1、第二十七章 類似1234657平行關系在斷定三角形類似中的運用平行關系在斷定三角形類似中的運用1(中考中考衢州衢州)如圖，如圖，AB為半圓為半圓O的直徑，的直徑，C為為BA延伸線上延伸線上一點，一點，CD切半圓切半圓O于點于點D，銜接，銜接OD.作作BECD于點于點E，交半圓交半圓O于點于點F.知知CE12，BE9.(1)求證求證CODCBE；(2)求半圓求半圓O的半徑的半徑r的長的長1運用運用(1)證明：證明：CD切半圓切半圓O于點于點D，CDOD.BECD，ODBE.CODCBE.(2)解：在解：在RtBEC中，中，CE12，BE9，BC 15.CODCBE， ，即，即 ，解得，解得r .

2、前往前往22CEBE ODOCBEBC 15915rr 4582如圖，在平面直角坐標系中，如圖，在平面直角坐標系中，A(1，0)，B(3，0)，C(0，3)，D(2，1)，P(2，2)(1)ADP與與ABC類似嗎？闡明理由類似嗎？闡明理由(2)在圖中標出點在圖中標出點D關于關于y軸的對稱點軸的對稱點D，連，連接接AD，CD，判別，判別ACD的外形，并闡明理由的外形，并闡明理由(3)求求OCAOCD的度數的度數2運用運用三邊關系在斷定三角形類似中的運用三邊關系在斷定三角形類似中的運用解：解：(1)類似理由如下：類似理由如下：AD ，AB2，AP ，AC ，PD3，CB3 ， .ADPABC.(2

3、)如圖，如圖，ACD是等腰直角三角形是等腰直角三角形理由：理由：AD ，AC ，DC2 ，2251022ADAPPDABACCB 10105ADADACAC，AD2AD2AC2AC2( )2( )2( )2( )22020DC2.DC2.ACDACD是等腰直角三角形是等腰直角三角形(3)(3)點點D D與點與點DD關于關于y y軸對稱，軸對稱，OCDOCDOCD.OCD.OCAOCAOCDOCDOCAOCAOCDOCDACDACD4545. .前往前往10103(中考中考黃石黃石)在在ABC中，中，ABAC，BAC2DAE2.(1)如圖，假設點如圖，假設點D關于直關于直線線AE的對稱點為的對稱

4、點為F，求證，求證ADFABC.(2)如圖，在如圖，在(1)的條件下，假設的條件下，假設45，求證，求證DE2BD2CE2.3運用運用邊角關系在斷定三角形類似中的運用邊角關系在斷定三角形類似中的運用(3)如圖，假設如圖，假設45，點，點E在在BC的延伸線上，那么等的延伸線上，那么等式式DE2BD2CE2還能成立嗎？請闡明理由還能成立嗎？請闡明理由(1)證明：證明：點點D，F關于直線關于直線AE對稱，對稱，ADAF，DAEFAE.DAF2BAC.又又ABAC，ADAF， .ADFABC.ADAFABAC (2)證明：由證明：由(1)知知DAF2BAC，DAFDACBACDAC，即即BADCAF.

5、又又ABAC，ADAF，BAD CAF(SAS)BDCF，ABDACF.BAC24590，ABAC，ABDABDACBACB4545，ACFACF4545. .ECFECFACBACBACFACF9090.EF2.EF2CE2CE2CF2.CF2.點點D D，F F關于直線關于直線AEAE對稱，對稱，DEDEEF.EF.DE2DE2BD2BD2CE2.CE2.(3)(3)解：還能成立理由如下：解：還能成立理由如下：作點作點F F，使點，使點D D，F F關于直線關于直線AEAE對稱，銜接對稱，銜接AFAF，EFEF，CFCF，那么那么ADAF，DEEF，FAEDAE.DAF2BAC.DAFDA

6、CBACDAC，即即CAFBAD.又又ABAC，ADAF，BAD CAF(SAS)BDCF，ABDACF.BACBAC2 245459090，ABABACAC，ABDABDACBACB4545. .ACFACF4545. .ECFECF180180ACBACBACFACF9090. .EF2EF2CF2CF2CE2.CE2.EFEFDEDE，CFCFBDBD，DE2DE2BD2BD2CE2.CE2.前往前往4(中考中考淄博淄博)如圖，以如圖，以AB為直徑的為直徑的 O外接于外接于ABC，過，過點點A的切線的切線AP與與BC的延伸線交于點的延伸線交于點P.APB的角平分線的角平分線分別交分別交A

