1、線代公式定理章一、行列式1、n階行列式（1）（定義)由自然數1，2，···，n組成的一個有序數組稱為一個n階排列，記為j1j2jn.（2）（定義)在一個排列中，若一個較大的數排在一個較小的數的前面，則稱這兩個數構成一個逆序.一個排列中所有逆序的總數稱為這個排列的逆序數.用t(j1j2jn)表示排列j1,j2,jn的逆序數.逆序數是偶數的排列稱為偶排列，逆序數是奇數的排列稱為奇排列。(3)（定義）把一個排列中某兩個數的位置互換，而其余的數不動，就得到一個新的排列，這種變換稱為排列的一個對換。（4）（定理）一次對換改變排列奇偶性。（5）（推論）任何一個n階排列都可以通

2、過對換化成標準排列,并且所作對換的次數的奇偶性與該排列的奇偶性相同。（6）三階行列式的計算：I沙路法 II對角線法則（7）三角行列式的計算：下（上）三角形行列式的值等于主對角線上元素的乘積，即2、行列式的性質（1）(性質)行列式與它的轉置行列式相等,即。（2）(性質)如果行列式某一行(列)元素有公因數 k, 則 k 可以提到行列式符號外邊。（3）（推論）如果行列式中某一行(列)元素全為零, 那么行列式等于零。（4）(性質)如果行列式中兩行（列）互換，那么行列式只改變一個符號。（5）(推論)若行列式中有兩行(列)相同, 則行列式的值為零。（6）(推論)如果行列式中兩行（列）的對應元素成比例，那么

3、行列式值為 0。（7）(性質)如果行列式某行(列)的各元素都可以寫成兩數之和, 則此行列式等于兩個行列式的和。（8）(性質)如果將行列式中某行（列）的各元素同乘一數k后，加到另一行（列）的各對應元素上，則行列式的值不變。（9）（性質）若aij=aji(i,j=1,2,n) ,則稱行列式 D為對稱的； 若 aij=-aji(i,j=1,2,n) ,則稱行列式D為反對稱. 由定義易知,在反對稱行列式中, aii=0(i=1,2,n)。3、行列式的展開與計算（1）（定義）在n階行列式 D=|aij|n中，劃掉元素 aij所在的第 i行和第 j列后,留下的元素按照原來的順序組成的 n-1階行列式稱為元

4、素 aij的余子式,記為Mij。稱為元素aij的代數余子式。·（2）（定理）n階行列式 D=|aij|n等于它的任意一行（列）的各元素與其對應的代數余子式乘積之和，即（3）定理1.3.2 n階行列式D=|aij|n中某一行(列)的各個元素與另一行（列）的對應元素的代數余子式乘積之和等于0.即 （4）兩個重要公式：（5）（定義）在n階行列式D中,任取k行、k列(1£k £n-1)，由這些行和列交叉處的元素按照原來的相對位置所構成的k階行列式N，稱為D的一個k階子式. 在行列式D中去掉k階子式N所在的行和列以后，剩下的元素按原來的順序構成的n-k階行列式M, 稱為N的

5、余子式若N所在的行序數為i1,i2,ik,所在的列序數為j1,j2,jk ,則稱為N的代數余子式。（6）(拉普拉斯(Laplace)定理) 在 n 階行列式 D 中任意選取k行（列） (1£ k £ n-1) , 則由這 k個 行（列）中的一切 k 階子式 N1,N2,Nt與它們所對應的代數余子式 A1,A2,At乘積之和等于D，即 其中 。4、克萊姆法則（1）(克萊姆(Cramer)法則) 如果線性方程組（1.4.1）的系數行列式 D0,則方程組有唯一解，并且解可以用行列式表示為，其中Dj (j=1,2,n)是把系數行列式 D中第 j列的元素用方程組（1.4.1）右端的常

