1、高一數學線性規劃與基本不等式人教實驗 A 版【本講教育信息 】一 . 教學內容： 線性規劃與基本不等式二 . 教學要求：1、能從實際情境中抽象出二元一次不等式組；了解二元一次不等式的幾何意義，能用平 面區域表示二元一次不等式組。2、能從實際情境中抽象出一些簡單的二元線性規劃問題，并能加以解決（一般的最優整 數解問題不作要求） 。3、掌握基本不等式ab a b （a 0，b0）；能用基本不等式證明簡單不等式（指2只用一次基本不等式即可解決的問題） ；能用基本不等式求解簡單的最大（小）值問題（指 只用一次基本不等式即可解決的問題） 。三 . 教學重點、難點： 教學重點：基本不等式與線性規劃的幾何意

2、義 教學難點：線性規劃的幾何意義與基本不等式的使用條件，以及變形使用基本不等式。四 . 知識歸納：1、線性規劃：（ 1）二元一次不等式 AxByC>0 在平面直角坐標系中表示直線 Ax By C 0 某一 側所有點組成的平面區域。 （虛線表示區域不包括邊界直線） 。（2）目標函數，線性目標函數線性規劃問題，可行解，可行域，最優解。（3）用圖解法解決簡單的線性規劃問題的基本步驟： 根據線性約束條件畫出可行域（即不等式組所表示的公共區域） ；設 t0，畫出直線 l0 ；觀察、分析，平移直線 l0，從而找到最優解 A（x0,y0）,B（x1,y1） ；最后求得目標函數的最大值及最小值。（4）求

3、線性目標函數在線性約束條件下的最優解的格式與步驟： 尋找線性約束條件，線性目標函數；由二元一次不等式表示的平面區域做出可行域； 在可行域內求目標函數的最優解。2、重要不等式：（1）如果 a,b R,那么 a2 b2 2ab（當且僅當 a b時取" "號）ab（2）定理：如果 a，b是正數，那么ab（當且僅當 a b時取" "號）.23、公式的等價變形：22 （ 1）ab ab ， ab（ a b ） 2。22ba（ 2） 2（ ab> 0），當且僅當 a b 時取“”號；ab4、和積不等式的應用 求最值。 已知 x，y 都是正數，求證：（1）如果積

4、 xy是定值 P，那么當 xy 時，和 x y有最小值 2 P;1（2）如果和 xy 是定值 S，那么當 xy時，積 xy有最大值 S2.4典型例題 】x 4y 3 0例題 1. 已知 x ，y滿足 3x 5y 25 0 ，x11）求 z解： zmax 24， zmin 72）若 zax 5y 取得最大值的解有無數個，求a。解： a 33）求 z解： zmaxy 3 的最值2x 437 5， zmin 3144）求 z(x 2)2（y 3）2 的最值zmax 74， zmin 25例題 2. 已知方程 x2 ax b 0的兩個根 x1 1,0), x2 (0,1 ，求 za 3b 的最小值1令

5、f(x) x2 f( 1) 0 f(0) 0 f(1) 0ax0得到對應的可行域，由圖形得 zmin =-30例題 3. 給出四個命題：1）x2 2x2 1的最小值為 2；（2） 2 3x 4 的最大值為 2 4 3x3）log x10 lg x 的最小值為 2；（4）sin2 x442 的最小值為 4。其中正確命題的個數是（ sin xB）A. 0B. 1C. 2D. 3例題 4. 若關于 x 的方程 4xa 2xa 1 0有實根，求實數 a的取值范圍。解：令 t 2x則原方程可化為 t2ata10 有正數解。t2 1 2法一、變量分離法： a (t 1) 2 2 2 2 a 2 2 2 。

6、t 1 t 1法二、求根公式法：由求根公式得兩個根為：2x1aa2 4a 4,x2a a2 4a 4 則問題等價于大根大于20。所以有a a2 4a 420 a2 4a 4法三、分類討論：即原方程有兩個正根；0 與一個正根；一個正根與一個負根。令f(t) t 2 at a2 4a10a 1, 則0 f(0) 0 f(0)00; f(0)例題 5. 設 a、 b R ，試比較 a b 2解： 應該是：ab ，1111例題 6. 已知 a，b，x， y R（a，b 為常數）， a bxyab的大小1，求 x y 的最小值 .xyxyaybxx當且僅當 xy時， xy 有最小值為ab1xy解:x+y

