1、2019年甘肅省蘭州市中考數學試卷（A卷）、選擇題：本大題共 12小題，每小題4分，共48分.1. （4分）（2019?蘭州）2019的相反數是（）1A .2019B. 2019C.2019D.20192. （4分）（2019?蘭州）如圖，直線 ab被直線c所截，a/bA . 130B. 120C. 110D. 1003. （4 分）（2019?蘭州）計算：12 . 3第3頁（共33頁）C. 3D. 4駕與4. （4分）（2019?蘭州）剪紙是中國特有的民間藝術，在如圖所示的四個剪紙圖案中，既是軸對稱又是中心對稱圖形的是（）ax 2b 0 的解，貝U 2a 4b (5. （4分）（2019?蘭

2、州）x 1是關于x的一元二次方程 x2 )A.2B.3C.1D.66. (4分)(2019?蘭州)如圖，四邊形 ABCD內接于e O ,若 A 40 ,則 C ()A. 110B. 120C. 135D. 140 a2 127. （4分）（2019?蘭州）化簡：a （）a 1 a 1a 11A. a 1B. a 1C.D.a 1a 1.BC8. （4 分）（2019?蘭州）已知 ABCs ABC, AB 8, A B 6,則 （ BCA. 2B. 4C. 3D.399. （4分）（2019?蘭州）九章算術是中國古代數學著作之一，書中有這樣的一個問題:五只雀，六只燕共重一斤，雀重燕輕，互換一只，

3、恰好一樣重.問：每只雀、燕的重量各為多少？設一只雀的重量為 x斤，一只燕的重量為 y斤，則可列方程組為（）5x 6y 1A .5x y 6y x6x 5y 1 B.5x y 6y xC.5x 6y 14x y 5y xD.6x 5y 14x y 5y xxOy中，將四邊形 ABCD先向下平移,10. （4分）（2019?蘭州）如圖，在平面直角坐標系再向右平移得到四邊形 AB1C1D1,已知A（ 3,5） , B（ 4,3） , A（3,3）,則B1的坐標為（A. （1,2）B. （2,1）C. （1,4）D.（4,1）11. （4 分）（2019?蘭州）已知點 A（1,yJ ,B（2, y2）

4、在拋物線y（x 1）2 2上，則下列結論正確的是（）A. 2y1y2B. 2y2V1C.y1y22D. y2y212. （4分）（2019?蘭州）如圖，邊長為 注的正方形ABCD的對角線AC與BD交于點O ,將正方形ABCD沿直線DF折疊，點C落在對角線BD上的點E處,折痕DF交AC于點M ,C則 OM ()c. 73 1二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分.13. （4分）（2019?蘭州）因式分解：a3 2a214. （4 分）（2019?蘭州）在 ABC 中，AB15. （4分）（2019?蘭州）如圖，矩形 OABC的頂點B在反比例函數k(k 0)的圖象上, xS巨形OABC

5、6 ,則k16. （4分）（2019?蘭州）如圖，矩形 ABCDBAC 60,以點A為圓心，以任意長為半徑作弧分別交 AB, AC于點M , N兩點，再分別以點,N為圓心，以大于-MN的長2,若BE三、解答題：本大題共 12小題，共86分.則矩形ABCD的面積等于17. (5 分)(2019?蘭州)計算：| 2| (73 1)0 ( 2)2tan 45 .18. （5 分）（2019?蘭州）化簡： a（1 2a） 2（a 1）（a 1）.2x 1 x 519. （5分）（2019?蘭州）解不等式組：x 1 一 x 1320. （6 分）（2019?蘭州）如圖， AB DE , BF EC ,

6、BE ,求證：AC /DF .21. （6分）（2019?蘭州）2019年5月，以“尋根國學，傳承文明”為主題的蘭州市第三屆“國學少年強國學知識挑戰賽”總決賽拉開序幕.小明晉級了總決賽，比賽過程分兩個 環節，參賽選手須在每個環節中各選一道題目.A ,A2 ,A3 ,A4 表不）；第二環節：成語聽寫、詩詞對句、經典誦讀（分別用B1,B2, B3 表示）.第一環節：寫字注音、成語故事、國學常識、成語接龍（分別用（1）請用樹狀圖或列表的方法表示小明參加總決賽抽取題目的所有可能結果;（2）求小明參加總決賽抽取題目是成語題目（成語故事、成語接龍、成語聽寫）的概率.22. （7分）（2019?蘭州）如圖，