6、數項b1,b2,bn代替后所得到的 n階行列式，即 （2）（定義）當線性方程組(1.4.1)右端的常數項 b1,b2,bn不全為零時，稱為非齊次線性方程組；當b1,b2,bn全為零時，稱為齊次線性方程組。（3）（推論）若齊次線性方程組 的系數行列式D0 ,則它只有唯一的零解。（4）（定理）若齊次線性方程組有非零解，則系數行列式D=0.5、數域(1)(定義)設P是由一些數組成的集合,包含0和1.如果P中任意兩個數的和、差、積、商（除數不等于零）仍在P中,那么我們稱P是一個數域。(2)（定理）設P為任何一個數域，則Q ÍP。章二、矩陣一、 概念（1）（定義）數域 P 上m×n個

7、數 aij (i=1,2,m; j=1,2,n)排成的m行n列數表稱為P上的一個m行n列矩陣，或稱為m´n矩陣,簡記為(aij) m×n或(aij). 其中aij 稱為這個矩陣中第i行第j列的元素.當P是實數域時,稱數表為實矩陣,當P是復數域時,稱數表為復矩陣。（2）行矩陣、列矩陣：在m´n矩陣A=(aij)中, 如果m=1,這時A=(a11,a12,a1n),稱其為行矩陣,也稱為n維行向量；如果n=1,這時 稱其為列矩陣,也稱為m維列向量。零矩陣：所有元素都為零的m´n矩陣 稱為零矩陣,記為Om×n或O。（3）在m´n矩陣A=(ai

8、j)中, 當m=n時,稱為n階方陣,簡記為(aij)n.（4）對于n階方陣A,可定義行列式 ，稱其為矩陣A的行列式,記為|A|。（5）形如 的矩稱為單位陣。（6）非主對角線上元素全為零的n階方陣稱為對角形矩陣,記為 簡寫為 。（7）當n階對角形矩陣主對角線上的元素 時,稱為數量矩陣 。（8）上(下)三角形矩陣：在n階方陣(aij)n中,如果主對角線下（上）方的元素全為零,即當i>j時,aij=0 (i,j=1,2, ,n) ,則稱之為上（下）三角形矩陣。二、運算（1）（定義）兩個矩陣A =(aij)m×n ,B=(bij)s×t ,如果m=s,n=t,稱A與B是同型矩

9、陣;若數域P上的同型矩陣A=(aij)m×n 與B=(bij)m×n的對應元素相等,即 aij =bij(i=1,2,m;j=1,2,n),稱A與B相等,記作A=B。（2）（定義）設A=(aij)m×n,B=(bij)m×n為數域P上的兩個同型矩陣，稱矩陣(aij+bij) m×n為矩陣A與B的和,記作 。（3）定義2.2.3 設A=(aij)m×n為數域P上的矩陣,kP.數k與矩陣A的每個元素相乘后得到的矩陣(kaij)m×n稱為數k與矩陣A的數量乘積,簡稱為數乘,記作 。（4）矩陣的加法與數乘稱為矩陣的線性運算若矩陣A=

10、(aij)m×n,則稱矩陣 (-aij)m×n為矩陣A的負矩陣,記為-A。（5）運算律：加法交換律A+B=B+A；加法結合律(A+B)+C=A+(B+C);A+O=O+A=A,這里O是與A同型的零矩陣;A+(-A)=(-A)+A=O；)k(A+B)=kA+kB；(k+l)A=kA+lA；(kl)A=k(lA)=l(kA)；1A=A,0A=O；（6）（定義）設A=(aij)m×k,B=(bij)k×n, C=(Cij)m×n均為數域P上的矩陣,其中稱矩陣C是A與B的乘積,記作C=AB。*只有當左乘矩陣A的列數等于右乘矩陣B的行數時,乘積AB才有意

11、義.乘積矩陣AB的行數等于左乘矩陣A的行數，AB的列數等于右乘矩陣B的列數（7）矩陣乘法與數的乘法區別：矩陣乘法不滿足交換律；矩陣乘法不滿足消去律；兩個非零矩陣的乘積可能是零矩陣；（8）設A,B,C為數域P上的矩陣，kP，它們的乘法滿足如下運算規律: 結合律(AB)C=A(BC)；分配律A(B+C)=AB+AC，(B+C)A=BA+CA；k(AB)=(kA)B=A(kB),k為任意常數；（9）定義2.2.5 設A是n階矩陣,k為正整數,定義k個A的連乘積為A的k次冪,記作Ak,即這里規定A0=E。（10）定理2.1.1 設A、B均為n階方陣,k為常數,則|kA|=kn|A|，|AB|=|A|B

