1、3個附加題專項強化練（一）選修4系列（理科）A組1.本題包括A、B、C、D四個小題，請任選二個作答A.選彳41:幾何證明選講由相交弦定理，得 CA CB = CD CE,又因為CE = 2x=所以 OCE的面積S= ；OH CE = 3 邛 乂平=邛B.選彳4- 2:矩陣與變換求a, b的值;（2）若矩陣A的逆矩陣為B,求B2如圖，已知圓 O的直徑AB = 4, C為AO的中點，弦 DE過點C且因為 EH=|CD = 346,所以 OH2=OE2EH2=22 3.642=5-,所以 OH = "10.a所對應的變換 T把點（2,3）變成點（3,4）.23解：（1）由題意，得 b6 +

2、 3a= 3, 即2b- 6=4.b= 5.a= 1,3(2)由(1),得 A =由矩陣的逆矩陣公式得B =滿足CE=2CD,求 OCE的面積.解：設 CD = x,則 CE = 2x.因為 CA= 1, CB=3,所以1X 3=2x2,解得x=6取DE的中點H,連結OH ,則 OH XDE.已知a, b是實數，如果矩陣3 A =b34，-2a-22312112 -15 -315113所以B2 =-1 2- 13 5 3C.選彳44:坐標系與參數方程已知圓O1和圓O2的極坐標方程分別為 p= 2, -22 pcos 0-4 =2.把圓01和圓02的極坐標方程化為直角坐標方程；(2)求經過兩圓交

3、點的直線的極坐標方程.x= pcos 0,解：由聲=x2+y2,且得圓。1的直角坐標方程為x2 + y2=4,y= psin 0,由 p22y2 pcos 0 4 =2,得 p2 2 p(cos 0+ sin 0)= 2,x2+y22(x+y)=2,故圓02的直角坐標方程為x2+ y2- 2x- 2y- 2= 0.x2+ y2 4= 0,(2)聯立方程兩式相減，得經過兩圓交點的直線方程為x+yx2+y2-2x- 2y-2=0,-1 = 0,該直線的極坐標方程為pcos 0+ psin 0- 1=0.D.選彳45：不等式選講解不等式：|x-2| + x|x+2|>2.解：當 xw2 時，不

4、等式化為(2-x)+x(-x-2)>2,即一x23x>0,解得一3<x< -2；當一2vxv 2 時，不等式化為(2-x)+x(x+2)>2,即 x2+x>0,解得2vxv 1 或 0vxv2;當 x>2 時，不等式化為(x-2) + x(x+ 2)>2,即 x2+3x-4>0,解得 x>2.所以原不等式的解集為x|3vxv 1或x>0.2.本題包括A、B、C、D四個小題，請任選二個作答A.選彳41:幾何證明選講如圖，圓。是 ABC的外接圓，點D是劣弧BC的中點，連結AD并延長，與以 C為切點的切線交于點PC_ BD PA= A

5、C.證明：連結CD,因為CP為圓O的切線,所以/ PCD = / PAC,又/P是公共角，所以 PCDA PAC,PC CD 所以 7TT=T7T，PA AC因為點D是劣弧BC的中點,所以 CD = BD,即 PC- BD. PA ACB.選修4- 2:矩陣與變換已知矩陣a A=28 ,求矩陣A的特征值.4解：因為a+ 62+ 2d廣a+ 6=8,所以2+2d=4解得a=2, d= 1.所以所以矩陣A的特征多項式為f（4=入一 2 一 3=(卜 2)(卜 1)-6 =令f（4=0,解得矩陣A的特征值為C.選彳44:坐標系與參數方程一x = t+ 1在平面直角坐標系 xOy中，已知直線l:（t為

6、參數）與橢圓y = 7-2tx = acos C:y= 3sin9e (e為參數，a> 0）的一條準線的交點位于 y軸上，求實數a的值.解:由題意，直線l的普通方程為2x + y=9,橢圓橢圓C的普通方程為C的準線方程為a=2j2（負值舍去）.9a2=9,解得D.選彳45:不等式選講求函數y= 3sin x + 242 + 2cos 2x的最大值.解：y= 3sin x+ 22 + 2cos 2x= 3sin x+ 4，cos2 x, 由柯西不等式得y2= (3sin x+4cos2x)2< (32+42)(sin2x+ cos2x)= 25,ymax = 5.一 .一 34 .當