7、AC 8,分別以A、C為圓心，以長度 5為半徑作弧，兩條弧分別相交于點 B和D .依次連接 A、B、C、D ,連接BD交AC于點O .（1）判斷四邊形 ABCD的形狀并說明理由;k -（k 0）的圖象 x23. （7分）（2019?蘭州）如圖，在平面直角坐標系xOy中，反比例函數y經過等邊三角形 BOC的頂點B, OC 2,點A在反比例函數圖象上，連接k（1）求反比例函數y -（k 0）的表達式;x（2）若四邊形ACBO的面積是3J3,求點A的坐標.24. （7分）（2019?蘭州）為了解某校八年級學生一門課程的學習情況，小佳和小麗分別對八年級1班和2班本門課程的期末成績進行了調查分析.小佳對

8、八年級1班全班學生（25名）的成績進行分析，過程如下：收集、整理數據：表分數段班級60, x 707Q x 808Q x 9090f ix 100八年級1班75103分析數據:表二統計量班級平均數中位數眾數極差力差八年級1班788536105.28小麗用同樣的方法對八年級 2班全班學生（25名）的成績進行分析，數據如下:表三統計量班級平均數中位數眾數極差力差八年級2班75767344146.80根據以上信息，解決下列問題：（1）已知八年級1班學生的成績在80, x 90這一組的數據如下:85, 87, 88, 80, 82, 85, 83, 85, 87, 85第5頁（共33頁）根據上述數據，

9、將表二補充完整；（2）你認為哪個班級的成績更為優異？請說明理由.25. （7分）（2019?蘭州）某數學課題研究小組針對蘭州市住房窗戶“如何設計遮陽蓬”這一課題進行了探究，過程如下：問題提出： 如圖1是某住戶窗戶上方安裝的遮陽蓬，要求設計的遮陽蓬能最大限度地遮住夏天炎熱的陽光，又能最大限度地使冬天溫暖的陽光射入室內.圖！圖士方案設計:如圖2,該數學課題研究小組通過調查研究設計了垂直于墻面AC的遮陽蓬CD .數據收集：通過查閱相關資料和實際測量：蘭州市一年中，夏至日這一天的正午時刻太陽光線DA與遮陽蓬CD的夾角 ADC最大（ADC 77.44 ）;冬至日這一天的正午時刻，太陽光線DB與遮陽蓬CD

10、的夾角 BDC最小（BDC 30.56 ）.窗戶的高度 AB 2m . 問題解決：根據上述方案及數據，求遮陽蓬CD的長.（結果精確到 0.1m ,參考數據：sin30.560.51 , cos30.56 0.86 , tan30.560.59 ,sin77.440.98 , cos77.440.22, tan77.444.49）26. （9 分）（2019?蘭州）如圖，在 ABC 中，AB AC 6cm , BC 8cm ,點 D 為 BC 的 中點，BE DE ,將 BDE繞點D順時針旋轉 度（0制 83 ）,角的兩邊分別交直線 AB于 M、N兩點，設B、M兩點間的距離為xcm , M ,

11、N兩點間的距離為 ycm .小濤根據學習函數的經驗，對函數 y隨自變量x的變化而變化的規律進行了探究.下面是小濤的探究過程，請補充完整.（1）列表：下表的已知數據是 B, M兩點間白距離x進行取點、畫圖、測量，分別得到了y與x的幾組對應值：x/ m00.300.501.001.502.002.50833.003.503.683.813.903.934.10y / m2.882.812.692.672.803.153.855.246.016.717.277.448.87請你通過計算，補全表格；（2）描點、連線，在平面直角坐標系xOy中，描出表格中各組數值所對應的點（x,y）,并畫出函數y關于x的

