1、2004 年全國普通高等院校春季招生考試（安徽卷）數學試卷（理科）及解答一、選擇題：本大題共12 小題，每小題 5 分，共計 60 分.21.5(4+ = (2004 年安徽春(1)5 分)i(2+ i)A. 5(1 38i)B. 5(1 + 38i)C. 1 + 38iD. 1 38i答：D2.不等式| 2x2 1|W1 的解集為(2004 年安徽春(2)5 分)A. x|1WxW1B. x|2Wxw2C. x| 0WxW2D. x|2WxW0答：A2 23.已知 FF2為橢圓字+ y2= 1( a b 0)的焦點，M 為橢圓上一點，MF1垂直于 x 軸，且/ F1MF2=60o,則橢圓的離

2、心率為（2004 年安徽春（3）5 分）A.2答：CA. 0B. 32C. 27D. 27答：C5.等邊三角形 ABC 的邊長為 4, M、N 分別為 AB、AC 的中點，沿 MN 將厶 AMN 折起，使得 面 AMN與面 MNCB 所成的二面角為 300,則四棱錐 A MNCB 的體積為（2004 年安徽春（5）5 分）A. |B. 3C. 3D. 3答：A6.已知數列 an滿足 a。= 1, an= a+ a1+.+ an-1(n1)，則當 n 1 時，an= (2004 年安徽春(6)5 分)A. 2nB.2 n(n +1)C. 2n1D. 2n 1答：C7.若二面角alB為 120o,

3、直線 m 丄a則B所在平面內的直線與 m 所成角的取值范圍是(2004年安徽春(7)5 分)A.( 0, 90oB. 30o, 60oC. 60o, 90oD. 30o, 90o4.lim(n 2)2(2 + 3n)(1 n)53-=(2004 年安徽春(4)5 分)答：D8.若 f( sinx) = 2 cos2x，貝 U f( cosx) = (2004 年安徽春(8)5 分)A. 2 sin2xB. 2+ sin2xC. 2 cos2xD. 2 + cos2x答：D9.直角坐標 xOy 平面上，平行直線 x= n(n = 0,1,2,5)與平行直線 y= n(n= 0,1,2,5)組成的

4、圖形中，矩形共有(2004 年安徽春(9)5 分)A. 25 個B.36 個C. 100 個D. 225 個答：D10.已知直線 l: x y 1 = 0, 1 仁 2x y 2 = 0,若直線 I?與 h 關于 I 對稱，則 S 的方程是(2004年安徽春(10)5 分)A. x 2y+ 1 = 0 B. x 2y 1 = 0 C. x+ y 1 = 0D. x+ 2y 1 = 0答：B11.已知向量集合 M = 卞 Ia= (1, 2) +?(3, 4),入 R , N = |a= ( 2, 2) + 久 4, 5),入 R.則 MAN= ( )(2004 年春安徽(11)5 分)A.(

5、1, 1)B.( 1 , 1) , ( 2, 2)C.( 2, 2)D. $答：C12.函數 f(x) = sin4x+ cos2x 的最小正周期為(2004 年安徽春(12)5 分)AnB.nC.nD. 2n42答：B二、填空題：本大題共計4 小題，每小題 4 分，共 16 分13._拋物線 y2= 6x 的準線方程是.(2004 年安徽春(13)4 分)14.在 5 名學生(3 名男生，2 名女生)中安排 2 名學生值日，其中至少要有1 名女生的概率是_ .(2004 年安徽春(14)4 分)答：0.715.函數 y=$ x(x0)的最大值為 _ .(2004 年安徽春(15)4 分)答:

6、答:x=116.若(x + - 2)n的展開式中常數項為_ 20,則自然數 n=.(2004 年安徽春x(16)4 分)19.答：3三、解答題：本大題共 6 個小題，共 74 分.17.解關于 x 的不等式：logaxv3logaX(a0 且 1)(2004 年安徽春(17)12 分)本小題主要考查對數、不等式解法等基礎知識，考查分析問題和解決問題的能力，滿分12分解：令 logax=y,則原不等式化為y33yv0解得yv3 或 0vyv3即 logaXV3 或 0vlogaXV3當 0vav1 時，不等式的解集為x|xa3Ux| a3vxv1當 a 1 時，不等式的解集為x|0vxva3Ux

7、| 1vxva318.已知正項數列bn的前 n 項和 Bn= 4( bn+ 1)2,求bn的通項公式.(2004 年安徽春(18)12 分)4本小題主要考查數列的概念、等差數列等基礎知識，考查運算能力滿分 12 分.解：當 n = 1 時，B1= b1.1o b1=(b1+1)2，解得 b1= 14當 n2 時，bn= Bn Bn-11212=(bn+1)(bn-1+1)44=(bnbn1+2bn2bn-1)4整理得：bn bn1 2bn 2bn-1= 0(bn+bn-1)( bnbn-12)=0Tbn+bn-10,bn bn-1 2 = 0 bn是首項為 b1= 1,公差 d = 2 得等差

8、數列bn= 2(n 1) + 1 = 2n 1即bn的通項公式是 bn= 2n 1.已知 k 0,直線 l1：y= kx,l2：y= kx.(2004 年安徽春(19)12 分)(1)證明：到 h、l2的距離平方和為定值 a(a0)的點的軌跡 是圓或橢圓；(2) 求到 11、12的距離之和為定值 c(c 0)的點的軌跡. 本題主要19.考查直線、圓、橢圓的方程和性質，曲線預防成的關系，軌跡的概念和求法，利用方程判定曲線的性質等解析幾何的基本思想和綜合運用知 識的能力滿分 12 分.解：(1)設點 P(x，y)為動點，則因此，當 k= 1 時，動點的軌跡為圓；當 心 1 時，動點的軌跡為橢圓(2