12、|。（要求A,為同型矩陣）（11）（定義）設 m×n矩陣，將矩陣A的行列互換,而不改變其先后次序得到的n×m矩陣 稱為矩陣的轉置矩陣，記為AT(或A)。（）設A,B為數域P上的矩陣,kP,矩陣的轉置滿足如下運算規律: (AT)T=A；(A+B)T=AT+BT；(kA)T=kAT (k為任意常數)；|AT|=|A|（A為方陣）；(AB)T=BTAT；（）（定義）設A=(aij)是n階方陣,如果AT=A,即aij=aji(i,j=1,2,n)，則稱A為對稱矩陣;如果AT=-A,即aij=-aji(i,j=1,2,n)，則稱A為反對稱矩陣顯然在反對稱矩陣中,主對角線上的元素均為零

13、三、逆矩陣(1)(定義)設A是n階方陣,若有一個n階方陣B,使得AB=BA=E,則B稱為A的逆矩陣,A稱為可逆矩陣,或非奇異矩陣;定義中A與B的地位是等同的,所以B也是可逆矩陣, 并且A是B的逆矩陣。(2) 定理2.3.1 若A是一個n階可逆矩陣, 則它的逆矩陣是唯一的(3)（定義）設A=(aij)n×n,Aij為的行列式|A|中元素aij的代數余子式,稱 為矩陣A的伴隨矩陣。(4)（定理）n階方陣A可逆的充分必要條件是|A|¹0,且A可逆時,有 。 (5)（推論）設A與B都是n階方陣,若AB=E, 則A, B都可逆,并且 A-1=B,B-1=A。（6）（性質）若A可逆,則

14、A-1可逆,且(A-1)-1=A（7）（性質） 若A可逆, 則|A-1|=|A|-1.（8）（性質）若A可逆, 則(AT) -1=(A-1)T（9）（性質）若n階矩陣A,B都可逆, 則AB可逆,且(AB)-1=B-1A-1。（10）（性質）若A可逆,數k0,則(kA)-1 = k-1A-1。（11）（性質）若A可逆,且AB=O,則B=O（12）性質7 若A可逆,且AB=AC,則B=C（13）矩陣方程AX=C,XA=C,AXB=C 其中A、B均為可逆矩陣.則上述矩陣方程分別有唯一解X=A-1C， X=CA-1， X=A-1CB-1（14）（定義）設A為實數域R上的方陣,如果它滿足AAT=ATA=

15、E,則稱A為正交矩陣。（15）（定理）實數域R上的方陣A為正交矩陣的充分必要條件是A-1=AT。 (16)正交矩陣的性質：若A為正交矩陣,則|A|=1或|A|=-1；正交矩陣的逆矩陣及轉置矩陣仍為正交矩陣；若A、B是同階正交矩陣,則AB也是正交矩陣;) 正交矩陣的每行(列)元素的平方和等于1, 不同兩行(列)的對應元素乘積之和等于0。四、分塊矩陣（1）定義2.4.1 設A是一個矩陣,用貫穿于的縱線和橫線按某種需要將其劃分成若干個階數較低的矩陣,這種矩陣稱為A的子塊或子矩陣,以這些子塊為元素構成的矩陣稱為A的分塊矩陣。（2）分塊矩陣的運算：設A,B為m×n矩陣,將A,B采用同樣的方法進