7、B，AC于點于點D，E，其中，其中AE，BD(AEBD)的長的長是一元二次方程是一元二次方程x25x60的兩個實數根的兩個實數根(1)求證求證PABDPBAE.4運用運用角的關系在斷定三角形類似中的運用角的關系在斷定三角形類似中的運用(2)在線段在線段BC上能否存在一點上能否存在一點M，使得四邊形，使得四邊形ADME是菱是菱形？假設存在，請給予證明，并求其面積；假設不存形？假設存在，請給予證明，并求其面積；假設不存在，闡明理由在，闡明理由(1)證明：證明：AP與與 O 相切，相切，DAP90.BACPAE90.AB是直徑，是直徑，ACB90.BACB90.BPAE.又又APDBPD，PAEPB

8、D. ，即，即PABDPBAE.PAAEPBBD (2)解：存在解：存在如圖，過點如圖，過點D作作DMBP于點于點M，銜接，銜接EM.ACB90，ACDM.PAEPBD，AEPBDP.AED ADE.ADAE.ADAP，DMBP，PD平分平分APB，ADDM，AEDM.又又DMAC，四邊形四邊形ADME是平行四邊形是平行四邊形ADDM，四邊形四邊形ADME是菱形是菱形解解x25x60，得，得x2或或x3.AE2，BD3.DMAD2.由勾股定理得由勾股定理得BM .DMAC， .MC = .菱形菱形ADME的面積的面積 2 .前往前往5BMBDMCDA 2 532 534 535(中考中考聊城聊

9、城)如圖，在如圖，在RtABC中，中，C90，BE平分平分ABC交交AC于點于點E，作，作EDEB交交AB于點于點D， O是是BED的外接圓的外接圓(1)求證：求證：AC是是 O的切線；的切線；(2)知知 O的半徑為的半徑為2.5，BE4，求，求BC，AD的長的長5運用運用類似三角形的斷定和性質在圓中計算的運用類似三角形的斷定和性質在圓中計算的運用(1)證明：如圖，銜接證明：如圖，銜接OE.OBOE，OBEOEB.BE平分平分ABC，OBEEBC.OEBEBC.OEBC.C90，OEA90，即，即ACOE.又又OE是是 O的半徑，的半徑，AC是是 O的切線的切線(2)解：在解：在BCE與與BE

10、D中，中，CBED90，EBCDBE，BCEBED. .在在 O中，中，DEB90，BD是是 O的直徑，即的直徑，即BD5， ，解得，解得BC .BEBCBDBE 454BC 165又又OEBC， .AOAD2.5，ABAD5， ，解得，解得AD .AOOEABBC 2.52.51655ADAD 457前往前往6(中考中考大連大連)閱讀以下資料：閱讀以下資料：小明遇到這樣一個問題：如圖，小明遇到這樣一個問題：如圖，在在ABC中，中，ABAC，點，點D在在BC邊上，邊上，DABABD，BEAD，垂足為垂足為E，求證：，求證：BC2AE.小明經探求發現，過點小明經探求發現，過點A作作AFBC，垂足

11、為，垂足為F，得到，得到AFBBEA，6運用運用構造類似三角形法在求比值中的運用構造類似三角形法在求比值中的運用從而可證從而可證ABF BAE(如圖如圖)，使問題得到處理，使問題得到處理(1)根據閱讀資料回答：根據閱讀資料回答：ABF與與BAE全等的條件是全等的條件是_(填填“SSS“SAS“ASA“AAS或或“HL)參考小明思索問題的方法，解答以下問題：參考小明思索問題的方法，解答以下問題：(2)如圖，在如圖，在ABC中，中，ABAC，BAC90，D為為BC中點，中點，E為為DC中點，點中點，點F在在AC的延伸線上，且的延伸線上，且CDFEAC，假設，假設CF2，求，求AB的長；的長；AAS