7、且僅當4sin x= 3|cos x|,即sin x=g, |cos x|=g時等3成立，所以所以函數 y= 3sin x + 22 + 2cos 2x的最大值為 5.3 .本題包括A、B、C、D四個小題，請任選二個作答A.選彳41:幾何證明選講如圖， ABC的頂點A, C在圓。上，B在圓外，線段 AB與圓O交于點M.的長度;若BC是圓。的切線，且 AB=8, BC = 4,求線段 AMBN =2MN .(2)若線段BC與圓。交于另一點 N,且AB = 2AC,求證:解：(1)設 AM =t,則 BM =8 t(0<t<8),由切割線定理可得 bc2=bm ba.AM的長度為6.(

8、2)證明：由題意，/ A = /MNB,Z B = Z B, . BMN bca ,BN MN1 1 1BA. 16=8(8 t),解得 t=6,即線段 AB = 2AC, BN = 2MN .B.選修4- 2:矩陣與變換已知變換T把平面上的點(34)(5,0)分別變換成(2, 1), (1,2),試求變換 T對應的矩陣M.a解：設M = c a由題意得，c1a=一 5'3a 4b=25a=- 1, 3c-4d=-解得b_13b 20，5c=2,2C=5'd_11 d20，1一5即M =2511201320C.選彳44:坐標系與參數方程在極坐標系中,求直線 9=4(p R)被曲

9、線p= 4sin。所截得的弦長.解：法一：在p= 4sin。中，令 0=:，得 p= 4sin； = 2v2,即所求弦長為 2>/2法二：以極點O為坐標原點，極軸為 x軸的正半軸建立平面直角坐標系.B.選修4- 2:矩陣與變換已知矩陣的一個特征值入=-1及對應的特征向量1e=,求矩陣M的一 1一兀 .直線。=4(pC R)的直角坐標萬程為 y=x,曲線p= 4sin。的直角坐標方程為 x2+y24y=0,x= 0,x= 2,由得或y= 0y=2,故直線0=4(pCR)被曲線P= 4sin。所截弦長的端點坐標分別為(0,0), (2,2),所以直線0=4(pe R)被曲線p= 4sin 0

10、所截得的弦長為22+ 22 = 2廖D.選彳45:不等式選講已知 awb,求證：a4+ 6a2b2+ b4>4ab(a2 + b2).證明：a4+6a2b2+b4 4ab(a2+b2)= a4+ 6a2b2+ b4- 4a3b 4b3a= a4-4a3b + 6a2b2 4b3a + b4= (a-b)4,a w b,a4+ 6a2b2+ b4 4ab(a2+ b2)>0 ,a4 + 6a2b2+ b4>4ab(a2+ b2).4 .本題包括A、B、C、D四個小題，請任選二個作答A.選彳41:幾何證明選講£如圖，AB是圓。的直徑，弦 CA, BD的延長線相交于點E,

11、 EF / ；尸垂直BA的延長線于點 F ,連結FD.小匕日求證：/ DEA =/ DFA.證明：連結AD , AB是 .Z ADB = 90° , .Z ADE = 90° ,又 EF LFB , ./ AFE =90° ,no圓。的直徑， .A, F, E, D四點共圓, ./ DEA = Z DFA.1解：由題知，31 -a=-13-b-13-b= 1,逆矩陣.a= 2解得b=21 .det(M) =32= 1X2-2X3=-4,21 1_2 2M 1 =3 _ 14 4C.選彳44:坐標系與參數方程_ t已知直線l的參數方程為 x + 2 （t為參數），曲

