1、4.3.2 空間兩點間的距離公式整體設計 教學分析平面直角坐標系中，兩點之間的距離公式是學生已學的知識，不難把平面上的知識推廣到空間，遵循從易到難、從特殊到一般的認識過程，利用類比的思想方法，借助勾股定理得到空間 任意一點到原點的距離；從平面直角坐標系中的方程x2+y2=2表示以原點為圓心，r 為半徑的圓，推廣到空間直角坐標系中的方程 x2+y2+z2=r2表示以原點為球心，r 為半徑的球面學生是不難接受的，這不僅不增加學生負擔，還會提高學生學習的興趣 三維目標1掌握空間兩點間的距離公式，會用空間兩點間的距離公式解決問題2通過探究空間兩點間的距離公式，靈活運用公式，初步意識到將空間問題轉化為平

2、面問題是 解決問題的基本思想方法，培養類比、遷移和化歸的能力3通過棱與坐標軸平行的特殊長方體的頂點的坐標，類比平面中兩點之間的距離的求法，探索并得出空間兩點間的距離公式，充分體會數形結合的思想，培養積極參與、大膽探索的精神重點難點教學重點：空間兩點間的距離公式教學難點：一般情況下，空間兩點間的距離公式的推導課時安排1 課時教學過程導入新課思路 1.距離是幾何中的基本度量，幾何問題和一些實際問題經常涉及距離，如飛機和輪船的航線的設計，它雖不是直線距離，但也涉及兩點之間的距離，一些建筑設計也要計算空間兩點之 間的距離，那么如何計算空間兩點之間的距離呢？這就是我們本堂課的主要內容思路 2.我們知道

3、擻軸上兩點間的距離是兩點的坐標之差的絕對值，即 d = |X!-X2|;平面直角坐標系中，兩點之間的距離是 d=（X2-捲）2- （y2- yi）2侗學們想，在空間直角坐標系中，兩 點之間的距離應怎樣計算呢？又有什么樣的公式呢？因此我們學習空間兩點間的距離公式推進新課 新知探究 提出問題1平面直角坐標系中，兩點之間的距離公式是什么？它是如何推導的？2設 A（x，y，z）是空間任意一點，它到原點的距離是多少？應怎樣計算？3給你一塊磚，你如何量出它的對角線長，說明你的依據4同學們想，在空間直角坐標系中，你猜想空間兩點之間的距離應怎樣計算？5平面直角坐標系中的方程X2+y2=r2表示什么圖形？在空間

4、中方程X2+y2+z2=r2表示什么圖形？6試根據推導兩點之間的距離公式活動：學生回憶，教師引導，教師提問，學生回答，學生之間可以相互交流討論，學生有困難教師點撥教師引導學生考慮解決問題的思路，要全面考慮，大膽猜想，發散思維學生回憶學過的 數學知識，回想當時的推導過程；解決這一問題，可以采取轉化的方法，轉化成我們學習的立體幾何知識來解；首先考慮問題的實際意義，直接度量，顯然是不可以的，我們可以轉化為立體幾何的方法，也就是求長方體的對角線長回顧平面直角坐標系中，兩點之間的距離公式可類比猜想相應的公式；學生回憶剛剛學過的知識，大膽類比和猜想：利用的道理，結合空間直角坐標系和立體幾何知識，進行推導.

5、討論結果：平面直角坐標系中，兩點之間的距離公式是d= . (xx1)2(y2- y1)2，它是 利用直角三角形和勾股定理來推導的.2如圖 1,設 A(x,y,z)是空間任意一點,過 A 作 AB 丄 xOy 平面，垂足為 B,過 B 分別作 BD 丄 x 軸,BE 丄y 軸，垂足分別為 D,E.根據坐標的含義知，AB=z,BD=x,BE=OD=y,由于三角形 ABO、2 2 22 2 2 2 2 2222BOD 是直角三角形，所以 BO =BD +OD ,AO =AB +BO =AB +BD +OD =z +x +y ,因此 A 到 原點的距離是 d=x2亠y2亠z2.3利用求長方體的對角線長

6、的方法，分別量出這塊磚的三條棱長，然后根據對角線長的平方等于三條邊長的平方的和來算 4由于平面直角坐標系中，兩點之間的距離公式是 d=.(X2-xj2 (y2-yi)2，是同名坐標的差的平方的和再開方，所以我們猜想，空間兩點之間的距離公式是- 2 2 2d=：(X2- Xi)皿-屮、-(Z2- Zi)，即在原來的基礎上，加上縱坐標差的平方5平面直角坐標系中的方程x2+y2=2表示以原點為圓心,r 為半徑的圓；在空間 x2+y2+z2=r2表示以原點為球心，r 為半徑的球面；后者正是前者的推廣圖 2如圖 2,設 Pi(xi,yi,zi),P2(X2,y2,Z2)是空間中任意兩點，我們來計算這兩點

7、之間的距離我們分別過PiP2作 xOy 平面的垂線，垂足是 M,N,則 M(Xi,yi,0),N(X2,y2,0),于是可以求出|MN|=.(X2 Xi)2(y yi)2.再過點 Pi作 PiH 丄 P2N,垂足為 H,則 |MPi|=|zi|,|NP2|=|z2|所以 |HP2|=|z2-zi|.在 Rt PiHP2中,|PiH|=|MN|=. (xXi)2(y yi)2,根據勾股定理，得 |PiP2|= -. |PiH |2| HP2|2=(Xi-X2)2- (yi- y2)2(Zi- Z2)2因此空間中點 Pi(Xi,yi,Zi),P2(X2,y2,Z2)之間的距離為|PiP2|=.(X

