1、點差法1.過點(1 , 0)的直線I與中心在原點，焦點在x軸上且離心率為 彳的 橢圓C相交于A、B兩點，直線y=*x過線段AB的中點，同時橢圓C 上存在一點與右焦點關于直線I對稱，試求直線I與橢圓C的方程.命題意圖：本題利用對稱問題來考查用待定系數(shù)法求曲線方程的 方法，設計新穎，基礎性強，屬級題目知識依托：待定系數(shù)法求曲線方程，如何處理直線與圓錐曲線問 題，對稱問題.錯解分析：不能恰當?shù)乩秒x心率設出方程是學生容易犯的錯誤 恰當?shù)乩煤脤ΨQ問題是解決好本題的關鍵.技巧與方法：本題是典型的求圓錐曲線方程的問題，解法一，將A、B兩點坐標代入圓錐曲線方程，兩式相減得關于直線AB斜率的等式解法二，用韋

2、達定理.解法一：由e=- ,得蘭占 -從而a2=2b2,c=b.a 2a 2設橢圓方程為x2+2y2=2b2,A(xi,yi),B(X2,y2)在橢圓上.貝S Xi2+2yi2=2b2,X22+2y22=2b2,兩式相減得,(x/ - X22)+2(yi2 -y22)=0,2i2.xi x22(yi y2)設 AB中點為(xo,yo),則 kAB=,又(xo,yo)在直線 y=-x上, yo= -xo,2yo22于是Xo2yo1Kab= 1,設 l 的方程為 y= x+1.右焦點(b,0)關于I的對稱點設為(x，y),丄11則x b解得xy x by 1 b12 2 由點(1,1 b)在橢圓上

3、，得 1+2(1 b)2=2b2,b2二詈2所求橢圓C的方程為 竺 空y2 =1,l的方程為99 2 2解法二：由e=c二，得丄a 2a2,a8 .y=-x+1.91,從而 a2=2b2,c=b.設橢圓C的方程為x2+2y2=2b2,l的方程為y=k(x 1),將I的方程代入 C的方程，得(1+2k2)x2 4k2x+2k2 2b2=0,則Xl+X2二4k 22 y+y2=k(x1 1)+k(x2 1)=k(x1+x2) 2k=-1 2k12k2k2直線I: y=2x過AB的中點(寧，今)，則2221 2kk=0,或 k= 1.若k=0，則I的方程為y=0,焦點F(c,O)關于直線I的對稱點就

4、是F點本身，不能在橢圓C上，所以k=0舍去，從而k= 1,直線I的方程為y= (x 1),即y= x+1,以下同解法2.()已知圓C1的方程為(x 2)2+(y2 2T)2二手,橢圓C2的方程為篤 篤=1>b>0),3a bC2的離心率為 亍，如果G與C2相交于A、B兩點，且線段AB恰為 圓C1的直徑，求直線AB的方程和橢圓C2的方程.解：由e=,可設橢圓方程為鳥善=1,2 2b b又設 A(xi,yi)、B(X2,y2),則 Xi+X2=4,yi+y2=2,22 22又 Xiyii X2y22牙 1 22b b 2bb2兩式相減得2 2X1X22b22 2 yi y2 =o -=

5、0,即(xi+X2)(xi X2)+2(yi+y2)(yi y2)=0.x1x2化簡得X1吃二1,故直線AB的方程為y= x+3,代入橢圓方程得3x2 12X+18 2b2=0.有 A=24b2 72>0,又|AB|= . 2 .(x%2)2一4*2 . ?,得血匸¥ ,V 9 32故所求橢圓方程為11620解得b2=8.21=1.89b 0)的離心率e -, A、B是橢圓上關于坐標不對稱的3兩點，線段AB的中垂線與x軸交于點P1 0)(1設AB中點為C(x0, y0),求滄的值。)若F是橢圓的右焦點，且AF| |BF 3,求橢圓的方程(1)令 A (x1 , yj、B ( x

6、2, 貝UX1 X2y1y2X1X22xq, y11 Xqyoy2)y22yo又A、B在橢圓b2X12 b2X22 b 2(x (X1 X2)c 2a 32x2a2 2 a y1a2 2 a y2yJ2b2a2b2：b2y1 竺X2X1X2)( X1 x2)b2xo a2b2xo-2a yoa2(y1yo(y1 y2)5Xq9 yoAFX1eelc-X1x1x2x2eo2Xx05y2)(y1y2) 0o9Xex12 2所求橢圓方程為亠1952 2(2006年江西卷)如圖，橢圓Q 篤+ 爲=1 (a b 0)的右焦點 F (c, 0),過點F的一 a b動直線m繞點F轉(zhuǎn)動，并且交橢圓于 求點P的