12、圖象.（3）探究性質：隨著自變量 x的不斷增大，函數 y的變化趨勢:（4）解決問題：當 MN 2BM時，BM的長度大約是 cm .（保留兩位小數）27. （10分）（2019?蘭州）通過對下面數學模型的研究學習，解決問題.【模型呈現】如圖，在 Rt ABC , ACB 90 ,將斜邊 AB繞點A順時針旋轉90得到AD ,過點D作DE AC于點E,可以推理得到 ABC DAE ,進而得到 AC DE , BC AE .我們把這個數學模型成為“ K型” .推理過程如下:mJ AC=DC=A【模型應用】如圖，在Rt ABC內接于e O , ACB 90 , BC 2,將斜邊AB繞點A順時針旋轉一定的

13、角度得到 AD ,過點D作DE AC于點E , DAE ABC , DE 1 ,連接DO交e O于第11頁（共33頁）（2）連接FC交AB于點G ,連接FB .求證：FG2 GOgSB .28. （12分）（2019?蘭州）通過對下面數學模型的研究學習，解決問題.【模型呈現】如圖，在 Rt ABC , ACB 90 ,將斜邊 AB繞點A順時針旋轉90得到AD ,過點D作DE AC于點E ,可以推理得到 ABC DAE ,進而得到 AC DE , BC AE .我們把這個數學模型成為“ K型” .推理過程如下:m BCA=AED=90 AC=DC=AE二次函數y ax2【模型遷移】bx 2的圖象

14、交x軸于點（1,0） , B（4,0）兩點，交y軸于點C .動點M從點A出發，以每秒2個單位長度的速度沿 AB方向運動，過點 M作MN x軸交直線BC于點N ,交拋物線于點 D ,連接AC ,設運動的時間為t秒.(2)連接BD,當t3時，求 DNB的面積;2(3)在直線MN上存在一點P,當PBC是以 BPC為直角的等腰直角三角形時，求此時點D的坐標;(4)當t 5時, 4在直線 MN上存在一點 Q ,使得 AQC OAC 90 ,求點Q的坐標.2019年甘肅省蘭州市中考數學試卷（A卷）參考答案與試題解析、選擇題：本大題共 12小題，每小題4分，共48分.1. （4分）2019的相反數是（）A.

15、B. 20192019【考點】14:相反數C.20191D.2019【分析】根據相反數的概念求解可得.【解答】解：2019的相反數為2019,故選：B .2. （4分）如圖，直線a , b被直線c所截，a/b,A. 130B. 120C. 110D. 100【考點】平行線的性質180可【分析】先利用對頂角相等得到3 80 ,然后根據平行線的性質，利用 12計算出 2的度數.【解答】解：如圖，Q 1 80 ,3 80 ,Qa/b ,23 180 ,2 18080100 .故選：D .3. （4分）計算：辰邪（）A. 73B. 273C. 3【考點】二次根式的加減法【分析】先化簡二次根式，再合并同

16、類二次根式即可得.D. 4y與【解答】解：國事2曲“事,4. （4分）剪紙是中國特有的民間藝術，在如圖所示的四個剪紙圖案中，既是軸對稱又是中心對稱圖形的是（）C.A .D.B.【考點】中心對稱圖形；軸對稱圖形【分析】根據軸對稱圖形的定義沿一條直線對折后,直線兩旁部分完全重合的圖形是軸對稱圖形，以及中心對稱圖形的定義分別判斷即可得出答案.【解答】解：A、此圖形沿一條直線對折后不能夠完全重合，此圖形不是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項錯誤；B、此圖形沿一條直線對折后能夠完全重合，此圖形不是軸對稱圖形， 不是中心對稱圖形，故此選項錯誤.C、此圖形沿一條直線對折后能夠完全重合，此圖形是軸對稱圖形