12、線C的極坐標方程為p= 3cos。，試y=t判斷直線i與曲線c的位置關系.解：由題意知，直線l的普通方程為2x-y-2=0,由P2=x2+y2,且x= "o' 0， 得曲線C的直角坐標方程為x3 2+y2=9,它表示圓.y= psin 0,24由圓心2, 0到直線l的距離d =W<2,得直線l與曲線C相交.由柯西不等式可得D.選彳45:不等式選講111設 x, y, z均為正頭數，且 xyz=1, 求證： 過+靈+ 1xAxy+yz+ zx.證明：. x, y, z均為正實數，且 xyz=1,二 1 L=z x y x3y y3z z3x x2 y2 z2'_z

13、_xyx2+y2+z2 (xy + yz + zx)>管+ 軍+ xyz2=(xy+yz+zx)21,1,1、.沃+ y3z+ 春 >xy+yz+ zx.1 .本題包括A、B、C、D四個小題，請任選二個作答A.選彳41:幾何證明選講如圖，已知 ABC內接于。O,連結AO并延長交。于點D, =/ ADC.求證：AD BC = 2AC CD.證明：/ ACB = / ADC , AD 是。O 的直徑，xxyz+vxyz+xxyz 2AD垂直平分BC,設垂足為 E, / ACB = / EDC , / ACD = / CED ,ACDA CED,.AD _ AC CD- - CE，1-

14、AD 2BC = ACCD, .AD BC=2ACCD.B.選彳4 2:矩陣與變換一 1在平面直角坐標系 xOy中，設點A（1,2）在矩陣M =0點A',將點B（3,4）繞點A'逆時針旋轉90°得到點B',求點0對應的變換作用下得到1B'的坐標.解：設 B' (x, v),一 1依題意，由012,得A' (A' B' =(x-1, y2).記旋轉矩陣0 -110x- 1,即 y-2-2x 1y-2x= - 1得y= 4.所以點B'的坐標為（1,4）.C.選彳44:坐標系與參數方程在平面直角坐標系 xOy中，已知直

15、線l的參數方程為x = 1 8 + t>t(t為參數),曲線Cy=2x= 2s2,的參數方程為 丫_ 2亞$ （s為參數）設P為曲線C上的動點，求點 P到直線的距離的最小值.解：直線l的普通方程為x-2y+8=0. 因為點P在曲線C上，設P（2s22亞s）, 從而點P到直線l的距離d=712+ 22|2s242s+ 8| 2 s V2 2+ 4當 s=應時，dmin=455.因此當點P的坐標為（4,4）時，曲線C上點P到直線l的距離取到最小值 平5D.選彳45:不等式選講已知 a, b, cC R,4a2+ b2+ 2c2= 4,求 2a+b+c 的最大值.解：由柯西不等式，得(2a)2

16、+b2+(娘c)212+12+ 表 2 >(2a+b+c)2.因為 4a2+b2+2c2=4,所以(2a+b+ c)2< 10.所以y 10w 2a+ b + cw y 10 ,所以2a+b+ c的最大值為 g 當且僅當a= 半，b=251°, c= 邛時等號成立.2.本題包括A、B、C、D四個小題，請任選二個作答A.選彳41:幾何證明選講如圖，AB是圓。的直徑，弦BD, CA的延長線相交于點 E,過E作BA的延長線的垂線，垂足為 F.求證：AB2= BE BDAE AC.證明：如圖，連結 AD,因為AB為圓O的直徑，所以 ADXBD.又EF XAB,則A, D, E,

17、F四點共圓，所以 BD BE = BA BF .連結 BC,則/ AFE = / ACB , / BAC = / EAF ,得ABCs aef ,所以A區=ACAE AL即 AB AF = AE AC,所以 BE BD - AE AC= BA BF - AB AF = AB (BF -AF) = AB2.B.選彳4- 2:矩陣與變換 一，、，一1已知二階矩陣 M有特征值 Q 8及對應的一個特征向量 e1=，并且矩陣M對應的變1換將點（1,2）變換成（2,4）.（1）求矩陣M;（2）求矩陣M的另一個特征值.解：（1）設M= a b,c d3.1 a + b 1由題息，M = 8-a+2b-2一

