1、元二次方程難題解答（一）21.已知m是萬程x ( 1) 113.關于m的方程7nm2 n2m 2 0的一個根為2,求n2 x 2 0的一個根，則代數式（m2 m）（m 1）的值是 m解：m是方程x2 x 2 0的一個根即m2 m 2 m 0方程兩邊除以 m得： m 1 0 m(m2 m)(m 1) 2 (1 1) 4 m2.已知x a是方程x2 2016x 120的一個根，求代數式2a 4031a 1一 4 22016aa2 1的值解:x a是方程x2 2016x 1 0的一個根2_4a 2016a 1 02_. 2_a 2016a1或a 1 2016a2a24031a 12016a22=2a

2、a 14032a2016a2 a 1 -2016a-2-2(a2016a) a 1 a2 n的值。解：由題意得:m 2 把m 2代入方程得：4，丸2n2 2 0整理得：n2 2"n 1 0 方程兩邊除以n得：n 2后 -0 n方程兩邊平方得：n2 2 N 28n2 n 2 26n21214.已知(m 2- 4)36 ,求m 的值。mm人21.、2 21解： (m -2 4)36m 2 46mm2m-2mm2 工10或m2 （舍去）1 2(m )2 10m即（m2.25.用換元法解下列方程:(1) (x2 1)2 3(x21)解：設x2 1 y ,則原方程為3yy(y 3)y10y23

3、當 y 0時，x2 1 03時,x2 1原方程的解為x11 x2x32X46.設x、y為實數，求2xy 2y2 4y5的最小值，并求出此時x與y的值。解：x2xy2y24y/ 2(x 2xy2、， 2、，y ) (y 4y 4) 1(x y)2 (y 2)2 1(xy)2(y2)22_ 2(x y) (y 2)12 時,該式的最小值為17.關于x的方程m(xh)20（m、h、k均為常數，m0）的解是x13x22 ,求方程m(x3)2k 0的解。2解：m(x h)(x h)2 x hmmx h3)2-m-2m(x h 3) k 0(x hx hXix2 28.對于*,我們作如下規定:a*bb22

4、，試求滿足(2x 1)*x10的x的值。解：由題意得：(2x1)2x2 21024x 4xx2 29.解含絕對值的方程:解：當x 1 0時,原方程化為x2 (x4x3x解方程:1) 1x 1 ,故x1 0 (舍去)原方程化為x2 (1 x) 1x 1 ,故x11 (舍去)(x 1)(3x7)X21,x2即x2 x解得:1是原方程的解即 x2 x 20 解得:2是原方程的解綜上所述，原方程的解為 x1 1, x221110.解方程：x2 -2 2(x -) 1xxx1x22, 一一 1c 1解：配萬得：(x -)2 2(x -)3 0xx2x0 ,解得 y13y211、一，-y,原方程可化為 x

5、當y13時，x1 -3,即3x當y21時,經檢驗:x11,3.52x20,方程無實數解一 5是原方程的解。211.解方程:2x212x 2x 2x解：x2x二1x 2x設x* 22x y,則原方程可化為2y y 12 0 ,解得：y14 y2 3當y14時,x2 2x 4 ,即 x2 2x0,此方程無實數解(2)(2b)2 4(a c)(a c) 4b2 4(a22222c ) 4b 4a 4c又方程有兩個相等的實數根 222 一4b 4a 4c 0即b2 ABC為直角三角形(3)當a b c時，原方程化為x2解得：Xi0 x2118.已知關于x的方程的方程(m J3)xm2(m 1)x(1)

6、 m為何值時，原方程二次方程(2) m為何值時，原方程次方程解：(1)由題意得:m .3 0m2 1 2解得,3當m ,舊時，原方程為一元二次方程(2)當原方程次方程時，m的值應分三種情況討論:m m . 32(m 1)2m 1D -m 、3解得m 22(m1)m2 13)2(m 1) 0解得綜上所述：當m1,J2或J2時，原方程次方程。19.用配方法求二次三項式的最大值與最小值2(1)當X為何值時，代數式 2x 2x 1有最小值并求出最小值根；當m 0時，方程有兩個不相等的實數根；無論m取何值時，方程都有一個負數一 2 一一 22x 2x 1 2(x x) 12(x2 x ；) 1 2 (x

7、 2)21 2(x -)25.已知關于x的方程x2 (3k 1)x 2k22k 0, (1)求證：無論k取何實數值，方程2(x 1)2 2一 12一 1 232(x 1)2 02(x1)2 -2221 2x 時，代數式2x22x 1有最小值 -2(2)當x為何值時，代數式 3x2 6x 4有最大值并求出最大值解：3x2 6x 43(x2 2x 1 1) 43(x 1)2 7223(x 1)03(x 1)7 7當x 1時，代數式有最大值 7.2a 1 11 一20.若a滿足不等式組1 a，則關于x的萬程(a 2)x2 (2a 1)x a 0的根的022情況是解：解不等式組得a 3 a 2 則方程

8、為一元二次方程21(2a 1)2 4(a 2)(a ) 2a 5 a 3 2a 51 即 02關于x的一元二次方程沒有實數根。21.關于x的一元二次方程 x2 4k 1x 10有兩個不相等的實數根，求k的取值范圍。k 1 0解由題意得：122.關于x的方程mx2 x m(k 1)4 0 k -解；其中正確的是解：當m 0時，原方程為x 1 0 x 1方程只有一個實數根當m 0時， 1 4m( m 1) 4m2 4m 1 (2m 1)2 0方程有兩個實數根1(2m 1)21 (2m 1)當 m 0時，x 1 當 m 0時，x - 2m2m1x1 1 x21 無論m取何值時，方程都有一個負數解m2