17、，旋轉 180能與原圖形重合，是中心對稱圖形，故此選項正確；D、此圖形沿一條直線對折后能夠完全重合，旋轉 180不能與原圖形重合，此圖形是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項錯誤.5. （4分）x 1是關于x的二次方程ax 2b0的解，則2a 4bB.C.D.【考點】一元二次方程的解【分析】先把x 1代入方程ax2b 0 得 a2b1 ,然后利用整體代入的方法計算2a 4b的值.【解答】解：把x 1代入方程x2 ax 2b 0得1 a 2b 0,所以a 2b 1 ,所以 2a 4b 2(a 2b) 2 ( 1)2 .6. （4分）如圖，四邊形ABCD內接于e O ,若 A 40 ,則A. 1

18、10B. 120C. 135D.140【考點】圓內接四邊形的性質直接利用圓內接四邊形的對角互補計算C的度數.解:Q四邊形ABCD內接選:7. （4分）化簡:a2 1 a 18. a 1a 1C. a 1D.【考點】分式的加減法【分析】先根據法則計算,再因式分解、約分即可得.【解答】解：原式-一1a 1(a 1)(a 1) a 1a 1 ,故選：A.BC .8. (4 分)已知 ABCs A BC , AB 8, AB 6,則 ()BCA. 2B. 4C. 3D.39【考點】相似三角形的性質【分析】直接利用相似三角形的性質求解.【解答】解：Q ABCs A B C ,B

19、C AB 8 4BC AB 63故選：B .9. (4分)九章算術是中國古代數學著作之一，書中有這樣的一個問題：五只雀，六只 燕共重一斤，雀重燕輕，互換一只，恰好一樣重.問：每只雀、燕的重量各為多少？設一只 雀的重量為x斤，一只燕的重量為 y斤，則可列方程組為 ( )5x6y16x5y1A.B.5xy6yx5xy6yx5x6y16x5y1C.D.4xy5yx4xy5yx【考點】由實際問題抽象出二元一次方程組【分析】根據題意，可以列出相應的方程組，從而可以解答本題.【解答】解：由題意可得，5x 6y 14x y 5y x 故選：C .10. (4分)如圖，在平面直角坐標系xOy中，將四邊形 AB

20、CD先向下平移，再向右平移得到四邊形 ABQ1D1 ,已知A( 3,5) , B( 4,3) , A(3,3),則B1的坐標為()【考點】坐標與圖形變化平移C. (1,4)D. (4,1)【分析】根據 A和A的坐標得出四邊形 ABCD先向下平移2個單位，再向右平移 6個單位得到四邊形 AB1C1D1 ,則B的平移方法與 A點相同，即可得到答案.【解答】解：由A( 3,5) , A(3,3)可知四邊形ABCD先向下平移2個單位，再向右平移 6個 單位得到四邊形a BGR,Q B( 4,3),Bi的坐標為(2,1), 故選：B .11. (4分)已知點 A(1,%) , B(2,yz)在拋物線y

21、(x 1)2 2上，則下列結論正確的是()A. 2 y1 y2B. 2 y2 yC. y y2 2D. y2 y1 2【考點】二次函數圖象上點的坐標特征【分析】分別計算自變量為1和2對應的函數值，然后對各選項進行判斷.【解答】解：當x 1時，y1(x1)22(1 1)222;當 x 2 時，y1(x 1)22(21)227;所以2 y1 y2 .故選：A.12. (4分)如圖，邊長為 我 的正方形ABCD的對角線AC與BD交于點O ,將正方形ABCD 沿直線DF折疊，點C落在對角線 BD上的點E處，折痕 DF交AC于點M ,則OM (第13頁(共33頁)A . B . C. /3 1D. 22

22、. 1【考點】正方形的性質；翻折變換（折疊問題）【分析】根據正方形的性質得到 AB AD BC CD 泥，DCB COD BOC 90 ,OD OC ,求得BD 72AB 2 ,得到OD BO OC 1 ,根據折疊的性質得到DE DC V2 , DF CE ,求得OE 拒 1 ,根據全等三角形的性質即可得到結論.【解答】解：Q四邊形ABCD是正方形，AB AD BC CD &,DCB COD BOC 90 , OD OC ,BD 72AB 2 ,OD BO OC 1 ,Q將正方形ABCD沿直線DF折疊，點C落在對角線BD上的點E處，DE DC 72, DF CE ,OE 亞 1, EDF FE

