1、第第4 4章章 時變電磁場時變電磁場 波動方程反映了時變電磁場中電場場量和磁場場量在空間中波動方程反映了時變電磁場中電場場量和磁場場量在空間中傳播時所遵循的規律，通過麥克斯韋方程組推導得到。傳播時所遵循的規律，通過麥克斯韋方程組推導得到。DBHEttBD,0,0 n波動方程的建立（無源區）波動方程的建立（無源區）在無源空間中，電荷和電流處處為零，即在無源空間中，電荷和電流處處為零，即 0 0，J J0 0，電磁場滿足，電磁場滿足的麥克斯韋方程為的麥克斯韋方程為 均勻無耗媒質中無源區域波動方程的推導：均勻無耗媒質中無源區域波動方程的推導：dBEdt ()EHt 222()EEEt Dt4.1波動

2、方程波動方程 從上方程可以看出：時變電磁場的電場場量和磁場場量在空間從上方程可以看出：時變電磁場的電場場量和磁場場量在空間中是以波動形式變化的，因此稱時變電磁場為電磁波。中是以波動形式變化的，因此稱時變電磁場為電磁波。 通過解波動方程，可以求出空間中電場場量和磁場場量的分布通過解波動方程，可以求出空間中電場場量和磁場場量的分布情況。但需要注意的是：只有少數特殊情況可以通過直接求解波動情況。但需要注意的是：只有少數特殊情況可以通過直接求解波動方程求解。方程求解。 222()EEEt 2220HHt無源區電磁無源區電磁場波動方程場波動方程2220EEt4.2電磁場的位函數電磁場的位函數n 動態矢量

3、位和標量位定義動態矢量位和標量位定義()EAt ()0AEt令：令： ，可得，可得() AEt()AEt 故：故：()AEtBA ( , ):( , ):A r tr t動態矢量位動態標量位BABEt 0B說明：說明：1.1.時變場電場和磁場均為時間和空間位置的函數，因此動態矢時變場電場和磁場均為時間和空間位置的函數，因此動態矢量位和動態標量位也為時間和空間位置的函數。量位和動態標量位也為時間和空間位置的函數。2.2.由于時變場電場和磁場為統一整體，因此動態標量位和動態矢量位由于時變場電場和磁場為統一整體，因此動態標量位和動態矢量位也是一個統一的整體。也是一個統一的整體。 由于在定義中動態矢量

4、位函數僅僅確定了其旋度式，而沒有確定由于在定義中動態矢量位函數僅僅確定了其旋度式，而沒有確定散度式，因此滿足定義的矢量位函數有無限多個。為了使時變電磁場散度式，因此滿足定義的矢量位函數有無限多個。為了使時變電磁場場量和動態位之間滿足一一對應關系，須引入額外的限定條件場量和動態位之間滿足一一對應關系，須引入額外的限定條件規規范條件。范條件。 對于時變場來說，動態位函數常用的規范條件為洛倫茲規范條件對于時變場來說，動態位函數常用的規范條件為洛倫茲規范條件n洛倫茲規范條件的引入洛倫茲規范條件的引入At 洛倫茲規范條件洛倫茲規范條件E ()At 2()At EHJt 1HA 1EAJt 2222()(

5、)()AAAJttAAJAtt 222222tAAJt 達朗貝爾方程達朗貝爾方程n 矢量位和標量位的方程矢量位和標量位的方程At n關于動態位和達朗貝爾方程的討論關于動態位和達朗貝爾方程的討論 引入動態標量位和矢量位可以簡化電磁問題的求解：引入動態標量位和矢量位可以簡化電磁問題的求解： 原因：原因：1 1、標量位和矢量位方程形式相同，解形式相同；、標量位和矢量位方程形式相同，解形式相同； 2 2、矢量位方向與電流方向相同；、矢量位方向與電流方向相同； 從達朗貝爾方程可知：電荷是產生標量位的源，電流是產生矢從達朗貝爾方程可知：電荷是產生標量位的源，電流是產生矢量位的源量位的源 動態標量位和矢量位

6、是以波動的形式隨時間變化而變化的動態標量位和矢量位是以波動的形式隨時間變化而變化的4.3 電磁能量守恒定律電磁能量守恒定律一、一、電磁場能量密度和能流密度電磁場能量密度和能流密度 n電磁場的能量密度電磁場的能量密度n電場能量密度電場能量密度n磁場能量密度磁場能量密度n電磁場能量密度電磁場能量密度211( )( )( )22ewD rE rE r 22111( )( )( )( )222mwB rH rH rB r 2212emwwwEH 二、二、坡應廷定理坡應廷定理 坡印廷定理坡印廷定理DHJtBEtHEEHBDHEJEtt ()EH()BDEHHEEJtt 2211()()()22E HHE