7、軌跡H的方程A、B兩點，P是線段AB的中點在 Q 的方程中，令 a = 1 + cos + sin , b = sin(0?),確定的值，使原點距橢圓的右準線I最遠，此時，設I與x軸交點為D,當直線m繞點F轉(zhuǎn)動到什么位置時，三角形 ABD的面積最大？2 2解：如圖，(1)設橢圓Q:務+芯=1 (a b 0)a b上的點A (xi, yi)、B (X2, y2),又設P點坐標為P (x, y),則.2 2 丄 2 222b x<i+ a y1 = a b (1)b x2+ a y2= a b (2)1當AB不垂直x軸時，xi X2,由(1) ( 2)得2 2b (xi X2)2x + a

8、(yi y2) 2y = 02yi y2 _ b x _ y 2Xi X2 a y x c22|222八/cb x + ay b cx _ 0 (3) 2當AB垂直于x軸時，點P即為點F,滿足方程（3）故所求點P的軌跡方程為：b2x2 + a2y2 b2cx _ 02（2）因為，橢圓 Q右準線I方程是x_ ，原點距Ic222222的距離為，由于 c _ a b , a _ i + cos + sin , b _ sin ( 0ca2i + cos + sin則一_c 、i + cos_ 2si n (l)24當_ 時，上式達到最大值。此時22 2a _2，b _ i，c_ i，D (2，0)，

9、|DF| _ i2設橢圓Q: + y2_i上的點A (Xi，yi)、B ( X2，y2 )，三角形ABD的面積21 iiS_ |y i| + - |y 2| _ |y i y2|2 222設直線 m的方程為x_ ky + i，代入X+ y2_i中，得(2 + k2) y2+ 2ky i _ 02k22由韋達定理得 yi+ y2_ 一 2，yiy2_ 一 -2+ k22+ k4S _(y i y2)2_( yi + y2)2 4 y iy2_8 (k2+i)(k2+2)2i，得 4S?_8t(t+i)2-_2，當t _ i，k_ 0時取等號。4因此，當直線 m繞點F轉(zhuǎn)到垂直x軸位置時，三角形 A

10、BD的面積最大。2 2（2006年湖南卷）已知橢圓 Ci：紅432i,拋物線 C2： (y m) 2px( p 0),且 C、C2的公共弦AB過橢圓Ci的右焦點.(I )當AB丄x軸時，求m、p的值，并判斷拋物線 C2的焦點是否在直線 AB上；(n )是否存在m、p的值，使拋物線C2的焦點恰在直線 AB上？若存在，求出符合條件的 m、 P的值；若不存在，請說明理由45. ( I ) m =0, p解(I)當AB丄x軸時，點AB關于X軸對寸稱，所以m= 0，直線AB的方程為x=1，從而點A的坐標為(1,-)或(1 ,-3).22因為點A在拋物線上，所以92p ,即p948此時C2的焦點坐標為(,

11、0)，該焦點不在直線 AB上.16(n)解法一 當C2的焦點在AB時，由(I)知直線 AB的斜率存在，設直線 AB的方 程為 y k(x 1).y k(x 1)由 x2 y2 消去 y 得(3 4k2)x2 8k2x 4k2 12 0 .143設A、B的坐標分別為(X1,yJ ,(X2, y2)則X1,X2是方程的兩根,X1+ X2 =8k23 4k2因為AB既是過C的右焦點的弦，又是過111所以 AB (2 2X1)(22X2)4 1(X1AB (X1 號)(X2 pX X2p.從而 nx2p 4(n2X2).所以X)X24 6p3，即8k23 4k2解得k26,即k 晶.因為C2的焦點F(