23、D ECO OEC 90 ,ODM ECO ,EOC DOC 90OD OC在 OEC 與 OMD 中， OCE ODM ,OEC OMD （ASA）,OM OE 4i 1 ,故選：D .二、填空題：本大題共 4小題，每小題4分，共16分.13. (4 分)因式分解：a3 2a2 a _a(a 1)2_.【考點】提公因式法與公式法的綜合運用【分析】先提取公因式a,再對余下的項利用完全平方公式繼續分解因式.完全平方公式：a2 2ab b2 (a b)2 .【解答】解：a3 2a2 a,a(a2 2a 1),(提取公因式)a(a 1)2.(完全平方公式)故答案為：a(a 1)2 .14. (4 分

24、)在 ABC 中，AB AC , A 40 ,則 B 70.【考點】等腰三角形的性質【分析】根據等腰三角形的性質和三角形內角和計算B的度數.【解答】解：Q AB AC ,B C ,Q A B C 180 ,1B -(18040 ) 70 .故答案為70.k15. (4分)如圖，矩形 OABC的頂點B在反比仞函數y -(k 0)的圖象上，S巨形oabc 6, x【考點】反比例函數系數 k的幾何意義；反比例函數圖象上點的坐標特征；反比例函數的性質【分析】因為過雙曲線上任意一點引x軸、y軸垂線，所得矩形面積S是個定值，即S |k|.【解答】解：根據題意，知 S |k| 6, k 6,又因為反比例函數

25、位于第一象限，k 0 ,所以k 6故答案為6.16. （4分）如圖，矩形 ABCD , BAC 60 ,以點A為圓心，以任意長為半徑作弧分別交AB, AC于點M , N兩點，再分別以點 M , N為圓心，以大于 -MN的長作半徑作弧交2于點P ,作射線AP交BC于點E ,若BE 1 ,則矩形ABCD的面積等于 _3了_.【考點】等邊三角形的判定與性質；矩形的性質【分析】根據矩形的性質得到 B BAD 90 ,求得 ACB 30，由作圖知，AE是BAC 的平分線，得到 BAE CAE 30，根據等腰三角形的性質得到 AE CE ,過E作EFAC 于F ,求得EF BE 1 ,求得AC 2CF 2

26、曲,解直角三角形得到 AB 石，BC 3,于 是得到結論.【解答】解：Q四邊形ABCD是矩形，B BAD 90 , Q BAC 60 ,ACB 30 ,由作圖知， AE是 BAC的平分線， BAECAE 30 ,EACACE 30 ,AE CE ,過E作EFAC于F , EF BE 1 , AC 2CF 2點,AB 33, BC 3,矩形ABCD的面積 ABgBC 36,第17頁（共33頁）故答案為：3，3 .三、解答題：本大題共 12小題，共86分.17. （5 分）計算：| 2| （布 1）0 （ 2）2 tan45【考點】零指數哥；實數的運算；特殊角的三角函數值【分析】根據實數的混合運算

27、順序和運算法則計算可得.【解答】解：原式2 14 14.18. （5 分）化簡：a（1 2a） 2（a 1）（a 1）.【考點】單項式乘多項式；平方差公式【分析】先去括號，再注意到（a 1）（a 1）可以利用平方差公式進行化簡，最后合并同類項即可【解答】解：原式 a 2a2 2（a2 1） 22a 2a 2a 2a 22x 1 x 519. （5分）解不等式組： x 1 分. x 13【考點】解一元一次不等式組【分析】先求出每個不等式的解集，再求出不等式組的解集即可.2x 1 x 5【解答】解： x 1L x 13解不等式得：x 6 ,解不等式得：x 2 ,所以，不等式組的解集為 2x6.20