7、E Jtt ()emwwEHEJtt 坡印廷定理微分形式坡印廷定理微分形式()()emVVwwE H dVE J dVtt ()emSVVVdE HdSw dVw dVE JdVdt坡印廷定理積分形式坡印廷定理積分形式 坡印廷定理的物理意義坡印廷定理的物理意義設區域設區域V V中電磁場能量隨時間減少，由于能量守恒，減少的能量可中電磁場能量隨時間減少，由于能量守恒，減少的能量可能通過邊界能通過邊界 流出，或因對流出，或因對V V中電荷做功而消耗，即中電荷做功而消耗，即 減少量減少量 = = 流出量流出量 + + 消耗量消耗量 n E, H V 流出能量流出能量 Vd-wdVdt Sd VJEdV

8、()()emSVdE HdSWWE JdVdt 坡印廷矢量坡印廷矢量 表流入閉合面表流入閉合面S S的電磁功率，因此的電磁功率，因此 為一與為一與能能量流密度量流密度有關的矢量，稱為坡印廷矢量有關的矢量，稱為坡印廷矢量. .()SEHdSEHn坡印廷矢量為時間坡印廷矢量為時間t的函數，表示瞬時功率流密度的函數，表示瞬時功率流密度n坡印廷矢量的大小表示單位時間內通過垂直于能量傳輸方向的單位坡印廷矢量的大小表示單位時間內通過垂直于能量傳輸方向的單位面積的電磁能量面積的電磁能量n坡印廷矢量的方向即為電磁能量傳播方向坡印廷矢量的方向即為電磁能量傳播方向 ( )( )( )S tE tH t 定義：坡印

9、廷矢量（用符號定義：坡印廷矢量（用符號 表示）表示）S瞬時坡印廷矢量瞬時坡印廷矢量時變電磁場的平均坡應廷矢量時變電磁場的平均坡應廷矢量 對某些時變場，電場和磁場隨時間呈周期性變化，此時求解一個對某些時變場，電場和磁場隨時間呈周期性變化，此時求解一個周期內通過某個平面的電磁能量，才能反映電磁能量的傳遞情況。周期內通過某個平面的電磁能量，才能反映電磁能量的傳遞情況。 平均坡印廷矢量：將瞬時形式坡印廷矢量在一個周期內取平均，平均坡印廷矢量：將瞬時形式坡印廷矢量在一個周期內取平均，用用Sav，即：即：0011( )( )( )TTavSS t dtE tH t dtTT注：注： 與與時間時間t t無關

10、無關。avS例例 已知無源的自由空間中，時變電磁場的電場強度為已知無源的自由空間中，時變電磁場的電場強度為0cos() (/)yEe EtkzV m求：求：(1)(1)磁場強度；（磁場強度；（2 2）瞬時坡印廷矢量；（）瞬時坡印廷矢量；（3 3）平均坡印廷矢量）平均坡印廷矢量0sin()yyzxxt kzEEBBEeee kEttxz000()1xkEBHdtecostktz 0220cos ()zktkEez000cos()( )( )( )xye EtkzcostkES tE tHztek解：解： (1)(2)(3)(3)01( )( )TavSE tH t dtT20200cos ()z

11、TetkzkEdtT2000cos(22) 12TztkzekEdtT2200(/2)zkEmeW4.5時諧電磁場時諧電磁場 時諧場場量的復數表示時諧場場量的復數表示 對于時諧場，其場量對于時諧場，其場量 和和 都是以一定的角頻率都是以一定的角頻率 隨時間隨時間t t按正按正弦規律變化。弦規律變化。EH( , , , )( , , )cos( , , )( , , , )( , , )cos( , , )( , , , )( , , )cos( , , )xxmxyymyzzmzEx y z tEx y ztx y zEx y z tEx y ztx y zEx y z tEx y ztx y

12、 z 在直角坐標系下，電場可表示為：在直角坐標系下，電場可表示為：xxyyzzEe Ee Ee E 式中：式中： 為電場在為電場在x,y,zx,y,z方向分量的幅度方向分量的幅度,xmymzmEEExyz，為電場為電場x,y,zx,y,z分量的初始相位分量的初始相位由復變函數，知：由復變函數，知： ，則：，則： cos()Re()j tteRe()Re()Re()Re()Re()Re()xyzjtj txxmxmjtj tyymymjtj tzzmzmEEeEeEEeEeEE eE exyzjxmxmjymymjzmzmEEeEEeEE e因此時諧場中，電場強度可表示為因此時諧場中，電場強度可