16、行分塊,得到則有（k為常數）若分塊矩陣 ，則有（3）分塊矩陣的乘法：設矩陣A=(aij)m×s,B=(bij)s×n,用分塊矩陣計算A,B的乘積AB時, 一定要使A的列的分法與B的行的分法一致,這樣不僅可以保證A,B作為分塊矩陣可乘,而且它們相應的各子塊間的乘法也有意義,即其中矩陣A的子塊Aik為mi×sk(i=1,2,r, k = 1,2,p ) 矩陣,矩陣 B 的子塊 Bkj 為sk×nj (k=1,2,p; j=1,2,q ) 矩陣,且則其中 為mi×nj矩陣(i=1,2,r，j=1,2,q)。（4）定義2.5.2 設A為n階方陣,如果它

17、的分塊矩陣具有如下形式其中Ai (i =1,2,s)為ni 階方陣 則稱A為準對角形矩陣。 （5）設A,B同型方陣，且子塊同型，則有1.2.3. |A|=|A1|A2|As|；4.若|Ai|¹0(i =1,2,s),則五、初等變換與初等矩陣（1）（定義）矩陣A的下列變換稱為它的初等行（或列）變換：（三種初等變換分別簡稱為互換、倍乘、倍加。矩陣的初等行變換與初等列變換統稱為矩陣的初等變換）1. 互換矩陣A的第 i行與第 j行（或第 i列與第 j列）的位置，記為 ri«rj(或ci«cj );2. 用常數 k0去乘矩陣 A的第 i行(或第 j列)，記為kri(或 kc

18、j );3.將矩陣 A的第 j行（或第 j列）各元素的 k倍加到第 i行(或第 i列)的對應元素上去，記為 ri+krj(或ci+kcj );（2）定義2.5.2 如果矩陣A經過有限次初等變換化為矩陣 B, 則稱 A與 B等價，記為 AB ，或 A®B。（3）等價是矩陣間的基本性質: 1.自反性：AA： 2.對稱性：若 AB, 則 BA;3.傳遞性： 若AB, BC, 則AC；（4）（定義）如果矩陣A滿足下列條件：若有零行，則零行全在矩陣A的下方； A的各非零行的第一個非零元素的列序數小于下一行中第一個非零元素的列序數； 則稱 A為行階梯形矩陣，或階梯形矩陣。如果矩陣A除滿足上述條件

19、、外，還滿足條件：各非零行的第一個非零元素均為1，且所在列的其它元素都為零，則稱 A為簡化的階梯形矩陣。（5）階梯形矩陣的一般形式為（6）上述矩陣中,bk(1£k£r)為非零常數，*號表示某一常數。（7）定理2.5.1 任何非零矩陣都可以通過初等行變換化為階梯形。（8）定理2.5.2 任意非零矩陣A=(aij)m×n都與它的標準形等價,即存在矩陣 使得 ，其中Er為 r階單位矩陣,1£r£min m,n。（9）（定義）由單位矩陣E經過一次初等變換得到的矩陣稱為初等矩陣（三種變換方式對應三種類型的初等矩陣：分別稱為互換、倍乘、倍加初等矩陣）。（1

20、0）初等矩陣的性質：初等矩陣的轉置矩陣仍為同類型的初等矩陣；初等矩陣都是可逆矩陣；初等矩陣的逆矩陣仍為初等矩陣，且 （11）（定理）設A是一個 m×n矩陣, 對 A作一次初等行變換，相當于在 A的左邊乘以相應的 m階初等矩陣；對 A作一次初等列變換，相當于在 A的右邊乘以相應的 n初等矩陣。（由這個定理，矩陣的初等變換和矩陣乘法建立了聯系）（12）（定理）m´n矩陣A與B等價Û有m階初等矩陣P1,P2,Ps與n階初等矩Q1,Q2,Qt ,使得 。若記P= P1,P2,Ps，Q=Q1,Q2,Qt ，則 P為 m階可逆矩陣， Q為 n階可逆矩陣，于是得到以下推論： 推

21、論：m´n矩陣A與B等價Û存在m階可逆矩陣P與n階可逆矩陣 Q ,使得。 推論：對于任意非零m´n矩陣AÛ存在m階可逆矩陣 P與 n階可逆矩陣Q,使得 。 推論：若A為n階可逆矩陣，則A E。 推論：推論4 n階矩陣 A可逆的充分必要條件是它可表示成有限個初等矩陣的乘積。（）可利用下面的方式求的逆矩陣。六、矩陣的秩（）（定義）在矩陣A中,任取k行,k列(1kmin(m,n),由這些行列交叉處的k2個元素按原來的順序構成的k階行列式,稱為矩陣A的一個k階子式。（）（定義）若在m×n矩陣A中,有一個r階子式不為零,而所有的r+1階子式(若存在的話)