28、. （6 分）如圖， AB DE , BF EC, B E ,求證：AC/DF.【考點】全等三角形的判定與性質【分析】要證明 AC/DF ,只要證明 ACB DFE即可，要證明 ACB DFE ,只要證明ABC DEF即可，根據題目中的條件可以證明ABC DEF ,本題得以解決.【解答】證明：Q BF EC ,BF FC EC FC ,BC EF ,在ABC和 DEF中，AB DEB E ,BC EFABC DEF （SAS）,ACB DFE ,AC /DF .21. （6分）2019年5月，以“尋根國學，傳承文明”為主題的蘭州市第三屆 “國學少年強國學知識挑戰賽”總決賽拉開序幕.小明晉級了總

29、決賽， 比賽過程分兩個環節，參賽選手須在每個環節中各選一道題目.第一環節：寫字注音、成語故事、國學常識、成語接龍（分別用A,4，A3, A4表示）；第二環節：成語聽寫、詩詞對句、經典誦讀（分別用B1, B2, B3表示）.（1）請用樹狀圖或列表的方法表示小明參加總決賽抽取題目的所有可能結果；（2）求小明參加總決賽抽取題目是成語題目（成語故事、成語接龍、成語聽寫）的概率.【考點】列表法與樹狀圖法【分析】（1）利用畫樹狀圖展示所有 12種等可能的結果數；（2）找出小明參加總決賽抽取題目是成語題目的結果數，然后根據概率公式計算即可.【解答】解：（1）畫樹狀圖為：/T氏巴鳥共有12種等可能的結果數;（

30、2）小明參加總決賽抽取題目是成語題目的結果數為2,第19頁（共33頁）所以小明參加總決賽抽取題目是成語題目(成語故事、成語接龍、成語聽寫)的概率 -2 -12 622. (7分)如圖，AC 8,分別以A、C為圓心，以長度5為半徑作弧，兩條弧分別相交于點B和D .依次連接 A、 B、C、D ,連接BD交AC于點O .(1)判斷四邊形 ABCD的形狀并說明理由;第25頁（共33頁）然后利用勾股定理計算出 OB ,k一(k 0)的圖象經過等邊三角 x【考點】菱形的判定；線段垂直平分線的性質【分析】(1)禾I用作法得到四邊相等，從而可判斷四邊形ABCD為菱形;(2)根據菱形的性質得 OA OC 4,

31、OB OD , AC BD從而得到BD的長.【解答】解：(1)四邊形ABCD為菱形;由作法得AB AD CB CD 5 ,所以四邊形ABCD為菱形;(2) Q四邊形ABCD為菱形,OA OC 4 , OB OD , AC BD ,在 Rt AOB 中，OB 后 42 3,BD 2OB 6 .23. (7分)如圖，在平面直角坐標系 xOy中，反比例函數y形BOC的頂點B , OC 2 ,點A在反比例函數圖象上，連接k(1)求反比例函數y - (k 0)的表達式;x(2)若四邊形 ACBO的面積是373 ,求點A的坐標.義；反比例函數的性質；反比例函數圖象上點的坐標特征反比例函數系數k的幾何意【分

32、析】（1）作BD OC于D ,根據等邊三角形的性質和勾股定理求得OD 1 , BD 於,進而求得三角形 BOD的面積，根據系數 k的幾何意義即可求得 k 弗，從而求得反比例函 數的表達式;（2）求得三角形AOC的面積，即可求得A的縱坐標，代入解析式求得橫坐標， 得出點A的 坐標.【解答】解：（1）作BD OC于DQ BOC是等邊三角形,OB OC 2 , ODBDOB2 OD2S OBD1 ODBDS OBD22lkl|k|3,Q反比例函數k(k x0）的圖象在一三象限,反比例函數的表達式為33 33,1 Q SOBC - OCgBD 2S AOC 3 33 2 3AOC一一1 _ =Q S

33、AOC-OCg/A2察,2Va2艮把y 28代入y走，求得x -,24. （7分）為了解某校八年級學生一門課程的學習情況，小佳和小麗分別對八年級 1班和2班本門課程的期末成績進行了調查分析.小佳對八年級1班全班學生（25名）的成績進行分析，過程如下：收集、整理數據：表一分數段班級60, x 707Q x 808Q x 9090f ix 100八年級1班75103分析數據:表二統計量班級平均數中位數眾數極差力差八年級1班78808536105.28小麗用同樣的方法對八年級 2班全班學生（25名）的成績進行分析，數據如下：表三統計量班級平均數中位數眾數極差力差八年級2班75767344146.80