7、=(x+y)( a+ b )= a+b+ ay+bxa b 2 aba+b+ 2 ay bx a+b+ 2 ab xy例題 7. 甲、 乙兩地相距 s（千米），汽車從甲地勻速行駛到乙地， 速度最大不得超過 c（千 米/小時）已知汽車每小時的運輸成本 （元） 由可變部分與固定部分組成可變部分與速度 v （千米 /小時）的平方成正比，且比例系數為正常數b；固定部分為 a 元（ 1）試將全程運輸成本 y（元）表示成速度 v（千米 /小時）的函數。（ 2）為使全程運輸成本最省，汽車應以多大速度行駛？s解：（ 1 ）依題意知汽車從甲地勻速行駛到乙地所用時間為 s ，全程運輸成本為vs 2 s ay a

8、bv s（ bv）v v v故所求函數及其定義域為a y s(vbv),v (0,c（2）依題意知 s， a， b，v 都為正數，故有 s（a bv） 2s abvaa當且僅當 bv, 即 v 時上式中等號成立vb若 ab bc，則當 v b 時，全程運輸成本 y 最小，若abc，則當 v （0,c 時，有s(a bv) s(a bc) vcs(a a) (bv bc) vc s (c v)(a bcv) vc因為 cv0，且 a>bc2，故有 a bcv a bc2>0，所以 s（a bv） s（a bc） ，且僅當 v c時等號成立， vc也即當 v c 時，全程運輸成本 y

9、最小綜上知，為使全程運輸成本 y 最小，當 ab c 時行駛速度應為 v ab ；當 ab c b b b 時行駛速度應為 v c【模擬試題 】（答題時間： 30 分鐘）1. 不等式組 （x y 1）（x y 1） 0，表示的平面區域是一個（）1x2A. 三角形 B. 梯形 C. 矩形 D. 菱形 a ba2 b22. 設 a、b R，已知命題 p：ab；命題 q：（ a2b）2 a 2b （ ）A. 必要不充分條件B. 充分不必要條件C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件3. 設 x，yR，且 xy（ x y） 1，則（ ）A. x y2（ 2 1）B. xy 2 1C. xy（ 2 1）

10、2D. xy2（ 2 1）3x 2y 2 04. 不等式組 x4y40 的整數解共有 _組2xy605. 某公司一年購買某種貨物 400 噸，每次都購買 x 噸，運費為 4 萬元 /次，一年的總存儲 費用為 4x 萬元，要使一年的總運費與總存儲費用之和最小，則x6. 要使不等式 x y k x y 對所有正數 x，y 都成立，試問 k 的最小值是7.若 a>b> 0，則 a28.已知 a 0,b 0且 a2b(ab2216b） 的最小值是1 ，則 a 1b2 的最大值是9.已知函數 f （x）ax2c ，滿足 4f(1)1， 1 f （2） 5，求 f （3） 的取值范圍。10.已

11、知 x,y 滿足4x2y3y2y7012 0 ，3011.點 （x, y） 是區域 x求z2y 的最值。2內的動點，求ax y（a 0） 的最大值和最小值。x11195012.已知 x,y 滿足不等式組，求 zy 1 的范圍x314. 已知 a，b，x，yR（a，b為常數），ab10， a b 1，若 xy的最小值為 18， xy求 a， b 的值14、試題答案】1、B2、B3、A4、65、20噸6、 27、16328、458589、解： f(3)f(1) f(2) 1 f(3) f(1) f(2) 203333所求范圍是 1， 2010、解：作出可行域如圖。由圖得z x2 y 2的最大值為 OB2 1452 2 9 z x2 y 2的最小值為 O 到直線 AC 距離的平方511、解：當 a 1時， zmax 2a, zmin2a.41當0<a 1時， zm