解】解：若 “p q”為假命題，則 p 與 q 均為假命題，正確；r已知向量 ar 1,m 1 ，b m,2 ，則“ar / /br ”可得 m2 m 2 0，解得 m 1或 m 2，所以 “ar /br ”是“m 1”的必要不充分條件，所以 B

4、 不正確； 命題“若 x2 3x 2 0，則 x 1的逆否命題為 “若x 1，則 x2 3x 2 0 ”，滿足逆 否命題的形式，正確；命題“ x 0, ，x lnx 0 ”的否定是 “ x0 0,，x0 lnx0 0”滿足命題的否定形式，正確；故選 B【點睛】 本題考查畝土地真假的判斷與應用，四種命題的逆否關系，復合命題的真假，充要條件 等知識，是基本知識的考查5在棱長為 2的正方體 ABCD-A1B1C1D1中,動點 P在ABCD 內,且到直線 AA 1， BB 1的 距離之和等于 2 3 ,則PAB 的面積最大值是（ ）2xA 22B 1C 2D2【答案】C【解析】先確定動點 P 的軌跡方

5、程 ,根據動點 P 的軌跡方程可知： PAB的 AB 邊上的高， 當 PA=PB時最大，這時 PA=PB= 3 ，即可求出 PAB 的面積最大值【詳解】解：AA1和BB1都面 ABCD,P到直線 AA1， BB1的距離就是 PA和 PB, PA+PB=2 3 ,所以動點 P 的軌跡是以 A,B為焦點的橢圓 ,由橢圓的性質可知： PAB 的 AB 邊上的高 ,當 PA=PB 時最大 ,這時 PA=PB= 3 ,最大的高1 AB2 = 2 ,41 最大面積 = ×2 × 2 = 2故選 C【點睛】本題考查 PAB 的面積最大值 ,考查點到直線距離的計算 ,屬于中檔題 x26函數

6、 f x x 的圖象大致是（ ）ex 1答案】 B【解析】根據函數值恒大于 0,排除 A,根據函數不是偶函數 ,排除 C,根據 x趨近于正無窮 時,函數值趨近于 0,排除 D ,故選:B.詳解】第 3 頁 共 18 頁因為 f xxe10,所以 A不正確 ;函數 f x不是偶函數 ,圖象不關于y 軸對稱 ,所以 C 不正確 ;x2 x當 x 0時, f(x)x0, 當 x趨近于正無窮時 ,x2和 ex 1都趨近于正無窮 ,但是e1x2ex 1增大的速度大于 x2 增大的速度 ,所以 f x x 趨近于 0, 故 D 不正確 .ex 1故選 :B【點睛】本題考查了利用函數性質識別函數的圖象,考查

7、了偶函數圖象的對稱性 ,考查了極限思想根據函數的性質排除選項是解題關鍵 .7設 a 0.30.6 ， b 0.60.3 ， c 0.30.3 ，則 a，b，c的大小關系為（）Ab a cB a c b Cb c aDc b a【答案】 B【解析】 根據指數函數的單調性得出 0.30.6 0.30.3 ，而根據冪函數的單調性得出0.30.3 0.60.3 ，從而得出 a，b，c 的大小關系【詳解】解： Q y0.3x 在定義域上單調遞減，且 0.3 0.6，0.30.60.30.3 ，又 y x0.3 在定義域上單調遞增，且 0.3 0.6，0.30.30.60.3 ，0.30.60.30.3

8、0.60.3 ，acb故選： B【點睛】考查指數函數和冪函數的單調性，以及增函數和減函數的定義8若實數 a,b,c成等差數列，動直線 l:ax by c 0與圓 x2 y2 9相交于A,B 兩點，則使得弦長AB為整數的直線 l 共有（第 4 頁 共 18 頁）條A2B 3C 4D5【答案】 C【解析】 實數 a，b，c 成等差數列，所以 2b=a+c， 所以直線 l：ax+by+c=0 恒過定點 P( 1， 2)； 當直線 1與OP垂直時，圓心 O到定點 P的距離 d= 5， 弦長|AB|=2 r2 d2 =4，滿足題意，此時直線有 1條； 當直線 1過圓心 O時，弦長 |AB|=2r=6，滿

