1、第一節數列的概念與簡單表示法 2017 考綱考題考情考綱要求真題舉例命題角度2015，全國卷I,17,12 分（遞推通項、1.以考查 S 與 an的關系為主，簡單的1. 了解數列的概念和幾種簡單的表示求和）遞推關系也是考查的熱點；方法（列表、圖象、通項公式）；2014，全國卷I,17,12 分（遞推、通2.題型以選擇題、填空題為主，要求相2. 了解數列是自變量為正整數的一類項、等差）對較低，但內容很重要，特別是S 與函數。2014，全國卷n,17,12 分（遞推、等an的關系，對以后研究數列的通項有很比、求和）重要的作用。2016，浙江卷，13,6 分（an與$的關系）微知識小題練自|主|排|

2、查1 數列的有關概念（1）數列的定義按照一定順序排列的一列數稱為數列。數列中的每一個數叫做這個數列的項。數列的分類分類原則類型滿足條件按項數分類有窮數列項數有限無窮數列項數無限按項與項 間的大小 關系分類遞增數列an+1an其中n N*遞減數列an+1an常數列an+1=an2按其他有界數列存在正數M使 1an| M標準分類擺動數列從第二項起，有些項大于它的前一項， 有些項小于它的前一項的數列(3)數列的表示法數列有三種表示法，它們分別是列表法、圖象法和解析式法。2數列的通項公式(1) 數列的通項公式如果數列an的第n項與序號n之間的關系可以用一個式子來表達，那么這個公式叫做這個數列的通項公式

3、。(2) 已知數列an的前n項和S,則an=S_,n=1, 廠i,n2。微點提醒1 數列是按一定順序排列的一列數， 數列an為ai,a2,a3,，an。而集合ai,a2,a3,an的元素沒有順序。2 數列的項是指數列中某一確定的數，而項數是指數列的項對應的位置序號。求數列的通項公式就是找出數列的項an與項數n的函數關系式。根據數列的前幾項求出的數列的通項公式不唯一。3 數列不僅有遞增數列、遞減數列，還有常數列、擺動數列。4已知Sn求&，要對n= 1 和n2兩種情況進行討論。 小|題|快|練一、走進教材_1n1 (必修 5F31例 3 改編)在數列an中，a1= 1,= 1 +(n2)，

4、貝Uas=()a15c.1111 111【解析】由已知得，a2=1 + =1+刁=2,a3=1 一一=1 一廳=7，a4=1 + =1+=3,a11a222a31【答案】 DD-1 1a5=1a4=13I。故選 Do2 .（必修 5P33A 組 T5改編）觀察下列各圖，并閱讀下面的文字，像這樣,得的交點最多有_ 個。10 條直線相交所2條直線相交，3條直線相交，4條直線相最多有1個交最多有3個交最多有6個交【解析】 依則a2= 1,an=an-1+ (n 1),n3,而anan1=n 1,由累加法求得an= 1 + 2+ (n 1)所以a10=10X92=45。【答案】 45:、雙基查驗1.

5、數列3,7 , 11,15，的通項公式可能是()A.an= 4n 7C.an= ( 1)n(4n 1)【答案】C2. 設數列an的前n項和 S=n2,則a$的值為()A. 15C. 49【解析】T Sn=，. a1=S= 1。22當n2時，an=SS1=n(n 1) = 2n 1。當n= 1 時符合上式，B.an= ( 1)n(4n+ 1)D.an= ( 1)n+1(4n 1)B. 16D. 64an= 2n 1,. a8= 2X8 1 = 15。故選 A。【答案】 A3. （2016 赤峰模擬）已知數列滿足a1= 0,+1= 寸3an3an+ 13, n N*，則a2 015等于()A. 0

6、C.3【解析】an、3根據題意,由于數列an滿足a1= 0 ,an+1=,那么可知a1= 0 ,a2=3an+ 13,a3= 3,a4= 0,a5=寸 3,a6=寸 3,故可知數列的周期為3,那么可知a2 015=a2= 3。故選 B。【答案】B24.已知數列an的前n項和S=n+1，貝Uan=_【解析】當n= 1 時，ai=Si= 2,當n2時，an= SiSn1=+ 1 (n 1)1 2+ 1 = 2n 1,2,n= 1,故an=I?n 1,n2。2,n= 1,【答案】i|2n1,n2u5.已知數列an滿足a1= 1,an+1= 3an+ 2,貝Uan=_【解析】因為an+1= 3an+

