1、第 2 課時 簡單的三角恒等變形題型一三角函數式的化簡已知 COS 0由兩角差的正弦公式可得In 0,n1 n 1所以 O0, 20 io,7t根據同角三角函數基本關系式可得cos 230=5，例 1化簡:4212cosx-2cosx+ 22tanin27t4 +xn4-3 書3=10三看式子結構與特2例 2（1）（2016 合肥聯考）已知a,B為銳角，cos15. 3a =7,sin(a + 3)=4,則 cos3（2）三角函數式化簡要注意觀察條件中角之間的聯系（和、差、倍、互余、互補等）,和三角函數公式之間的共同點.(1)已知 cos(x- -6)= ，貝 y cosx+ cos(x-3)

2、=nx-7)3X(- * =-1.=2cos2題型二三角函數的求值命題點 1 給值求值問題尋找式子跟蹤訓練 1答案解析=cos，且 3cos 2-1(2)D(1)cosx+ cos(x-3)1x+ qcosx+a =sinB.D.7-a，則1718sin 2a的值為（(2)cos 2a=sinn-2a=sin=2si n代入原式，得6sin-a =sina ,707na 1 , n，cosn1a =-,46 sin 2a =cos-2a2inxinx= . ?3cos(3=jcosx+27 -n44-an44431答案 2解析/a為銳角，sina=,1124/37=7 .T a ,3 (0,2

3、)， -0a + 3n又Tsin(a + 3)0,1+2X7n0a亍tan 2a3)=1+an?atan331+ _47=1311-x -471vtan3 = 70.2又vtan 2a2ta na1tan2a111213340,已知a,(0,答案(2)vtana =tan(ran1川a 3 trilla 3+tan3tan(2tan35n 3n , n2a 30,-2 a 3 =引申探究a,3為銳角，sina=-5 , cos3=-，貝y a+3=答案2 ,5 3 10510.25x10Tx齊=y.n又 0a + 30,3 n ,3n亍，因此 sin(+ 3)=sin(3一a)+2a-cos

4、jx寸3.I n討論f(x)在區間| 才，4一7t的單調性.所以 cos()sin 2)sin 25n又a+34, 2n，所以7n4，故選 A.8=4sinx2cosx+ 23sinx 3=2sinxcosx+ 2 3sin2x 3=sin 2x+ 3(1 cos 2x) 3=sin 2x 3cos 2x= 2sin所以f(x)的最小正周期T=2n= n.n令z= 2x 3，則函數y= 2sinz的單調遞增區間是, nn n由一2+ 2kn W2X W + 2kn,k Z,n5n_ _得一 +knxW+kn,kZ.12 12i n n In5n. n n設A=才，4,B=x| 12+kn Wx

5、Wp+kn,k Z，易知AnB=乜，才.所以當x ,n時，f(x)在區間12，n上是增加的，在區間卜專,n上是減少的.思維升華三角恒等變形的應用策略(1)進行三角恒等變形要抓?。鹤兘?、變函數名稱、變結構，尤其是角之間的關系；注意公式的逆用和變形使用.把形如y=asinx+bcosx化為y=a2+b2sin(x+ )，可進一步研究函數的周期、單 調性、最值與對稱性.跟蹤訓練 3(1)函數f(x) = sin(x+$ ) 2sin $ cosx的最大值為 _ .函數f(x) = sin(2x-4) 2 邁 sin2x的最小正周期是 _ .答案(1)1(2)n解析(1)因為f(x)=sin(x+ $

6、 ) 2sin$ cosx=sinxcos $ cosxsi n$ = sin(x $),1Wsin(x $ )W1,所以f(x)的最大值為 1.f(x) = 4tanxcosxcos x -專=4si nxcos-2+2kn ,卜 2knk乙9f(x) =-22sin 2xcos 2x- 2(1 cos 2x)=fs in 2x+cos 2x 2 = sin (2x+寸),思想與方法系列9 化歸思想和整體代換思想在三角函數中的應用典例 (12 分)(2015 重慶)已知函數f(x) = sin xsinx 3cos2x.(1)求f(x)的最小正周期和最大值； (2)討論f(x)在F6，上的單

