1、文檔來源為：從網絡收集整理.word版本可編輯.歡迎下載支持常見線性遞推數列通項的求法對于由遞推式所確定的數列通項公式問題，往往將遞推關系式變形轉化為我們熟知的等差數列或等比數列，從而使問題簡單明了。這類問題是高考數列命題的熱點題型，下面介紹常見線性遞推數列求通項的 基本求法。一、一階遞推數列1、an 1pan q 型形如an 1pan q ( p1且q為不等于0的常數)的數列，可令 an 1p(an x)即 an 1 pan(P1)x 與 an1 panq比較得x qp,從而構造一個以ai-q一為首項以p為公 p 1比的等比數列anan中,a11, an 13 an1,求 an.解：在an

2、1an1的兩邊同加待定數3 an 1(an + ( i)，令(1) / 日，得3a 1 = 1an2 23n2、 an 1 c ananI3 (an1 ,-).數列 21、口 -是公比為3的等比數列，21).(1) c 1時：解題思路：利用累差迭加法，將an1 g(n 1) , an 1 an 2= g(n 2),a2 a1 二 g(1),各式相力口,正負抵消，即得an .例2.在數列an中，a1解：依題意得，a1 0 , 相加，得【評注】由遞推關系得，若a2a11 11,aan2n 1 ,求通項an.a23, ,an an 12 n 11 2n 3,把以上各式常數，即第一種類型，直接可得是一

3、等差數列；若an 1 an 非常數，而是關于n的一個解析式，可以肯定數列n 1,n 2,4,3,2 代入得 n為一個或幾個特殊數列的和。(2) C 1 時：1個等式相加,an不是等差數列，將遞推式中的 n分別用目的是為了能使左邊相互抵消得an,而右邊往往可以轉化例3.在數列an中，a11, an 13ann2,求通項an.解：作新數列bn,使bnan(An2BnC),即 anbn (An2 Bn C), (A, B, C 為待定常數)。由an 1 3ann2可得:bn1 A(n1)2B(n 1)C = 3(bn An2 Bn C) n2,所以，bn 1 3bn2(2A 1)n(2B 2A)n2

4、C AB ,設 2A+1=0, 2B-2A=0 , 2C-A-B=0 ,可得：A=B=C=-1/2 ,bn1 3bn，bi文檔來源為：從網絡收集整理.word版本可編輯.歡迎下載支持.a1 (A AB C) 5 ,所以bn是公比為3的等比數列，25 n 1bn - 325 an23n112(n n 1)。2當一個數列是一階遞推或二階遞推齊次數列時，可通過線性代換把問題化為等差或等比數列，本題是22設 an1 A(n 1) B(n 1) C=3an (An Bn C),用待定系數法求 A、B、C 即可。【評注】求遞推數列的通項的主要思路是通過轉化，構造新的熟知數列，使問題化陌生為熟悉.我們要根據

5、不同的遞推關系式，采取不同的變形手段，從而達到轉化的目的.例4.在數列an中,ai1,an 1 3an 2n，求通項 an.解：設an 1 k3(an k 2n), an 1 3an k2n，又 an 1 3an 2n, k 1,an 12n 13(an2.an 2是以3為首項,3為公比的等比數列,3、ananan 1an 1an 22n3n 13n, an3n 2n。f(n)an 型:利用累乘法an 1n 1 ,-an 22,ai各式相乘得，絲f n a1即得a例5.在數列an中,a1an .an解：由條件等式亙 an-得, 1ana2【評注】此題亦可構造特殊的數列，由以1為公比的等比數歹U

6、,nana1.q4、Sn與an關系型(求差法)an 1an 1a na1得,1得an數列有形如f(Sn,Sn1) g(an)的關系(非遞推關系)11一，得2 n1an nn 1 an11,則數列nannan是以為為首項,可考慮用求差snsn 1an后，再用其它初等方法求得an .例6. ( 94年全國高考試題)設an是正數組成的數列，其前n項和為Sn ,并且對于所有的自然數 n,an與2的等差中項等于 Sn與2的等比中項:文檔來源為：從網絡收集整理.word版本可編輯.歡迎下載支持(1)寫出數列an的前3項； (2)求數列an的通項公式.出題者的意圖是：通過(1)問求出數列前 3項再猜想出通項

7、公式；(2)再用數學歸納法證明猜想正 確.實際上用求差法求通項公式更簡單.解：(1)略 a° 2(2)由條件，得一 J2Sn，即(an 2)2 8 Sn，.，2222(an 1 2)8 Sni.，得 8an (an 2)(an 1 2),即(an 2)2 (an 1 2)20.分解因式得(an am)(anan 1 4) 0.對于ne N,an>0,an an 1 4.，an是公差為4的等差數列,5、ana一b (a,c,d為非零常數) c and(1) b0時，上式可化為:1 1 ,即轉化為第一種類型可求解。例6.設數列an滿足a12,解：原條件變形為an/ 1 3( ana