7、2,所以an+1+ 1 = 3(an+ 1),=3，所以數列an+ 1為等比數列，公比q= 3，又a1+ 1 = 2,所以an+ 1 = 2 3n1,所以an=2 3“11。【答案】 2 3n1 1微考點大課堂考點一由數列的前幾項求數列的通項公式【典例 1】 根據數列的前幾項，寫出下列各數列的一個通項公式。【解析】(1)數列中各項的符號可通過(1)n表示，從第 2 項起，每一項的絕對值總比它的前一項的絕對值大6,故通項公式為an= ( 1)n(6n 5)。1 ) 8 了 O8(1 )數列變為 91-110 , 91荷，81荷，, 故an= 9 11 1,7 , 13,19，；2 0.8,0.8

8、8,0.888，；an+1+1所以云+112,5138 , 16 ,296132, 64,因此把第 1 項變為一nn2 3故an= ( 1)。反思歸納求數列的通項公式應關注的四個特征(1)分式中分子、分母的特征;(2)相鄰項的變化特征;(3)拆項后的特征;的通項不可能是(律，則實數對(a,b)可能是()故選 Co【答案】(1)C (2)C(3)各項的分母分別為21,22,23,24，,易看出第 2,3,4 項的分子分別比分母小3。原數列化為-葺迢,22323324 3丁，,【答案】(1)an= ( 1)n(6n 5)(2)an= 9 1百nan= ( 1)彎3(4)各項符號特征等，并對此進行歸

9、納、化歸、聯想。【變式訓練】(1)(2016 長沙一模)已知數列的前4 項為 2,0,2,0，則依此歸納該數列A.an= ( 1)B.an=2, n 為奇數nnC.an=2sinD.an=cos(n1)n +1(2017 沈陽模擬)已知數列_23,帝pa+bab，10， 根據前三項給出的規A. (19,3)B.(19 , 3)19C.三，D.192，【解析】(1)對n= 1,2,3,4 進行驗證,nnan= 2sin 不合題意，故選C。(2)由前三項可an=亠 2n ，所以ab= 8,a+b= 11,即考點二由an與S的關系求通項公式【典例 2】（1）（2016 益陽調研）已知數列劉的前n項和

10、為S,且ai= 1,an+1= S+1,其中nN*，則數列an的通項公式是an=_。（2）（2016 浙江高考）設數列an的前n項和為S。若$= 4，an+1= 2S+ 1，n N,貝Ua1an+1=S+ 1,【解析】 (1)當n2時，由*得an+1an= Si Si-1=an,即卩an+1= 2an,|an=Sn-1+ 1 ,又因為當n= 1 時，a2= 1+ 1 = 2,所以數列an是以 1 為首項，2 為公比的等比數列，則數列 an的通項公式是an= 2n-1。31+a2= 4由于*i，解得a1= 1。由an+1=S+ 1Sn= 2S+ 1 得Sn+1= 3S+ 1，所以Sn02= 2a

11、1+ 13$+1所以 lSn+1是以 3 為首項，3 為公比的等比數列，所以Sn+ = |心，即Sn= 琴1所以S5= 121。【答案】n1(1)2 (2)1 121反思歸納S與an關系問題的求解思路根據所求結果的不同要求，將問題向不同的兩個方向轉化。利用an= SSn-1（n2）轉化為只含Sn,Sn-1的關系式，利用SS-1= /（門2）轉化 為只含an,an1的關系式，再求解。【變式訓練】（2016 丹東模擬）已知數列an的前n項和為S, a= 1, S= 2an+1,則S=()n1A. 2C.r-1【解析】 解法一：因為S= 2an+1,所以當n2時，Si1= 2an，所以 an = S

12、Sn1= 2an+12an(n2),an+13 即=-(n2),an21132又a2= 2，所以an=2 J(n2)。1i3 11當n= 1 時，a1= 1 工 2x2= 3,B.1D.21卩，n= 1,所以an= 1i3n2計”3,【答案】2an所以 Si= 2an+1= 2x2匕丿!|)T。故選Bo解法二：由 S = 2an+1= 2( S+1S)3得S+1= 2$,又S=a1= 1,s=S3n1n I 故選Bo【答案】 B考點三由數列的遞推關系求通項公式母題發散【典例 3】 設數列an中，a1= 2,an+1=an+n+1,貝Uan=(a2ai)+ (a3a?)+ (a4a3)+(ana