9、足題意，此時直線有 1條； 當弦長|AB|=5 時，對應的直線應有 2條，如圖所示； 綜上，直線 l 被圓 x2+y2=9 所截得弦長為整數時， 對應的直線 l 有 4 條故選： C4第 7 頁 共 18 頁點睛：抓住兩個邊界：當直線 1與 OP垂直時，弦長 |AB|最小；當直線 1 過圓心 O時， 弦長 |AB| 最大，從而定出了弦長的變化范圍，又弦長為整數，故中間只有一種情況，結合圓的對稱性，不難發現此時有兩種情況9已知函數 f (x)1mcos2x (m22)sin x ，其中 1 m 2 ，若函數 f x 的最大值記為 g m ，則m 的最小值為(答案】 D解析】 f (x)y mt

10、2 (mg m y t 1 1m2B1C 32mmsin2 x (m 2)sin x ，令 sin x t 1,1，則2m2)t ，結合 1 m 2 可得2222m2 (m 2)24m1 1 ，再利用基本不等式即可得到答案 m詳解】由已知，f (x)2m(1 2sin x) (m 2)sin x2msin2 x(m2)sin xm2，第 14 頁 共 18 頁令 sinx t 1,1，則 y mt2 (m 2)t m ，因為 1 m 2 ，22 m 1 11所以對稱軸為 t 2 m 1 1 0,1 ，所以2m m 22gmyt m1 1211 m1 3 1 ，當且僅當2m2 (m 2)2 3m

11、4m 4m 2 3 時，等號成立 .3故選： D【點睛】本題考查換元法求正弦型函數的最值問題， 涉及到二次函數的最值、 基本不等式的應用， 考查學生的數學運算能力，是一道中檔題二、填空題 10交通管理部門為了解機動車駕駛員(簡稱駕駛員)對某新法規的知曉情況，對甲、 乙、丙、丁四個社區做分層抽樣調查假設四個社區駕駛員的總人數為N，其中甲社區有駕駛員 96 人若在甲、乙、丙、丁四個社區抽取駕駛員的人數分別為12， 21， 25， 43，則這四個社區駕駛員的總人數 N 為 _【答案】 808從而可根據抽取的人數計算得到【解析】 由甲社區抽取人數和總人數計算可得抽樣比， 駕駛員總人數 .詳解】由題意可

12、得抽樣比為：12N 12 21 259643808本題正確結果：808點睛】 本題考查分層抽樣中抽樣比、總體數量的計算，屬于基礎題 11已知曲線 f(x) (ax 1)ln x在點 (1,0)處的切線方程為 y x 1，則實數 a的值為答案】 2 【解析】 求導函數。由 f (1) 1可求得 a 。【詳解】ax 1由題意 f (x) alnx ， f (1) a 1，由 a 1 1得 a 2。x故答案為： 2。【點睛】 本題考查導數的幾何意義，函數在某點處的導數就是函數圖象在該點的導數值。2212已知 F1， F2分別為雙曲線 C: x2 y21(a 0，b 0)的左、右焦點，點 P 是 ab

13、以 F1F2 為直徑的圓與 C 在第一象限內的交點，若線段 PF1的中點 Q 在 C的漸近線上， 則 C 的兩條漸近線方程為 【答案】 y ±2x【解析】 求得雙曲線的漸近線方程，由圓的性質可得PF1PF2，由三角形的中位線定理可得 PF1OQ，OQ 的方程設為 bx+ay0，運用點到直線的距離公式可得 F1( c， 0)到 OQ 的距離，結合雙曲線的定義可得 b2a，進而雙曲線的漸近線方程【詳解】雙曲線 C：x2 y2 1 a>0，b>0 的漸近線方程為 y±b x，a2 b2a點 P 是以 F 1F 2為直徑的圓與 C 在第一象限內的交點，可得 PF1PF2