13、表示為xxyyzzEe Ee Ee ERe()Re()Re()j tj tj txxmyymzzmeE eeE eeE eRe()Rejwtjwtxxmyymzzmmmxxmyymzzme Ee Ee EeE eEe Ee Ee EReReRej tmj tmj tmDD eHH eBB e ReRej tmj tmJJ ee麥克斯韋方程組的復數形式麥克斯韋方程組的復數形式 很明顯，對于時諧場很明顯，對于時諧場Re,Rej tj tmmEBE eB ejjtt0eDHJtBEtBD ()()0()j tj tmmmj tj tmmj tmj tj tmmH eJj DeE ej B eB eD

14、 ee ) 為了簡化書寫，約定為了簡化書寫，約定 寫做寫做 ，而，而 項則省略不寫，則方程變為：項則省略不寫，則方程變為：mBBj te0HJj DEj BBD 麥克斯韋方程組復數形式麥克斯韋方程組復數形式n正弦電磁場的平均坡應廷矢量正弦電磁場的平均坡應廷矢量 對某些時變場，電場和磁場隨時間呈周期性變化，此時求解一個對某些時變場，電場和磁場隨時間呈周期性變化，此時求解一個周期內通過某個平面的電磁能量，才能反映電磁能量的傳遞情況。周期內通過某個平面的電磁能量，才能反映電磁能量的傳遞情況。0011( )( )( )TTavSS t dtE tH t dtTT 若場量隨時間按正弦規律變化，則平均坡印

15、廷矢量可以表示為：若場量隨時間按正弦規律變化，則平均坡印廷矢量可以表示為：1Re2avSEH式中：式中： 、 為場量的復數表達式；為場量的復數表達式；EHH為對場量為對場量 取復數共軛運算。取復數共軛運算。H式中：式中： 、 為場量的實數表達式；為場量的實數表達式；EH211Re()Re()22jtEHEHe201111 Re()Re()Re()222TjtavSEHEHedtEHT 01( )( )( )( )Re ReTj tj tavSS t dtS tE tH tEeHeT 11() () 22j tj tj tj tEeEeHeHe2214jtjtEHeEHEHEH e時諧場平均坡印

16、廷矢量求解式的證明：時諧場平均坡印廷矢量求解式的證明：例例 已知無源的自由空間中，時變電磁場的電場強度為已知無源的自由空間中，時變電磁場的電場強度為0cos() (/)yEe EtkzV m求：求：(1)(1)磁場強度；（磁場強度；（2 2）瞬時坡印廷矢量；（）瞬時坡印廷矢量；（3 3）平均坡印廷矢量）平均坡印廷矢量解：解：(1)(1)0sin()yyzxxEEBBEeee kEt kzttxz0001() xkEBHdtecostkzt0220cos ()ztzkEek(2)(2)000( )( )( )cos()()yxkES tE tH te Etkzecostkz(3)(3)01( )

17、( )TavSE tH t dtT20200cos ()zTetkzkEdtT2000cos(22) 12TztkzekEdtT2200(/2)zkEmeW另解：另解：0jkzyEe E e00jkzxkEHee 00011Re()22jkxjkzyzavekESEHeEee 2200(/)2zkEmeWn場量復數表達形式和瞬時形式相互轉換場量復數表達形式和瞬時形式相互轉換場量的復數形式：場量的復數形式：0jEE e場量的實數形式：場量的實數形式：0cos()EEt 復數式只是數學表示方式，不代表真實的場，沒有明確物理意復數式只是數學表示方式，不代表真實的場，沒有明確物理意 義。采用復數形式可

18、以使大多數正弦電磁場問題得以簡化義。采用復數形式可以使大多數正弦電磁場問題得以簡化 只有場量的實數表達形式才代表真實場，具有明確的物理意義只有場量的實數表達形式才代表真實場，具有明確的物理意義 在某些應用條件下，如能量密度、能流密度等含有場量的平方在某些應用條件下，如能量密度、能流密度等含有場量的平方 關系的物理量（稱為二次式），只能用場量的瞬時形式來表示關系的物理量（稱為二次式），只能用場量的瞬時形式來表示場量復數形式轉換為實數形式的方法：場量復數形式轉換為實數形式的方法：0jEE e j te ()0jtE e取實部0cos()Et 亥姆霍茲方程亥姆霍茲方程時諧場所滿足的波動方程即為亥姆霍茲方程。時諧場所滿足的波動方程即為亥姆霍茲方程。222222,EHEHtt 則無源空間的波動方程變為：則無源空間的波動方程變為：22222200EEtHHt222200E