13、n1)+ai= (2 + 3 + 4+ +n) + 2 =2小n+n+2o22n+n+ 22【解析】由條件知an+1an=n+ 1,【母題變式】1.若將本典例“an+1=an+n+1 ” 改為an+1=n+an”，如何求解?【解析】n-an+1-an,n+ 1an+1nan=n+ 1anan-1an-2nan1an2an3a3a?n1nn2n1n 3n22 若將本典例如何求解?【解析】2anc c 11-an+1=,a1= 2,. an0,+ 匚an+ 2an+1an1，即丄-=丄,2an+1an2 an+1an則an=【答案】當n為奇數時，Tan+1+an= 2n,an+1=n（n+ 1 為

14、偶數），故an=n。角度一：數列的周期性【典例 4】（1）在數列an中，ai= 1,a2= 5,an+2=an+ian（n N），貝Ua2 015等于12an,0wanW2,（2016大興一中模擬）數列an滿足an+1=12an 1, 2an1,第 2 017 項為【解析】（1）解法一：由a1= 1,a2= 5,an+2=an+1an（n N）可得該數列為 1,5,4 , 1,5,4,1,5,4 5 6 7，。由此可得a2 015=a335X6+5a5= 5。4 .已知ai且anani=f(n)，可用累加法”求an5 已知a1且 =f(n)，可用“累乘法”求an16 .已知ai且an+1=q?

15、h+b，貝Uan+i+k=q(an+k)(其中k可由待定系數法確定)，可轉化為等比數列an+k。1 1 1丄旦以2為首項，2為公差的等差數列。an1 1=+ana1（n1）x!=n2,2an=。n【答案】3 若將本典例條件換為“ a1= 1,an+1+an= 2n”，如何求解?【解析】an+1+ai= 2n，an+2+an+1= 2n+ 2,故an+2an= 2 ,即數列an是奇數項與偶數項都是公差為 2 的等差數列。當n為偶數時，a2= 1，故an=a2+ 2綜上所述,n,n為奇數，n1,n為偶數,n1,n N。【答案】n,n為奇數，n1,n為偶數,n1,n N反思歸納由遞推關系式求通項公式

16、的常用方法an。考點四數列的性質多維探究a1=i，則數列的解法二:an+2=an+1一an,an+3=an+2一Nn+1,兩式相加可得an+3= an,an+6=a“。a2 015=3335X6+5= 5。31(2)-a1=，a2=2a11=o5524a3=2a2= o a4=2a3=5531-a5= 2a4 1 = ,a6= 2a51 = ?。55該數列周期為T= 4。二a2 017=a1= 5。5【答案】 (1) 5 (2)35角度二：數列的單調性【典例 5】已知數列an的通項an= (n+1) 罟n(n N*)，試問該數列an有沒有最大項？若有，求出最大項和最大項的項數；若沒有，說明理由

17、。當n0,即卩an+ian；當n= 9 時，an+1an= 0,即即an+1=an；當n9 時，an+1an0, 即卩an+1ano故aia2a3aiiai2,2 .解決數列周期性問題的方法先根據已知條件求出數列的前幾項，確定數列的周期，再根據周期性求值。微考場新提升1.若數列a.=-+-+ 士+ 2，則a5a4=()【解析】tan+1 a = (n+ 2)10n+1(丄4、后-(n+ 1)俚、n=型L 9-n11 11 11,數列an有最大項ao或ao，其值為 10 9,其項數為 9 或 10。【答案】 數列an中有最大項ao或a10,其值為 10 罟)，其項數為 9 或 10o反思歸納1.

18、解決數列的單調性問題可用以下兩種方法(1)作差比較法：根據an+1an的符號判斷數列an是遞增數列、遞減數列或是常數列。(2)作商比較法：根據an+1an(an0 或an0)與 1 的大小關系進行判斷。n+ 1n+ 22n1列”的（）A.充分不必要條件D.既不充分也不必要條件則有an+1-an0,即 2n+ 12 入對任意的n N 都成立，于33入2,但反過來，由入不能得到 入1,因此“入T是“數列an為遞增數列”的充分不必要條件，故選Ao答案 A4 .數列an中，已知a1= 1,a2= 2,an+1=an+an+2(n N*)，貝Ua?=_。解析 由已知an+1=an+an+2,a1= 1,a2= 2,能夠計算出a3= 1,a4= 1,a5= 2,a6= 1,a7=1o答案 15.已知數列an的前n項和為Sn,Sn= 2ann,貝Uan=_。解析 當n= 1 時，S=a1= 2a1 1,得a1= 1,當n2時，an=SnS1= 2ann 2an1A.i0B.C.9o19D.90解析iiiiia5=6+7 +8+9+io,1111a4=5 + 6+ 7+ 8,1111丄-a5a4= 9+尤-5=