14、，線段 PF1的中點 Q在 C的漸近線，可得 OQPF 2，且 PF1OQ， OQ 的方程設為 bx+ay0，bc可得 F1(c，0)到 OQ 的距離為2 2 b，ba即有 |PF1|2b，|PF2|2|OQ| 2a，由雙曲線的定義可得 |PF1|PF2| 2b2a2a，即 b 2a ， 所以雙曲線的漸近線方程為 y ±2x故答案為： y ±2x【點睛】 本題考查雙曲線的定義、方程和性質，考查直徑所對的圓周角為直角，三角形的中位線 定理和化簡整理能力，屬于中檔題13 (x 1)7(x 1)3 的展開式中 x的系數是 【答案】 473【解析】 分別求出 x 1 和 x 1 展

15、開式中常數項和 x的系數， 由多項式乘法法則可 得所求系數【詳解】7 7 0 7 6 6 3x 1 的展開式中的常數項為 C77x0 11 ，x的系數為 C76 1 7， x 1 的展開式中的常數項為 C33 1， x的系數為 C32 3, x 1 7 x 1 2的展開式中 x的系數為 1 3 7 1 4.故答案為： 4【點睛】 本題考查二項式定理，求展開式中某項系數，由于是兩式相乘，因此需要應用多項式乘 法法則進行計算14 已知一平面截球 所得截面圓的半徑為 1，且球心到截面圓所在平面的距離為2，則球 的表面積為 【答案】【解析】 根據條件求出截面圓的半徑，根據垂徑定理，求出球的半徑，即可求

16、出球 O 的表面積【詳解】作出對應的截面圖， 截面圓的半徑為 1， BC ， 球心 O 到截面圓所在平面的距離為 2， OC 2，設球的半徑為 R，在直角三角形 OCB 中， OB2OC2+BC25即 R2 5， 該球的表面積為 4R2 20，故答案為 20本題主要考查球O 的表面積的計算，根據條件求出球半徑是解決本題的關鍵，屬于中檔題.三、雙空題15已知拋物線2y22px p0 的焦點為 F（4，0），過 F 作直線 l 交拋物線于 M，N兩點，則p=NF94MF的最小值為答案】p 813解析】利用拋物線的定義可得 p 8 ，設直線l 的方程為 x my 4 ，聯立直線與拋物線方程消元，根據

17、韋達定理和拋物線的的定義可得111MFNF4 ，代入到NF94 ，再根據基本不等式求最值 MF詳解】解： 2拋物線 y22px p 0 的焦點為 F（4，0），8， 拋物線的方程為2y2 16x ，my 4 ，設 M x1,y1 ，N x2,y2 ，設直線 l 的方程為 x由 y2 16x 得x my 42y2 16my 64 0 ， y1 y2 16m， y1y264由拋物線的定義得MFNF1x1 41x2 4x2 4 x1 44 x2 4x1x2my2 4 my1 4 8my1 8 my2 8m y1 y2 162m y1y2 8my1 y26416m2 162264m 128m 6421

18、6 m2 1 164 m2 1 4 ，NF4NF11NF412NF49MF9NF9NF4? 4 1 13 ，9 NF當且僅當NF4即NFNF6 時，等號成立，故答案為：點睛】 本題主要考查直線與拋物線的位置關系，考查拋物線定義的應用，屬于中檔題四、解答題16記 Sn 為等差數列an 的前 n 項和，數列 bn 為正項等比數列，已知 由 a3 a1 2d 5 和 S3 3a1 3d 9 得 a1 =1,d=2,1）求數列 an 和數列 bn 的通項公式；2）記 Tn為數列 an bn 的前 n項和，求 Tn .答案】（ 1） an 2n 1；bn 2n 1（2）Tn2n 3 2n 3解析】（ 1