34、根據以上信息，解決下列問題：（1）已知八年級1班學生的成績在80, x 90這一組的數據如下:85, 87, 88, 80, 82, 85, 83, 85, 87, 85根據上述數據，將表二補充完整；（2）你認為哪個班級的成績更為優異？請說明理由.【考點】中位數；算術平均數；方差；極差；頻數（率）分布表；眾數【分析】（1）根據中位數的定義找出第 13個數，然后確定80, x 90這一組中最小的數即可；（2）從平均數、中位數、眾數和方差的意義可判斷八年級1班學生的成績更為優異.【解答】解：（1）共有25個數據，第13個數落在80, x 90這一組中，此組最小的數為第13個數，所以八年級1班學生的

35、成績的中位數為80;故答案為80;（2）八年級1班學生的成績更為優異.理由如下：八年級 1班學生的成績的平均數比 2班高，1班的中位數比2班的中位數大，并 且1班的眾數為85,比2班的眾數大，1班的方差比2班小，比較穩定.25. （7分）某數學課題研究小組針對蘭州市住房窗戶“如何設計遮陽蓬”這一課題進行了探究，過程如下：問題提出： 如圖1是某住戶窗戶上方安裝的遮陽蓬，要求設計的遮陽蓬能最大限度地遮住夏天炎熱的陽光，又能最大限度地使冬天溫暖的陽光射入室內.方案設計:如圖2,該數學課題研究小組通過調查研究設計了垂直于墻面AC的遮陽蓬CD .數據收集：通過查閱相關資料和實際測量：蘭州市一年中，夏至日

36、這一天的正午時刻太陽光線DA與遮陽蓬CD的夾角 ADC最大（ADC 77.44 ）;冬至日這一天的正午時刻，太陽光線 DB與 遮陽蓬CD的夾角 BDC最小（BDC 30.56 ）.窗戶的高度 AB 2m .問題解決：根據上述方案及數據，求遮陽蓬CD的長.（結果精確到 0.1m ,參考數據：sin30.56 0.51 , cos30.560.86 , tan30.560.59,sin77.440.98 , cos77.440.22, tan77.444.49)【考點】解直角三角形的應用【分析】根據正切的定義分別用CD表示出BC、AC ,根據題意列式計算即可.【解答】解：在 Rt DCB中，tan

37、 BDC -BC , CD貝U BC CDgtan BDC 0.59CD ,AC在 Rt DCA 中,tan ADC -CD貝U AC CDgtan ADC 4.49CD ,由題意得，AC BC AB,即 4.49CD 0.59CD 2 ,解得，CD 0.5m ,答：遮陽蓬CD的長約為0.5m .26. （9分）如圖，在 ABC中，ABAC 6cm , BC 8cm，點 D 為 BC 的中點，BE DE ,將 BDE繞點D順時針旋轉度（0制 83 ）,角的兩邊分別交直線 AB于M、N兩點，設B、M兩點間的距離為xcm , M , N兩點間的距離為 ycm.小濤根據學習函數的經驗，對函數y隨自變

38、量x的變化而變化的規律進行了探究.下面是小濤的探究過程，請補充完整.（1）列表：下表的已知數據是 B, M兩點間白距離x進行取點、畫圖、測量，分別得到了y與x的幾組對應值:x/ m00.300.501.001.502.002.50833.003.503.683.813.903.934.10y / m32.882.812.692.672.803.153.855.246.016.717.277.448.87請你通過計算，補全表格;（2）描點、連線，在平面直角坐標系xOy中，描出表格中各組數值所對應的點(x,y)，并畫出函數y關于x的圖象.x的不斷增大，函數 y的變化趨勢:（4）解決問題：當 MN