9、)設點 P(x, y)為動點，則| y kx| + | y+ kx| = c 1 + k2整理得：*22(1 + k2) a+(1 + k2)a=122k21 + k2|y kx|2i + k2+|y+ kx|當 yk| x|時,y kx+ y+ kx= c1 + k2, 即卩 y=；c 1+ k2;當 ywk| x| 時,kx y y kx= cJ1 + k2, 即卩 y =；c 1 + k2;當一 k| x|vyvk| x| 且 x 0 時,kx y+ y+ kx= c 1 + k2，即當一 k| x|vyvk| x| 且 xv0 時,綜上所述，動點的軌跡為矩形20.已知三棱柱 ABC A

10、1BQ1中底面邊長和棱長均為a,側面A1ACC1丄底面ABC, A1B=a.(2004 年安徽春(20)12 分)(1) 求異面直線 AC 與 BC1所成角的余弦值.(2) 求證：A1B 丄面 AB1C.本題主要考查直線與直線、直線與平面的位置關系，考查邏輯 推理能力和空間想象能力滿分 12 分.解：過點 B 作 B0 丄 AC,垂足為 0,貝 U BO 丄側面 ACC1A1,. ? 63連結 AQ，在 RtAA1BO 中，A1B =2a, BO =2a3a-A1O= 2 a，又 AA1=a,AO= 2A1AO 為直角三角形， A1O 丄 AC, A1O 丄底面 ABC. 解法一：(1) A1

11、C1/ AC/ BC1A1為異面直線 AC 與 BC1所成的角.x= 2 譏 1 + k2y kx y kx= c 1 + k2，即B$i ACcos0=.=|BiCi| |AC| 哆a.a異面直線 AC 與 BCi所成角的余弦值為i05也寸 3（2）Ai（0，0，2a），B（2a，0，0）-ATB=（號 a，0，烏），AC= （0，a，0）- AiB 丄 AC又 ABBiAi為菱形-AiB 丄 ABiTAiO 丄面 ABC, AC 丄 BO-AC_LA BAiCi丄 AiB.在 RtAA1BC1中,AiBha, AiC=1=aBC1=i02acos/ BCiAi=i05異面直線 AC 與 B

12、Ci所成角的余弦值為i05（2）設 AiB 與 ABi相交于點 D-ABBiAi為菱形，ABi丄 AiB又 AiB 丄 ACABi與 AC 是平面 ABiC 內的相交直線，所以，AiB 丄面 ABiC.解法二：（i）如圖，建立空間直角坐標系，原點為BO 丄 AC 的垂足 O，由題設條件可得B（3a2a，0，0），Ci（0，a，23a），A（0，aa-2，0），C（0，2，0） BCi=（-乎 a，a，a），AC= （0，a，0）設 AC 與 BCi的夾角為0,則i05又因為 ABi 與 AC 為平面 ABiC 內的兩條相交直線, 所以，AiB 丄平面 ABiC.21.已知盒中有 10 個燈泡，

13、其中 8 個正品，2 個次品，需要從中取出 2 個正品，每次取出 1 個， 取出后不放回，直到取出2 個正品為止，設E為取出的次數，求E的分布列及 EE(2004 年安徽春(21)12 分)本題主要考查離散型隨機變量分布列和數學期望等概念，考查運用概率知識解決實際問題的能力.滿分 12 分. EE=2XP(E=2)+3XP(E=3)+4XP(片4)=229722.已知拋物線 C:y= x2+ 4x+ 過 C 上一點 M，且與 M 處切線垂直的直線稱為C 在點 M 處的法線.(2004 年安徽春(22)14 分)1(1)若 C 在點 M 處的法線斜率為一I求點 M 的坐標 M(x, y);(2)

14、設 P( 2, a)為 C 對稱軸上的一點，在 C 上是否存在點，使得 C 在該點的法線通過點P ?若有，求出這些點，以及這些點的法線方程；若沒有，請說明理由本題主要考查導數的幾何意義和應用，直線方程以及綜合運用數學知識解決問題的能力.滿分 14 分.解：函數 y= x2+ 4x+7的導數為 y = 2x+ 4C 上點(xo, yo)處的切線的斜率為 ko= 2x0+ 4I所以一2(2X0+4) = 1p(鼻 4) -1-48 -45451-15即所取次數的概率分布列為E234P28451414515加 9x8+和 9x8=解:P(即 9=411445p(1由已知，過點(x0, y)的法線斜率為一2解得xo= 1, yo= 2故點M的坐標為(一 i, 2)(2)設 M(x, y)為 C 上一點，1(i)若 xo= 2,貝 U C 上點 M( 2,；)處的切線斜率為 k= 0過點 M( 2,2的法線方程為 x= 2此法線過點 P( 2, a)(ii)若 xo 2,則過點 M(xo, yo)的法線方程為yyo=2xo+ 4(xX。)若法線過 P( 2, a)，貝 V a yo=2 xo)即(x+ 2)2= a若 a0,貝 U x0= 2 a,從而27 2a 1yo=xo+4xo+ 2=2將上式代