8、i-X2)2(yi-丫2)2(Zi-Z2)2.空間直角坐標系和立體幾何知識，進行推導.于是空間兩點之間的距離公式是d= .(xxi)2(yyi)2(z-zi)2.它是同名坐標的差的平方的和的算術平方根應用示例例 1 已知 A(3,3,1),B(1,0,5),求：(1)線段 AB 的中點坐標和長度；到 A,B 兩點的距離相等的點P(x,y,z)的坐標滿足的條件.活動：學生審題,教師引導學生分析解題思路，已知的兩點 A、B 都是空間直角坐標系中的點 我們直接利用空間兩點間的距離公式求解即可知識本身不難，但是我們計算的時候必須認真決不能因為粗心導致結果錯誤 解:設 M(x,y,z)是線段 AB 的中

9、點，則根據中點坐標公式得3丁13丁0 35丁1一3x= =2,y=,z=3.所以 AB 的中點坐標為(2,3).2 2 2 2 2根據兩點間距離公式，得d(A,B)=.,(1匚3)2(0二3)2(5匚1)229,所以 AB 的長度為. 29 .因為點 P(x,y,z)到 A,B 的距離相等，所以有下面等式：；(x匚3)2一(y二3)2一(z)2二.(x7)2(y二0)2一(z匚5)2.化簡得 4x+6y-8z+7=0,因此倒 A,B 兩點的距離相等的點P(x,y,z)的坐標滿足的條件是4x+6y-8z+7=0.點評：通過本題我們可以得出以下兩點：1空間兩點連成的線段中點坐標公式和兩點間的距離公

10、式是平面上中點坐標公式和兩點間 的距離公式的推廣，而平面上中點坐標公式和兩點間的距離公式又可看成空間中點坐標公式 和兩點間的距離公式的特例 2到 A,B 兩點的距離相等的點P(x,y,z)構成的集合就是線段 AB 的中垂面.變式訓練在 z 軸上求一點 M,使點 M 到點 A(1,0,2),B(1,-3,1)的距離相等解:設 M(0,0,z),由題意得 |MA|=|MB|,(0 -1)2(0 -0)2(z 2)2W(0 -1)2(0 3)2(03)2(z-1)2,整理并化簡，得 z=-3,所以 M(0,0,-3).例 2 證明以 A(4,3,1),B(7,1,2),C(5,2,3)為頂點的 AB

11、C 是一等腰三角形活動：學生審題，教師引導學生分析解題思路，證明 ABC 是一等腰三角形，只需求出|AB|,|BC|,|CA|的長,根據邊長來確定證明：由兩點間距離公式得：|AB|=.(7 -4)2(1 -3)2(2一1)2=2.7,|BC|=.(5 -7)2(2 -1)2(3-2)2 6,|CA|=(4 -5)2(3 -2)2(1 -3)2= 6由于|BC|=|CA|=6，所以ABC 是一等腰三角形點評：判斷三角形的形狀一般是根據邊長來實現的離公式求出邊長變式訓練三角形 ABC 的三個頂點坐標為 A(1,-2,-3),B(-1,-1,-1),C(0,0,-5),試證明 ABC 是一直角 三角

12、形活動：學生先思考或交流，然后解答，教師及時提示引導，要判定 ABC 是一直角三角形，只需 求出|AB|,|BC|,|CA|的長，利用勾股定理的逆定理來判定 解：因為三個頂點坐標為 A(1,-2,-3),B(-1,-1,-1),C(0,0,-5),所以|AB|=1)2一(二2一1)2一(二3一1)2=3,|BC|=(0一1廠(0一1廠(二1)2=3、2,|CA|=,(1 -0)2(-2一0)2(一3 5)2=3.又因為|AB|2+|CA|2=|BC|2,所以 ABC 是直角三角形.例 3 已知 A(x,5-x,2x-1),B(1,x+2,2-x),則 |AB| 的最小值為()3558A.0B.

13、C.D.777活動：學生閱讀題目，思考解決問題的方法，教師提示，要求|AB|的最小值，首先我們需要根據空 間兩點間的距離公式表示出|AB|，然后再根據一元二次方程求最值的方法得出|AB|的最小值.解析：|AB|= .(x-1)2(3-2x)2(3x-3)2=14x2-32x 198v 35當 x= 時,|AB|的最小值為一5.77故正確選項為 B.答案：B點評:利用空間兩點間的距離公式轉化為關于x 的二次函數求最值是常用的方法.知能訓練課本本節練習 1、2、3、4.拓展提升已知三棱錐 PABC(女口圖 4),PA 丄平面 ABC,在某個空間直角坐標系中,B(3m,m,0),C(0,2m,0),

14、P(0,0,2n),畫出這個空間直角坐標系并求出直線AB 與 x 軸所成的較小的角.，因此解:根據已知條件，畫空間直角坐標系如圖3:以射線 AC 為 y 軸正方向，射線 AP 為 z 軸正方向,A 為坐標原點建立空間直角坐標系Oxyz,過點 B 作 BE 丄 Ox,垂足為 E, / B( .3m,m,0), E( .3m,0,0).在 Rt AEB 中，/AEB=90 ,|AE|=原 m,|EB|=m, tan / BAE=./ BAE=30 ,| AE |V3m3即直線 AB 與 x 軸所成的較小的角為30.課堂小結1空間兩點間的距離公式的推導與理解2空間兩點間的距離公式的應用3建立適當的空間直角坐標系，綜合利用兩點間的距離公式作業習題 4.3 A 組 3,B 組 1、2、3.設計感想本節課從平面直角坐標系中兩點之間的距離公式入手，創設問題情景，不難把平面上的知識推廣到空間，遵循從易到難、從特殊到一般的認識過程，利用類比的思想方法，借助勾股定理 得到空間任意一點到原點的距離為了培養學生的理性思維，在例題中，設