39、2BM時，BM的長度大約是cm .（保留兩位小數）C6D動點問題的函數圖象【考點】(1)當xBM 。時，貝U y MN BN1-BD23 ； MD2 HD2 cosEH 280EH羨MN MD tan,即可求解;(2)描點出如下圖象,從圖象可以看出：隨著自變量x的不斷增大，函數 y的變化趨勢;(3)MN 2BM ,即 y2x,在上圖中作直線y2x,即可求解.【解答】解：（1）當xBM。時,CDBD連接AD ,則AD BC ,cosABDBDAB2 cos3則sinMNBN1BD 2 cos3；2) xBM83在 MBD 中，BD 4,BM第27頁(共33頁)2cos B - cos , tan

40、3過點M作MH BD于點H ,22280MD2 HD2 EH 2 一，9則 BD2 BM2 MD2, 故 BMD 90 ,103，則 y MN MD tan (DBsin )tan故：答案為3,;3(2)描點出如下圖象,從圖象可以看出：怎X 1.25時，y隨x最大而減小, 當1.25 X, 4.10時，y隨x最大而增大;(3) MN 2BM，即 y 2x,在上圖中作直線y 2x,直線與曲線交點的縱坐標為：2.68和7.45,故答案為：2.68或7.45.27. （10分）通過對下面數學模型的研究學習，解決問題.【模型呈現】 如圖，在 Rt ABC , ACB 90 ,將斜邊 AB繞點A順時針旋

41、轉90得到AD ,過點D作DE AC于點E ,可以推理得到 ABC DAE ,進而得到 AC DE , BC AE .我們把這個數學模型成為“K型” .推理過程如下:|斜&虻4朝鑿 喉AD-AC=/)C=AE【模型應用】如圖，在 Rt ABC內接于e O , ACB 90BC 2 ,將斜邊AB繞點A順時針旋轉一定的角度得到 AD ,過點D作DE AC于點EDAEABC , DE 1 ,連接DO交e O于（1）求證：AD是e O的切線；（2）連接FC交AB于點G ,連接FB .求證：FG2 GOgSB .【考點】MR：圓的綜合題【分析】（1）因為直角三角形的外心為斜邊中點，所以點O在AB上，AB

42、為e O直徑，故第27頁（共33頁）只需證 AD AB 即可.由 ABC BAC 90 和 DAE ABC 可證得DAE BAC 90，而E、A、C在同一直線上，用 180 減去90即為 BAD 90 ,得 證.(2)依題意畫出圖形，由要證的結論FG2 GOgGB聯想到對應邊成比例，所以需證FGOs BGF .其中 FGO BGF為公共角，即需證 FOG BFG . BFG為圓周角，1 1所對的弧為弧 BC,故連接OC后有 BFG BOC,問題又轉化為證FOG BOC .把2 21一一DO延長交BC于點H后，有 FOG BOH ,故問題轉化為證BOH - BOC .只要-一 八.一 ，_1OH

43、 BC ,由等腰三角形三線合一即有 BOH - BOC ,故問題繼續轉化為證 2DH /CE .聯系【模型呈現】發現能證DEA ACB ,得到 AE BC 2 , AC DE 1 ,即能求AD AB 底.又因為。為AB中點，可得到AO X5 9，再加上第(1)題證 DE 2 AE得 BAD 90 ,可得 DAOs AED ,所以 ADO EAD , DO/EA,得證.【解答】證明：(1) Q e O為Rt ABC的外接圓O為斜邊AB中點，AB為直徑Q ACB 90ABCBAC 90Q DAE ABCDAEBAC 90BAD 180( DAE BAC) 90AD ABAD是e O的切線(2)延長DO交BC于點H ,連接OCQ DE AC于點E DEA 90QAB繞點A旋轉得到ADAB AD在DEA與ACB中DEA ACB 90DAE ABCDA ABDEA ACB(AAS)AE BC 2, AC DE 1AD AB .AC2BC25Q O為AB中點AO -AB 22AO 5 ADDE 2 AEQ DAO AED 90DAOs AEDADO EADDO /EAOHB ACB 90 ,即 DH BCQOB OC