12、或或ASA(3)如圖，在如圖，在ABC中，中，ABAC，BAC120，點，點D，E分別在分別在AB，AC邊上，且邊上，且ADkDB(其中其中0k )，AEDBCD，求，求 的值的值(用含用含k的式子表示的式子表示)33AEEC解：解： (2)如圖，作如圖，作EHDC交交AC于于H.ABAC，BAC90，ACB45，BC AC.BCF.D是是BC的中點，的中點，AC CD.EHBC，ACB45，22CHECHE4545. .CECEEHEH，CHCH CE CE EH EH，AHEAHE. .BCFBCFAHE.AHE.又又EACEACCDFCDF，AEHAEHDFC.DFC. . .EE是是D

13、CDC的中點，的中點，CHCH CE CE CD. CD.EHAHFCDC 22222AHAHACACCHCH CD CD CD CD CD. CD. . .CFCF2 2，EHEH . .CECE . .CDCD2 .2 .ABABACAC CD CD 2 2 4.4.2222222EHAHFCDC222222(3)如圖，作如圖，作DKBC交交AC于點于點K，作，作ALDK于點于點L.ABAC，BAC120，BACB30.DKBC，ADKAKD30.ALDK，AL AK.LK AK.DK AK.12323DKBCDKBC， . .ADADkDBkDB，AKAKkKC.kKC.設設AKAKm

14、m，那么，那么DKDK m m，KCKC . .DKBCDKBC，DCBDCBKDC.KDC.DCBDCBAEDAED，AEDAEDKDC.KDC.又又DKEDKECKDCKD，DKEDKECKD.CKD. . .ADAKDBKC 3mkDKKECKKD DK2DK2KEKC.KEKC. KE.KE KE.KE3km.3km.AEAEAKAKKEKEm m3km3km，ECECKCKCKEKE 3km.3km. . .22313330113333AEmkmkkkkmECkkmkkk 23mmkmk前往前往7(中考中考舟山舟山)我們定義：有一組鄰角相等的凸四邊形叫做我們定義：有一組鄰角相等的凸四

15、邊形叫做“等鄰角四邊形等鄰角四邊形(1)概念了解：請他根據上述定概念了解：請他根據上述定義舉一個等鄰角四邊形的例子：義舉一個等鄰角四邊形的例子：_；(2)問題探求：如圖，在等鄰角四邊形問題探求：如圖，在等鄰角四邊形ABCD中，中，DABABC，AD，BC的中垂線恰好交于的中垂線恰好交于AB邊上邊上7運用運用類似三角形的斷定和性質在新定義中的運用類似三角形的斷定和性質在新定義中的運用矩形矩形(答案不獨一答案不獨一)一點一點P，銜接，銜接AC，BD，試探求，試探求AC與與BD的數量關系，并闡的數量關系，并闡明理由；明理由；(3)運用拓展：如圖，在運用拓展：如圖，在RtABC與與RtABD中，中，C

16、D90，BCBD3，AB5，將，將RtABD繞著點繞著點A順順時針旋轉角時針旋轉角(0BAC)，得到，得到RtABD(如圖如圖)，當凸四邊形，當凸四邊形ADBC為等鄰角四邊形時，求出它的面積為等鄰角四邊形時，求出它的面積解：解： (2)ACBD.理由如下：理由如下：如圖，銜接如圖，銜接PD，PC.PE是是AD的中垂線，的中垂線，PF是是BC的中垂線，的中垂線，PAPD，PCPB.PADPDA，PBCPCB.DPB2PAD，APC2PBC.PADPADPBCPBC，APCAPCDPB.DPB.APCAPCDPB(SAS)DPB(SAS)ACACBD.BD.(3)(I)(3)(I)如圖，當如圖，當

17、ADBADBDBCDBC時，延伸時，延伸ADAD，CBCB交于點交于點E E，那么，那么EDBEDBEBD.EBD.EBEBED.ED.設設EBEBEDEDx.x.由勾股定理可得由勾股定理可得ACADAD4.在在RtACE中，中，AC2CE2AE2，即即42(3x)2(4x)2，解得解得x4.5.過點過點D作作DFCE于點于點F，那么那么DFAC，EDFEAC. ，即，即 ，解得，解得DF .D FEDACEA 4.5444.5D F 3617SSACEACE ACEC ACEC 4 4(3(34.5)4.5)1515，S SBDEBDE BEDF BEDF 4.54.5 . .SS四邊形四邊形ADBCADB