12、?,m)在直線y k(x 1)上，所以m - k .3 3即m 6或m6 .33當m 時，直線AB的方程為y ,6(x 1)；3 當m 6時，直線AB的方程為y . 6(x 1).3解法二 當Q的焦點在AB時，由(I)知直線 AB的斜率存在，設直線 AB的方程 為 y k(x 1).28由(y m) 3x消去 y 得(kx k m)28x .y k(x 1)323k2因為C2的焦點F (-,m)在直線y k(x 1)上，所以mk(- 1)，即1 mk.2k 2代入有(kx仝)28X .3333即 k2x2-(k22)x4k2 0.39設A、B的坐標分別為(X1, y1),(X2, y2),則X

13、1,X2是方程的兩根,X1+ X2 =4(k22)y k(x 1)消去y得(314k2)x28k2x 4k212由于X1,X2也是方程的兩根，所以X1+ X2 =8k23 4k22 2從而坐 A = -8.解得 k2 6,即 k.6 .3k23 4k2、 2 1 因為O的焦點F (-，m)在直線y k(x 1)上，所以m k .3366即m或m.33當m 6時，直線AB的方程為y 6(x 1);3當m 時，直線AB的方程為y > 6(x 1).3解法三 設A、B的坐標分別為(X1, y1), (X2, y2),因為AB既過G的右焦點F(1,0)，又是過G的焦點F (-,m),3即 X1X

14、22(4 p)39由（I）知x1 x2，于是直線AB的斜率y2yix2x13m ,且直線AB的方程是y 3m（x所以 y1 y23m(x1 x2 2)1),2m亍2 2又因為 3x； 4y； 12，所以 3(X1 X2)3x2 4y2124(yiy2)y2yix2x10.將、代入得m2|，即mm罟時，直線AB的方程為y,6(x 1);當m于時，直線AB的方程為y.6(x 1).弦長公式1已知橢圓的中心在坐標原點，焦點在x軸上，它的一個焦點為F,M是橢圓上的任意點，|MF|的最大值和最小值的幾何平均數(shù)為 2,橢 圓上存在著以y=x為軸的對稱點M1和M2，且IM1M2I二號，試求橢 圓的方程解:|

15、MF|max=a+c,|MF|min=a- c,則（a+c）（a c）=a2- c2=b2,2 2-b2=4,設橢圓方程為與 號1a 4設過M1和M2的直線方程為y= - x+m將代入得：（4+a2）x2 2a2mx+a2m2 4a2=0設 M1（X1,y1）、M2（x2,y2）,M1M2 的中點為（x°,y。）,則 xo=2(Xl+X2)=4a2,yo二一xo+m=4m4 a22代入尸X,得上爲4 a4m4 a2由于a2>4,.m=0,.由知Xi+X2=0,XiX2=4a22 ,a又 |MiM2|=： 2 (x x2)2 4x1x2代入Xi+X2,XiX2可解a2=5，故所求

16、橢圓方程為:2y- =1.42.( 2008全國一 21).(本小題滿分 12分)雙曲線的中心為原點 O ,焦點在X軸上，兩條漸近線分別為11,l2，經(jīng)過右焦點F垂直于l1的直線分別交h, l2于A B兩點.已知uuuuurOA、AB、OBuuuuuu成等差數(shù)列，且BF與FA同向.求雙曲線的方程.OB m dAB m,(I)求雙曲線的離心率；(n)設AB被雙曲線所截得的線段的長為 4, 解: (I)設 OA m d ,由勾股定理可得:(m d)2m2 (md)21得：d 4m,tan AOFAOB tan2AOFAB 4OA 3由倍角公式2bab 2丄,則離心率e2.52(n)過 F直線方程為

17、b(Xc)，與雙曲線方程2X2a2y_1聯(lián)立將 a 2b,c '、5b代入，化簡有152852 XX4bb21X1X2(為 X2)2 4X1X2將數(shù)值代入，有532上5b 2428b-,解得 b 32 y92故所求的雙曲線方程為 36(山東卷)設直線l: 2x y20關于原點對稱的直線為l，若I與橢圓x22-1的交41丄的點P的個數(shù)為(2點為A b,點P為橢圓上的動點，則使PAB的面積為(A) 1(B) 2(C) 3(D) 4(福建卷)已知方向向量為v (1, . 3)的直線l過點(0, 2 32CAa1(a b 0)的焦點，且橢圓C的中心關于直線l的對稱點在橢圓C的右準線上(I)求橢