22、都為零,則稱r為矩陣A的秩,記為R(A)=r。特別的，零矩陣的秩規定為零。（*：如果矩陣A的所有的r +1階子式都為零,那么A的所有高于r +1階的子式(若存在的話)也必然為零.因此R(A)是A中不為零的子式的最高階數）（）由定義以上可以看出,在矩陣A中,若存在一個r階子式不為零,則R(A)r,若所有的r+1階子式都為零,則R(A)r。（）對于矩陣A=(aij)m×n,顯然有 。由矩陣秩的定義，顯然階梯形矩陣的秩等于矩陣中非零行的行數。（）（定理）n階方陣A的秩為n的充分必要條件是A為可逆矩陣。 即R(A)=n Û A可逆。（6） 對于n階方陣A,若R(A)=n,則稱A為滿

23、秩矩陣,若R(A)<n,則稱A為降秩矩陣。（7）（定理）初等變換不改變矩陣的秩。（8）任意非零矩陣A都可以經過有限次初等變換化為標準形 它的標準形是唯一的,并且R(A)=r。（9）)（推論）兩個同型矩陣A與B等價的充分必要條件是 R(A)=R(B)。 （10）推論2 設A為m×n矩陣,P和Q分別為m階與n階可逆矩陣,則有：（11）R(A+B)R(A)+R(B)，R（AB）（），（）。章三、向量組的線性相關性一、向量的概念與運算（）（定義）由數域P上的n個數組成的有序數組 (a1,a2,an)，稱為P上的一個n維向量，記為，即= (a1,a2,an)。 （）=(a1,a2,an)

24、稱為n維行向量，稱為n維列向量。 （）在線性方程組中，令 ， ， ，x =(x1,x2,xn)T則方程組可寫作Ax=b，并記 ， 稱為增廣矩陣。二、 向量組的線性相關性（1）（定義）設1 , 2 , , m, 都是數域P上的n維向量，如果存在數域P上的數k1,k2, ,km，使得 ，則稱是向量1,2, ,m的線性組合，或稱可由向量組1，2, ,m線性表出(示)。 （2）判斷一個向量組是否線性相關，往往把其轉化為對線性齊次方程組是否有非零解的討論。系數行列式為零，該方程組有非零解，故向量組1,2,3,4線性相關；系數行列式不為零，該方程組無非零解，故向量組1,2,3,4線性不相關。（3）（定理）

25、向量組1,2, ,m(m2)線性相關，其中至少有一個向量可由其m-1余個向量線性表出。（4）推論 向量組1,2, ,m(m2)線性無關的充分必要條件是：其中每一個向量都不能由其余向量線性表出。（5）定理3.2.2 若向量組1,2, ,m線性無關，而1,2, ,m, 線性相關，則可由1,2, ,m線性表出，而且表法唯一。（6）定理3.2.3 向量組1,2, ,m線性相關的充要條件是R(A)<m 。（7）定理3.2.3向量組1,2,n線性相關的充要條件是R(A)<n 。（8）推論1 m×n矩陣A的m個行向量線性無關的充要條件是R(A)=m；m×n矩陣A的n個列向量線

26、性無關的充要條件是R(A) =n.（9）推論2 如果一個向量組中向量的個數 m大于向量的維數n, 則該向量組線性相關；特別地,任意n+1個n維向量必定是線性相關的.（10）推論3 設i=(i1,i2, ,in)，i= 1, 2, , n，則(1) n個維向量線性無關的充分必要條件是: （2 ） n個維向量線性相關的充分必要條件是:（11）性質1 含有零向量的向量組必線性相關。（12）性質2 向量組若有一個部分組線性相關，則整個向量組也線性相關。(13) 性質3 若向量組線性無關，則它的任意一個部分組也線性無關。 (14)(性質)若向量組 線性相關, 則去掉最后r個分量(1r<n)后, 所