8、n 1則anan 1an 1anc ananan3(n N),求簫an.兩邊同乘以11，得 1an an 13 a nan 1一 an0時,等式兩邊同加參數an b(aan ct) ca ct an ddta ctct2(a d)t b記此方程的兩根為t1,t2 ,(1) 若t1 t2,將t1,t2分別代入式可得an 1t1(act1)一cant1 dan1 t2(at2anct2)一can dat,以上兩式相除得 an 1 t1an 1 t2ct1Ct2anantlt2于是得到數列an文檔來源為：從網絡收集整理.word版本可編輯.歡迎下載支持an ti為等比數列，其公比為an t2a ct

9、ia ct2an ti的通項an可由ant2aitit2a ctict2)n(2)若ti t2,將t ti代入式可得an i ti(acti)anc antld考慮到上式結構特點,兩邊取倒數得iian itiactic(an ti )and cti ti由于ti t2時方程的兩根滿足2tictid cti于是式可變形為ia n i tica ctiian tiianti為等差數列，其公差為a cti i數列an的通項an可由anti1)一求得.a cti這樣，利用上述方法，我們可以把分式線性遞推數列轉化為等比數列或等差數列，從而求得其通項。 aa- b如果我們引入分式線性遞推數列an i a

10、an b (a,b,c,d R,c 0)的特征方程為xc andax b 口口,即cx d2cx(d a)x b0,此特征方程的兩根恰好是方程兩根的相反數，于是我們又有如下結論:分式線性遞推數列ana an bc an d(a,b,c,d R,c 0),其特征方程為 x xbcx d2cx(d a)x b0,(1)若方程有兩相異根Si、包且成等比數列，其公比為anS2si;a cs2(2)若方程有兩等根S1S2 ，i “一1成等差數列，其公差為an Sia cs1例7、設數列an滿足a12, an5an 4 ，求a2an解：對等式兩端同加參數t得文檔來源為：從網絡收集整理.word版本可編輯.

11、歡迎下載支持an 1 t5an 42an2t 5 an 7t 4n 2t2an7t 4a n 5 2-5，令 t2an 77t 4 、 r，解之可得t 1,2,2t 5代入an(2t5)an t2an得an 1an2an1,an 1an 2 ,，相除得 2an 7an 1an 2ana n即亙an是首項為®a1.一一 1 ，公比為的等比數列,3an1an 24 31n,解得anJ。4 3n二、二階線性遞推數列1 ,設遞推公式為an 1pan2qan1,其特征萬程為xpx(1)若方程有兩相異根A、B,則 anc1 Anc2Bn(2)若方程有兩等根 A B,則an (c1 nc2)An其

12、中G、C2可由初始條件確定。很明顯，如果將以上結論作為此類問題的統一解法直接呈現出來，學生是難以接受的，也是不負 責任的。下面我們結合求一階線性遞推數列的參數法，探討上述結論的“來源”。設 an 1 tan S(an tan 1) ,則 an 1 (S t)an Stan 1 ,s t p st q(*)(1)若方程組(*)有兩組不同的解(s1,t1),(s2,t2),則 an 1 tanSi (antan 1 ) ,an 1 t2anS2(an tzanj由等比數列性質可得ant1an(a2t1a1)sn 1ant2an(a2t21a1)S2n 1t1 t2,由上兩式消去an1可得文檔來源為

13、：從網絡收集整理.word版本可編輯.歡迎下載支持a a nSi2 tiai n§t2 tia2t2ain馬.S2 t2 ti特別地,若方程組（*）有一對共扼虛根r cosi sin,通過復數三角形式運算不難求得此時數列的通項公式為anrn ci coSnC2 sin n ，其中c1、C2可由初始條件求出。(2)若方程組（*）有兩組相等的解GtiS2 t2，易證此時Sian itianS| antian i(an itian2）a2 ti ai ,an i nSiannGa2tiai2Si，即a nnSi是等差數列,由等差數列性質可知annGaii.atiai-2G所以a naiSi

14、a2tiai2Sitiai-2Si.n這樣,我們通過將遞推數列轉化為等比（差）數列的方法,求得二階線性遞推數列的通項，若將方程組（*）消去t （或S）即得S2pS q 。或t2pt q 0,此方程的兩根即為特征方程x2px兩根，讀者不難發現它們的結論是完全一致的，這正是特征方程法求遞推數列通項公式的根源所在。例8.斐波那契數列aia2i,anianani(n 2,3,）,求通項公式an。解：此數列對應特征方程為0,設此數列的通項公式為ani ci(-.5)n2C2(i .5)n2由初始條件ai a? i可知,Cii .5iCi(-2,5)2i 5C2丁i . 5C2 (Ci所以an例9、已知數