19、）由題 ,對等差數列可得a3S3a31a 23dd 59,解得 a1=1,d=2,進而求得通項3a1 3d 9公式；對于等比數列可得b1 a1 11 1,解得 q,進而求得通項公式；b5 S42）由（ 1）可得 an bnn12n 1 2n 1 ,利用錯位相減法求和即可詳解】解：（ 1）設數列 an 的首項為 a1 ,公差為 d ,設數列 bn 的首項為 b1 ,公比為 q,所以 an a1 n 1 d 1 2 n 1 2n 1,即數列 an 的通項公式為 an 2n 1 ；4因為 b1 a1 1,由 b5 S4 得 b1 q4 4a1 6d 4 6 2 16, 所以 q= 2,則bn b1

20、qn 1 2n1, 所以數列 bn 的通項公式為 bn 2n 1（ 2）由（ 1） an bn2n 1 2n 1,Tn 1 20 3 21 5 22 L 2n 1 2n 1,123n2Tn121322523L2n1 2n ,Tn1221222L22n 12n 12n2 2n 1 1 n1 2 2n 1 2n211 2n 1 4 2n 1 2n3 2n 3 2n ,所以 Tn2n 3 2n 3【點睛】本題考查求等差數列的通項公式 ,考查求等比數列的通項公式 ,考查錯位相減法求數列的 和,考查運算能力17 ABC的內角 A,B,C 的對邊分別為 a,b,c，且 (sin A sin B)(a b)

21、 bsinC csinC .( 1)求 A ；( 2)若 b 2c ，點 D 為邊 BC 的中點，且 AD7 ，求 ABC 的面積 .【答案】( 1) A 3 ；( 2) S ABC 2 3 .【解析】 (1)利用正弦定理邊化角 ,再利用余弦定理求解即可 .uuru uuur uuru(2) 為 AD為 ABC的中線,所以 2AD AB AC再平方后利用向量的數量積公式進 行求解 ,再代入 b 2c可解得 c 2,b 4 ,再代入面積公式求解即可 .csinC ,詳解】uuur 2 uuur 2uuur uuurAB AC 2|AB| |AC|cosA,1)由 (sin A sin B)(a

22、b) bsinC222由余弦定理可得 cosA b c a1,2,2bc故 A .3uuruuuuruuru（ 2）因為 AD 為ABC的中線 ,所以2ADABAC可得 a2 b2 bc c2 ,兩邊同時平方可得 4AD故 28 c2 b2 bc.因為 b 2c,所以 c 2,b 4.所以 ABC的面積 S ABC1 bcsin A 2 3 .21）第 16 頁 共 18 頁點睛】本題主要考查了利用正余弦定理與面積公式求解三角形的問題,同時也考查了向量在解三角形中的運用 ,屬于中檔題 .18如圖，三棱柱 ABC A1B1C1中， AB 側面 BB1C1C ，已知 BCC1 3 ，BC 1， 3

23、AB C1C 2 ，點 E 是棱 C1C 的中點 .1）求證： C1B 平面 ABC ；2）求二面角 A EB1 A1 的余弦值；3）在棱 CA上是否存在一點 M ，使得 EM 與平面 A1B1E 所成角的正弦值為2 1111若存在，求出 CCMA 的值；若不存在，請說明理由答案】證明見解析（ 2）2 5 （3）存在, CM5 CA1或 CM 53 或 CA 23解析】（ 1）根據線面垂直的判定定理，即可證得C1B 平面 ABC .uuru uuuur uuur2）以 B為原點，分別以 BC ， BC1 和 BA的方向為 x， y和 z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標系， 求得平面 AB1

24、E 和平面 A1B1E 的法向量，利用向量的夾角公式，即可求解；3）假設存在點 M ，設 M x,y,z ，根據 CuuMuuruuurCA，得到uEuMuur 的坐標，結合平面A1B1E 的法向量為列出方程，即可求解詳解】1）由題意，因為 BC 1， CC1 2，BCC1BC13，2 2 2 又 BC2 BC12 CC12， BC1 BC AB 側面 BB1C1C ， AB BC1 .又 AB BC B ， AB ， BC平面ABC 直線 C1B 平面 ABC.2）以 B 為原點，分別以 uBuCru，uuuur uuurBC1 和 BA 的方向為uuurx，y和 z軸的正方向建立如圖所示的

