1、數(shù)列知識點總結 數(shù)列 知識點總結 等差數(shù)列 知識要點 1遞推關系與通項公式 是數(shù)列 成等差數(shù)列的充要條件。 2等差中項： 若 成等差數(shù)列，則 稱 的等差中項，且 ； 成等差數(shù)列是 的充要條件。 3前 項和公式 ； 是數(shù)列 成等差數(shù)列的充要條件。 4等差數(shù)列 的基本性質(zhì) m na adna add n a ad m n a ad n a ad a am nnnm nnn n-=-=- - =- + =- + = -+1; ) 1 () () 1 (1111變式：推廣：通項公式：遞推關系：為常數(shù)） 即：特征：m k m kn n f ad a dn ann, ( , ) (), (1+ = =-

2、+ =) , 為常數(shù) ，（ m k m kn a n + = nac b a , , b c a與2c ab+= c b a , ,c a b + = 2n2) (1n a asnn+=2) 1 (1d n nna s n-+ =) , () (, )2(22212為常數(shù)即特征：b a bn an sbn an n f snda ndsnnn+ =+ = =- + = na na ) , , , (*În q p n m 其中 反之，不成立。 仍成等差數(shù)列。 5判斷或證明一個數(shù)列是等差數(shù)列的方法： 定義法： 是等差數(shù)列 中項法： 是等差數(shù)列 通項公式法： 是等差數(shù)列 前 項和公式法：

3、 是等差數(shù)列 q p n ma a a a q p n m + = + + = + ，則 若d m n a am n) ( - = -m n m n na a a+ -+ = 2n n n n ns s s s s2 3 2, , - -） 常數(shù)）（*+Î = - n n d a an n(1Þ na) 22 1*+ +Î + = n n a a an n n（ Þ na) , ( 為常數(shù) b k b kn a n + = Þ nan) , (2為常數(shù) b a bn an s n + = Þ na 等比數(shù)列 知識要點 定義：如果一個數(shù)

4、列從第二項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，記為 。 遞推關系與通項公式 等比中項：若三個數(shù) 成等比數(shù)列，則稱 為 的等比中項，且為是成等比數(shù)列的必要而不充分條件。 前 項和公式 等比數(shù)列的基本性質(zhì)， 反之不真！ 為等比數(shù)列，則下標成等差數(shù)列的對應項成等比數(shù)列。 仍成等比數(shù)列。 等比數(shù)列與等比數(shù)列的轉(zhuǎn)化 是等差數(shù)列 是等比數(shù)列； 是正項等比數(shù)列 是等差數(shù)列； 既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列 是各項不為零的常數(shù)列。 等比數(shù)列的判定法 定義法： 為等比數(shù)列； ) 0 ¹ q q，（m nm nnnn nq a aq a aqa a-

5、+× =× =推廣：通項公式：遞推關系：111c b a , , b c a與ac b ac b = ± =2，注：n) 1 (1 1) 1 () 1 (1 11¹ïîïíì-=-= q a a aq nasnnn) , , , (*În q p n m 其中q p n ma a a a q p n m × = × + = + ，則 若) (2*+ -Î × = = n n a a aaaqm n m n nmn m n， nal ， ， ， 時，n n

6、n n ns s s s s q2 3 21 - - - ¹ na Û ) 1 0 ( ¹ > c c cna， na Û ) 1 0 ( log ¹ > c c a nc， na Û naÞ =+（常數(shù)） qaann 1 na 中項法： 為等比數(shù)列； 通項公式法： 為等比數(shù)列；前 項和法：為等比數(shù)列。 一求數(shù)列 的最大、最小項的方法： 1、比差法： 2、比商法： ( ) 3、利用函數(shù)的單調(diào)性： 研究函數(shù) 的增減性 二數(shù)列求和的常用方法：公式法、裂項相消法、錯位相減法、倒序相加法等。關鍵是找數(shù)列的通項結構。 1、

7、分組法求數(shù)列：通項雖然不是等差等比數(shù)列，但通過拆分可以化為由等差、等比的和的形式，再分別用公式法求和。 2、錯位相減法：利用等比數(shù)列前 項和公式的推導方法求解，一般可解決一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列對應項相乘所得數(shù)列的求和。 說明：一般地，如果數(shù)列 是等差數(shù)列， 是等比數(shù)列且公比為 ，求數(shù)列的前 項和時，可采用這一思路和方法。具體做法是：乘以常數(shù) ，然后錯位相減，使其轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列問題求解。 要善于識別題目類型，特別是當?shù)缺葦?shù)列部分中公比為負數(shù)的情形更值得注意。 在寫出" '與" '的表達式時，應特別注意將兩式"錯項對齊'，以便于下一步準確寫

8、出" '的表達式； 3、裂項相消法：將數(shù)列的通項裂成兩項之差求和時，正負相消，剩下首尾若干若。 常見裂項有： 、 4、倒序相加法：利用等差數(shù)列前 項和公式的推導方法求解，將數(shù)列正著寫，倒著寫再相加。 Þ ¹ × =+ +) 0 (221 n n n na a a a naÞ × = 為常數(shù)） q k q k ann, ( na nÞ - = 為常數(shù)） （ q k q k snn, ) 1 ( na naïîïíì<=>= = -+0001l ln na aïîïíì<=>=+1111lnnaa0 >na) (n f a n = ) (n fn na nb q n nb a × n qnsnqsn nqs s -)1 1(1) (1k n n k k n n +- =+) (1 1n k nk n k n- + =+ +n 說明 錯位相減法求和 若數(shù)列 是等差數(shù)列， 是等比數(shù)列，則求數(shù)列 的前 項和時，可采用錯位相減法； 當?shù)缺葦?shù)列公比為字母時，應對字母是否為 1 進行討論； 當將 與 相減合并同類項