18、c+ 2d4a+ b = 8,a= 6,c+ d = 8,b= 2,解得a+2b= 2,c= 4,c+ 2d = 4,d=4,k-6令特征多項式fu）= _4一 2=(入一6) (* 4)8=0, 卜4解得3=8, 22=2.矩B$ M的另一個特征值為 2.C.選彳44:坐標系與參數方程, ，一、- -、，TT在極坐標系中，直線l的極坐標萬程為 0=3（p R）,以極點為原點，極軸為 x軸的正x=2sin a, 半軸建立平面直角坐標系，曲線 C的參數方程為（a為參數）.求直線l與曲y= 1 cos 2 a線C的交點P的直角坐標.解：由題意得，直線l的直角坐標方程為y=，3x,1 C曲線C的普通

19、萬程為y = 2x2（x -2,2）,x = 0,x= 2V3,聯立解方程組得或（舍去）.y= 0y= 6故P點的直角坐標為（0,0）.D.選彳45:不等式選講已知a, b, c為正實數，求證：b + c + a>a + b+c.a b c證明：法一：（基本不等式）b2c2a2a+ - > 2b, b+> 2c, c+ "c>2a,a+ -+ b+ -+ c+ 2a+ 2b + 2c, a b c.,.b2-+ A%a+b+c.法二：（柯西不等式）由柯西不等式得 （a+ b+ c） + 7" + >（b + c+ a）2,b + c + a-&

20、gt;a+ b+ c.a b c va b c3 .本題包括A、B、C、D四個小題，請任選二個作答A.選彳41:幾何證明選講如圖，已知 AB為圓。的一條弦，點 P為弧AB的中點，過點 P任 產士一一一、 作兩條弦PC, PD分別交AB于點E, F.I A 一 求證：PE PC= PF PD.證明：連結 PA, PB, CD, BC.因為點P為弧AB的中點，所以/ PAB =Z PBA.又因為/ PAB =Z PCB,所以/ PCB =Z PBA.又/ DCB =Z DPB,所以/ PFE =/PBA + /DPB =/PCB + /DCB = / PCD, 所以E, F , D, C四點共圓.

21、所以 PE PC= PF PD.一八cc，-1已知曲線 C: x2+2xy+2y2=1,矩陣A=2所對應的變換T把曲線C變換成曲線0B.選彳4 2:矩陣與變換Ci,求曲線Ci的方程.2所對應的變換T作用下得01解：設曲線C上的任意一點P(x, y),點P在矩陣A =1到點 Q(x' , y').x = y ,所以 x' y'y=2代入 x2+2xy +2y2=1,得 y' 2+2y? x "y +2 x y 2=1,即 x' 2+y? 2=2,所以曲線C1的方程為x2+y2=2.C.選彳44:坐標系與參數方程在極坐標系中，已知點 A 2

22、, 2，點B在直線l： pcos 0+ psin 0= 0(0< 9<2nt比.當線 段AB最短時，求點B的極坐標.解：以極點為原點，極軸為x軸正半軸，建立平面直角坐標系，則點A 2, 2的直角坐標為(0,2),直線l的直角坐標方程為 x + y= 0.AB最短時，點B為直線x-y+2= 0與直線l的交點，x y+2=0, x = 1,解得所以點B的直角坐標為(一1, 1).x + y=0,y= 1.所以點B的極坐標為極于.D.選彳45:不等式選講求函數f(x)=5Vx+08 2x的最大值.解：易知函數f(x)的定義域為0,4,且f(x)>0.由柯西不等式得52+ (>

23、/2)2(近)2 + (4 x)2 > (5 qx + q2 yj4-x)2,即 27X4>(5 小 + $、/4=X)2,所以 5y/X + yj8-2xW643.當且僅當 用5環三,即x = 120時取等號.所以函數f(x)=5/x+夜二2x的最大值為6寸3.4 .本題包括A、B、C、D四個小題，請任選二個作答A.選彳41:幾何證明選講如圖，AB是圓。的直徑，C, D是圓O上位于AB異側的兩點.證明：/ OCB = /D.證明：因為B, C是圓。上的兩點，所以 OB = OC.故/ OCB = Z B.又因為C, D是圓O上位于AB異側的兩點，故/B, / D為同弧所對的兩個圓周角，所以/ B = Z D.因此/ OCB = Z D.B.選彳4- 2