25、空間直角坐標系，則有 A 0,0,2 ， B1 1, 3,0 ，E 1 , 3 ,0 ， A12 2 11, 3,2 ，設平面AB1E 的一個法向量為 nx1,y1,z1uuurAB11, 3,uuur2 ， AE13, , 222uuuvAB1 0uuuvAE 0x112x13y132 y12z12z10r，令 y13，則 x1 1， n01, 3,1設平面urA1B1E 的一個法向量為 mx,y,z ，uuuurA1B1uuur0,0, 2 ，A1EurmvmvmuuuuvA1B1 uuuv A1E2z2，2y2z 0令y3 ，則 x5 ur r5 ，m n4，ur r cos m,nmu

26、mr nr425255第 25 頁 共 18 頁25設二面角 A EB1 A1 為 ，則 cos cos m,n 設二面角 A EB1A1 的余弦值為 2553）假設存在點 M，設 M x,y,z ，uuuurCMuuurCA，0,1 ， x 1,y,z1,0,2 ， M 1,0,2uuuur EM23,2設平面 A1B1E 的一個法向量為 m 1, 3,0 ，2 1111213222234，得 69 22380.即313或23 5 0 ，523CMCA1 CM或3 CA523點睛】本題考查了線面平行的判定與證明，以及空間角的求解問題， 意在考查學生的空間想象能力和邏輯推理能力， 解答中熟記線

27、面位置關系的判定定理和性質定理， 通過嚴密推理 是線面位置關系判定的關鍵， 同時對于立體幾何中角的計算問題， 往往可以利用空間向 量法，通過求解平面的法向量，利用向量的夾角公式求解 .x2 y2319如圖，已知橢圓 E: x2 y2 1 a b 0 的左頂點 A 2,0 ，且點 1, 在橢a2 b22圓上， F1、F2 分別是橢圓的左、右焦點過點A作斜率為 k k 0 的直線交橢圓 E 于另一點 B，直線 BF2交橢圓 E于點 C.1）求橢圓 E 的標準方程；2）若 CF1F2 為等腰三角形，求點 B 的坐標；3）若 F1C AB，求 k的值.答案】22（ 1） x2 y21 （ 2） B 8

28、5,33（3） k6435512解析】試題分析：（1）由題意得到關于 a ,b, c的方程組，求解方程組可得橢圓 E 的標準方程：1；22 xy43（2）由題意可得點 C在x軸下方據此分類討論有： C 0, 3 ，聯立直線 BC的 方程與橢圓方程可得 B 85,353 ；（3）設直線 AB的方程 lAB:y k x 2 ，聯立直線方程與橢圓方程，可得2 8k2 6 12kB 2 , 2 利用幾何關系 F1C AB 計算可得 C 8k2 1, 8k ，利 3 4k 3 4k用點 C在橢圓上得到關于實數 k 的方程，解方程有： k 6 . 12試題解析：a 2 a 2（ 1）由題意得 a2 b2

29、c2 ，解得 b 31 9 1 c 14 4b2 122橢圓 E 的標準方程： x y 143（2） CF1F2為等腰三角形，且 k 0點 C在 x軸下方1 若 F1C F2C ，則 C 0, 3 ；若 F1F2則 CF22，C0,3；若 F1C則 CF12，C0,3； C 0, 3直線 BC 的方程y3x1，由y2x43x2y303或8x5335 B 85,353553）設直線 AB 的方程 lAB:ykx2，y k x 2 由 x2 y2得 3 4k213 xAxB2xB216k2 123 4k2 yBxB212k3 4k2若k1，2，則B1,32x216k2x xB16k 2 128k2 63 4k228k2 6, 12k4k2 ,3 4k2，C1,， F1 1,0kCF13， F1C 與 AB41不垂直； k 12， F2 1