7、調性.6 3思想方法指導(1)討論形如y=asinwx+bcoswx型函數的性質，一律化成y= . a2+b2sin(wx+0)型的函數.研究y=Asin(wx+0)型函數的最值、單調性，可將wx+0視為一個整體，換元后結合y= sinx的圖像解決.規范解答因此f(x)的最小正周期為n，最大值為 2 ，3.6 分 (2)當xn,2n時，0W2X-n, 7 分n n從而當 0W2x亍w ,即才Wxw時，f(x)是增加的,9 分nn5n2n當2x百Wn,即12 WxW丁時，f(x)是減少的.11 分n5n 5n2n綜上可知，f(x)在|,上是增加的；在12，亍 上是減少的.12 分2n2=cosx

8、sin1(1 + cos 2x) = qsin 2x 2cos 2x(1)f(x) = sinx 3cos2x字 sin23，4 分3.10課時作業n1. (2016 青島模擬)設 tan(a /)1n4,則 tan（a+壬）等于（）A. 2 B .答案解析因為ntana 1tan(a T)=1+tana14,所以 tan5 斗ntana +13,故tan(a+才)=1tana =4，故選 C.2. (2016全國甲卷）若 cos 待a= 5 則 sin 2a等于（）7A.251B. - C .5答案解析因為 sin=cos專2a=2cos24 a 1 ,又因為 cos | n 4 -a= 5

9、,所以sin=29 1 =257 故選 D.25（2016 福州模擬）已知 tana=3，則sin 2a ch 的值等于()A.B.C.D.答案解析sin 2a2sinacosa2=2cosacosa=2tan=2X3=6.2,且-n2 a0,. 2 .則2sina+sin2a等于()COSA.B.3,510C.31010答案解析ntana +1 由tan(a+T)=1K 12，得 tana13.11123)=cosa=sin(亍a).n由 sin(a3) = sin( a)，得a3= ?n.2 a 3 =三.7nn12+kn ,12+knD.答案 C解析/f(x) = sin(2x+0) +

10、 .;3cos(2x+0)n又一2 a0,所以 sina10 -22sina +sin 2a2sincosSill a + cos asina+ COS5.(0 ,n7)，(0,且 tanA.B.c.D.答案解析tan1+sin3cos3，得 sinacosa即 sincos=cosa +cosasin3 ,=2“j2si na1+sin3os，則(1+sin3COS2、 . 55 .a (0n,y), 3(07t），亍a (0,7t6.函數f(x) = sin(2x+0) +3cos(2x+0) |0的圖像關于點6，0 對稱，則f（x）的單調遞增區間為（A.B.k ZC.13nn由題意知 2

11、X +9+3=kn(kZ),nnT| 9|_ra nn)，求f(y + 24).（1）f（自2n . n n=cos石+sin石cos石7t.33+ ,32 =42因為f(x) = cosx+ sinxcos1 + cos 2x1x=2+2sin 2 x1=2 + 2(sin 2x+ cos 2x) = ?+nx+7)，所以f(a+=2 + n(n n+齊)解析原式=sin 12cos 1222CUS212-I sn 122 3sin 482 3sin 48sin 24 cos 241sin 48=-4 3.10.函數f(x) = 3sin221.x 2sin x( wx0 的最小正周期為3(

12、1)求3的值;5n討論f(x)在區間0 , 6-上的單調性.冗解f(x)=4coswxcos(wx+石)3=2cos?wx2 3sinwxcoswx=1+cos 2wx3sin 2wx=1+2cos(2wx+專).冗(1)因為函數f(x) = 4coswxcos(wx+3)(w0)的最小正周期為n,2n故=n,所以w= 1.2w由(1)知f(x) = 1 + 2cos(2x+才),x 0 ,辛，,nn故2x+ 32 n ,當n2x+nn時，即 0 x時,333冗f(x) = 1 + 2cos(2x+ 石)為減函數；所以f(a+24)173當n2x+n2 n，即x于時，336nf(x) = 1 + 2cos(2x+ 3)為增函數，18所以f（x）=i+2cos（2x+n）的減區間為o, n，增區間為（n,罟】-2n13.已知函數f(x)= 2cos3x1 + 2 3coswxsinwx(0vv1)，直線x=3 是f(x)圖像的一條對稱軸.(1)求3的值；已知函數y=g(x)的圖像是由y=f(x)圖像上各點的橫坐標伸長到原來的2 倍，然后再向左平移1 2訐個單位長度得到的，若g2a+-3=|, a0 ,寺，求 sina的值.解(1)f(x)=2cos2wx1+2 3coswxsinwx=cos 2wx+3sin 2wx=2sin j2wx+ -6.函數f（x