15、列aii,a2解：此數列對應特征方程為)2(iC2i5i55,且 an i 4an4an i(n2）,求通項公式an。22x 4x 4即 x4x 4(CO 2c得c214 34所以 an (3n 1) 2n 2例10、已知數列a10, a21,且an12an 2an 1(n 2),求通項公式an。解：此數列對應特征方程為x2 2x 2 即 x2 2x 2 0 ,文檔來源為：從網絡收集整理.word版本可編輯.歡迎下載支持由初始條件ai 1,a25,可知,設此數列的通項公式為 an (ci nc2)2n,解得 x 1 i72(01 cos sin),44設此數列的通項公式為an(J2)n(c1c

16、osn c2sin ),44由初始條件a10, a21,可知，201cos- c2 sin) 0c1_ 2 g42,解之得( 2)2(01cos c2 sin 一)1c244cos-)。4( 2)n . n 所以 an (sin -24例11、數列a n中，a120,an1 an 3n 54,求通項 an.解：特征方程1 0,特征根1,，齊次方程解anh) A ( 1)n,設特解為an Bn C代入原遞推式，B(n 1) C Bn C3n 54 得n 3111 小/曰3111111anA ( 1)-n由 a120得20 A -2424例 12、已知數列an滿足條件:(1)a1=a2=1, a3

17、=2, a4=4, (2)an=an-1+an-3+an-4(n>4)求通項公式 an.1解：特征萬程 x4-x3-x-1=0四根i,-(1 75)通項公式2an 1in 2( i)n3(1")n4(115)n,由初值條件得22文檔來源為：從網絡收集整理.word版本可編輯.歡迎下載支持ii2( i),5210. 22J.52J.52.li2(i)3(2)4(2)1. 331,531.531 i2(i)3( -2)4 (2)2. 441.54/.541i2(i)3(2)4(2)4101010說明：特征根求通項公式實際包括平時所說an 1 pan qD an 1 pan f (n

18、) an 1pan qan1形式最后我們指出，上述結論在求一類數列通項公式時固然有用，但將遞推數列轉化為等比(等差)數列 的方法更為重要。如對于高階線性遞推數列和分式線性遞推數列，我們也可借鑒前面的參數法，求得通項 公式。2、復合數列構成等差、等比數列法數列有形如f(an 2, an 1，an)。的關系，可把復合數列化為等差數列或等比數列，再用其它初等方法求得an.例 13.在數列an中，a12, a23, an 23 an 1 2 an,求an.解：由條件an23 an 12 an, an 2 an 12(an 1an), , an 2 an 1n 12 .再用多式相加法可得:ana222(

19、1 2n2)2n 1.3、循環法如果復合數列構不成等差、等比數列，有時可考慮構成循數列有形如f(an 2, an 1 ,an)。的關系,環關系而求出an.例 14.在數列an中，a1105,an 2 an 1an,求a1998.解：由條件an 3 an 2 an 1(an 1an ) an 1an即an 3an, an 6an 3an,即每間隔6 項循環一次.1998=6X 333,a1998a64.三、數學歸納法文檔來源為：從網絡收集整理.word版本可編輯.歡迎下載支持例15 (全國高考題)設數列an滿足an 1a2 nan 1, n 1,2,3,。當a1=2時，求a2,a3,并猜想an一

20、個通項公式，并證明解：當a1二2時，易得a2=3,a3=4,猜想下面證明：當n=1時，顯然成立，若an=n+1n=k時成立，則當n=k+1時,ak 1a2 kak 1(k1)2 k(k 1)k 2 ,即當n=k+1時也成立，所以an=n+1成立.四、其它類型例16、已知a14, a249,an114an6,求an的通項公式。解：令an 1 k14(ank)k),得:14an1 an 114(an(an 112)anCi72,c297一,2cn 114CnCn 1,由14xcna(74 . 3)nb(7 4v3)n ,a(74.3)b(74.3)a(74 .3)2b(74、3)272972cn1(7 4.3)n41(7 4 V3)n, 4An111(7 4、. 3)n (7 4.3)n-42例17、已知a11,ana2 4an,求an的通項公式。解:an 1a2 4anan 12 an(an 2)22anan 12a n 12a(a2)2a2lg(一 abn練習:1.已知數列a11, a25,且 an14an4an 1(n2)