27、得到的向量組: 也線性相關。 三、向量組的秩(1)(定義)如果向量組1,2, ,m的部分組滿足條件(I)線性無關;(II) 的任一向量均可由線性表出;則稱 是向量組 的一個極大線性無關組。(2)（定理）如果向量組1,2, ,m中的每一個向量均可由向量組 1, 2, , r線性表出，并且m>r，那么向量組1,2, ,m線性相關。 (3)（推論）如果向量組1,2, ,m中的每一個向量均可由向量組 1, 2, , r線性表出，并且1,2, ,m線性無關，那么mr。 (4) 定理 3.3.2 一個向量組中任意兩個極大線性無關組所含向量的個數相等。(5)（定義）向量組1,2, ,m的極大線性無關組

28、中所含向量的個數稱為這個向量組的秩，記為R1,2, ,m全由零向量組成的向量組的秩規定為零。(6)（定義）設向量組 ，若向量組(A)中的每一個向量可由向量組（B）線性表出，同時向量組（B）中的每一個向量可由向量組(A)線性表出，亦即它們可以互相線性表出，則稱向量組(A)與向量組（B）等價。 (7)等價向量組具有如下性質:自反性:任何一個向量組都與它自身等價；對稱性:若向量組()與向量組（）等價，則向量組（）也與向量組()等價； 傳遞性:若向量組()與向量組（）等價，向量組（）也與向量組()等價，則向量組（）也與向量組()等價。(8)等價向量組的下列性質：a:向量組都與它的任一極大線性無關組等價

29、；b:任何兩個線性無關的等價向量組所含向量的個數相同;c:任何兩個等價的向量組的秩相等。(9)（定理）若向量組（）：可由向量組（）：線性表出,且向量組（）的秩為p ，向量組（）的秩為q，則 pq。（10）（定理）矩陣A的秩等于它的行向量組的秩，也等于它的列向量組的秩。四、向量空間（1）定義3.4.1 設V是數域P上的 n維向量的非空集合，如果",ÎV, kÎP, 滿足 則稱集合V為數域P上的向量空間.（2）定義3.4.2 設V1，V2是數域P上的兩個向量空間，如果V1ÍV2，則稱V1是V2的子空間。（3）實數域上任何n維向量的集合構成的向量空間都是Rn的

30、子空間。 單獨由一個零向量構成的集合0也是一個向量空間，稱為零空間。 （4）在n維向量空間V中，零空間和空間V也是它的子空間，稱為它的平凡子空間，除此之外，V的其他子空間稱為它的非平凡子空間。 （5）設1, 2 , ,m為一組n維向量，容易證明它的線性組合 是向量空間，稱為由向量1, 2 , ,m生成的向量空間，記為L(1, 2 , ,m)。 （6）定義3.4.2 設V是數域P上的向量空間，向量1, 2 , ,mÎV，如果(1) 1, 2 , ,m線性無關；(2) V中任一向量都能由1, 2 , ,m線性表示；則稱 1, 2 , ,m為空間V的一組基（或基底），m稱為向量空間V的維數

31、，記為dimVm，并稱V是數域P上的 m維向量空間。零空間的維數規定為零。 （7）基的等價定義： 設 1, 2 , ,mV，即dimVm (1) 1, 2 , ,m線性無關, 且V中任一向量都能由1, 2 , ,m線性表示; (2) 1, 2 , ,m線性無關； (3) V中任一向量都能由1, 2 , ,m線性表示; (4) 1, 2 , ,m線性無關, 且V中任一向量添加到1, 2 , ,m中線性相關。 （8）若把向量空間V看作一個向量組，那么它的基就是 V的一個極大線性無關組，dimV就是V的秩。(9)若向量空間V的維數是m，那么V中任意 m個線性無關的向量都是V的一組基；對于向量空間V的任一子空間V1，dimV1dimV2。（10）