9、3 .關于x的方程(a 6)x2 8x 6 0有實數根，則整數a的最大值是 ,一, 一，一、一3斛：當a 6時，原方程為 8x 6 0 x 43當 a 6時，64 24(a 6)24a 208 0 a 84整數a的最大值是824 .已知關于x的一元二次方程(x 3)(x 2) m ,求證：對于任意實數 m ,方程總有兩(5)2 4(6 m) 4m 1 0個不相等的實數根；(2)若方程的一個根是 1,求m的值及方程的另一個根。解：(1) (x 3)(x 2) mx2 5x 6 m 0對于任意實數m,方程總有兩個不相等的實數根(2)把x 1代入原方程得：(1 3)(1 2) m m 2原方程為(x

10、 3)(x 2) 2x2 5x 4 0 x11 x24m 2,方程的另一根為x 4總有實數根；(2)若等腰三角形 ABC的一邊長ac恰好是這個方程的兩個根，求此三角形的周長。解：1)(3k 1) 2 4(2k2 2k) 9k2 6k 1 8k2 8kk2 2k 1 (k 1)2 0無論k取何實數值，方程總有實數根3k 1 Jk 1)223k 1 (k 1)2x1 2k x2 k 1當b c時，方程有兩個相等的實數根， 即2k k 1k 1 b c 22 2 6不能構成三角形。當腰長為6時，2k 6 k 3 k 1 4C ABC 6 6 4 16或k 1 6 k 5 2k 10C ABC 6 6

11、 10 22綜上所述：C abc 16或2226.若關于x的方程x2(m 5) x 4 m恰好有3個實數根，則實數m 52斛：x (m 5) x 4 m 0方程恰好有3個實數根Xi 0 x2027.若關于x的方程ax22(a 2)x a0有實數根，則實數a的取值范圍解：當a 0時，原方程為4x 0方程有解x 0當a 0時,2(a 2) 2 4a24a2 8a 8 4a2 8a 8方程有實數根8a 8綜上所述：a 128.如果關于x的一元二次方程kx2 J2k 1 x 1 0有兩個不相等的實數根，則 k的取值范圍k 01 1解：由題意得：2k 1 0解得： 一k 且k 02 2（2k 1）2 8

12、k 029.設方程x2 ax 4只有3個不相等的實數根，求 a的值和相應的3個根。解：x2 ax 4或x2 ax 4x2 ax 4 0或x2 ax 4 021 a 16 0第一個方程有兩個不相等的實數根2 a2 16原方程只有3個不相等的實數根，2 0 即a216 0a 4當 a4時，x2 4x 4 0或 x24x4 0 x122&x222< 2x32當 a4 時，x24x 4 0或x2 4x 4 0x1 22<2x22242x3 2綜上所述：a4,當 a 4時，x12 2<2x22 2，2x32當 a4 時，x12 2v 2 x222氏 x32230.已知函數y 一

13、和y kx 1（k 0） , （1）若這兩個函數圖象都經過點（1, a）,求a和kx的值。（2）當k取何值時，這兩個函數總有公共點2一解：（1） 函數y 經過點（1, a） a 2該點為（1, 2）x2 k 1 k 12一 y 一2（2）xkx x 2 0兩個函數總有公共點方程有實數解y kx 1k 01 8k 0一 1 1-解得：k 且k 0831.已知關于x的一元二次方程x2 (2k 1)x k2 2 0的兩根為xi和X2,且 (x1 2)(x1 x2) 0,求 k 的值。解：(x12)(x1x2)0x12 0x1x20當x1 2時，把x1 2代入原方程得：4 2(2k 1) k2 2 0

14、整理得：k2 4k 4 0 解得：k 2當x x20時，方程有兩個相等的實數根，即-22 一(2k 1)4(k2) 0一.9.一 9解得：k 一 綜上所述：k 2或一4431.(1)已知：p2p 1 0 , 1 q q2 0 ,且 pq 1 ,求-pq-的值。 q解：由 p2 p 1 0,1 q q2 0p 0 q 0 又 pq 12,1211 q q2 0可化為(一)2 1 0q qc1c 1p2 p 1 0與(1)2 2 1 0是同解方程q qp和工是方程x2 x 1 q0的兩個不相等的實數根p11 即必1qq,c、什 1111d(2)若二一1 0, - - 1mmnn11-10且一一，求

15、2 m n m12的值。 n解:11, 11. 、，11- - 1 0與2 1 1 0是同解方程，且,1m mn nm n11r 2，一，一一,一為方程x x 1 0的兩個不相等的實數根m n二 11 11m n mn口 (- -)2 1 ( 2) 3 n m n mn(3)若 2m2 5m 1 0 ,-n n2 0且m n ,求（m n）2的值。解：n 015c萬程。？ 2 0兩邊乘以n得：2n2 5n 1 0 n n22m 5m 10與2n2 5n 1 0是同解方程2m、n為萬程2x 5x1 0的兩個不相等的實數根51m n mn -22,、2 ,、2 ,(m n) (m n) 4mn5 2(2)1