18、圓I"/ MO悴0 ( O為原點).若存在，求直線m的方程；若不存在，請說明理由(I )解法一：直線l : y 3x3、. 3 ,(H)是否存在過點 E (- 2, 0)的直線m交橢圓C于點M N,滿足OM ON過原點垂直l的直線方程為y3解得x .2橢圓中心(0, 0)關于直線l的對稱點在橢圓C的右準線上,a22 33.c 2直線l過橢圓焦點,該焦點坐標為(2, 0)2 2c 2, a 6, b2 22.故橢圓C的方程為-1.6 2解法二：直線l : y設原點關于直線l對稱點為（p，q），則23P 2 32 解得p=3.橢圓中心（o, o）關于直線I的對稱點在橢圓qPC的右準線上,

19、1.直線I過橢圓焦點,該焦點坐標為（2, 0）.2 2c 2, a 6,bx22.故橢圓C的方程為一62y-1.2(II )解法一：設 M( xyi), n ( X2, y2)當直線m不垂直x軸時，直線m : y k(x2）代入，整理得(3k21)x212k2x 12k26 0,XiX2212k22, X1 X23k 112k263k21| MN |k2 (x1 x2)2 4x1x21k212k2 )23k21),12k26423k2 12 6(1 k2)23k21點O到直線OMON - <6 cot MON ,即3|OM| ON | cosMON 4 6COS MON 0,3 sin

20、MON|OM | |ON |sin MON即4-6 |k| k24.6,34 . 6(3k23S OMN263|MN | d -V6,3整理得_33當直線m垂直x軸時,也滿足故直線m的方程為y1).OMN2.332.經(jīng)檢驗上述直線均滿足 OM ON'0.所以所求直線方程為、32.3x33解法二：設M ( xi, yi)，N ( X2, y2).當直線m不垂直x軸時，直線m:k(x2）代入，整理得(3k2i)x2 i2k2x i2k260,xiX2i2k23k2 E (- 2, 0)是橢圓C的左焦點, |MN|=|ME|+|NE|= e(a- Xi) e(H X2) -(xi X2) 2

21、a + (cca.6i2k23k2 i2 6(k2 1)3k2 i以下與解法一相同解法三：設M ( xi, yi)，N ( X2, y2).設直線x ty 2，代入，整理得（t23)y24ty0.yiy24t2口,欣口I yi y2 I.(yi y2)4yiy2(t24t3)2 t2824t224(t23)2OMONMON ,即|OM | ON | cosMON 4.6cOS MON 0,3 sin MON|OM |ON | sinMON-V6,3S OMNS OMNS OEMS OENi2I0EI| yiy21224t24(t23)2 .J _=-V6，整理得t4. (t23)233t2.解

22、得t .3,或t 0.故直線m的方程為y經(jīng)檢驗上述直線均滿足 OM ON 0.22,或 x3所以所求直線方程為 y 3 x 2- ,或y3 3（廣東卷）在平面直角坐標系xOy中，拋物線y2X上異于坐標原點O的兩不同動點A、E滿足AO BO （如圖4所示）.（I）求 AOB得重心G （即三角形三條中線的交點）的軌跡方程；（n） AOB的面積是否存在最小值？若存在，請求出最小值；若不存在，請說明理由.解：（I ）設厶AOB的重心為 G（x,y）,A（xi,y i),B(x 2,y 2),則x1 x23-OAL OB - - koA koB又點A, B在拋物線上，有x；)所以重心為G的軌跡方程為yx

23、1x2yy22X1 ,y2X2 ,13(X1X2)2-223x代入（2）yi1,即化簡得X1X22x1x21(3x)23x2由（I ）得S1|OA|OB|31(x12 2 2力)(X2y2)1 22 222 "2 X1y22 2X212 21 y2AOB1)6當且僅當X； X；即x1x21時，等號成立。2 2(2006年安徽卷)如圖，F(xiàn)為雙曲線C:冷爲 1 a 0,b 0的右焦點。P為雙曲線C右支上一點，且位于 x軸上方，M為左準線上一點， 0為坐標原點。已知四邊形 OFPM 為 平行四邊形，PF OF。(I)寫出雙曲線 C的離心率e與的關系式;(n)當1時，經(jīng)過焦點F且平行于0P的直線交雙曲線于A B點，若AB12,求此時的雙曲線方程。解：四邊形 OFPM是丫 ,/ |0F | |PM |c,作雙曲x線的右準線交PM于H,則 | PM | | PH |e叱|PH |0F |c2c