1、分式方程重難點題型一、知識梳理一：分式方程的基本解法1. 分式方程的定義：分母中含有未知數的方程叫作分式方程.2. 分式方程的解法：(1) 解分式方程的基本思想是：把分式方程轉化為整式方程.(2) 解可化為一元一次方程的分式方程的一般方法和步驟： 去分母，即在方程的兩邊同時乘以最簡公分母，把原方程化為整式方程； 去括號；移項；合并同類項；系數化為1;驗根：把整式方程的根代入最簡公分母中，使最簡公分母不等于零的值是原方程的根；使 最簡公分母等于零的值是原方程的增根.注意：解分式方程一定要驗根.二：分式方程的增根和無解1. 分式方程的增根(1) 產生增根的原因增根的產生是在解分式方程的第一步“去分

2、母”時造成的，根據方程的同解原理，方程的兩 邊都乘以(或除以)同一個不為0的數，所得的方程是原方程的同解方程，如果方程的兩邊都乘 以的數是0,那么所得的方程與原方程不是同解方程，這時求得的根就是原方程的增根.(2) 分式方程增根的應用如果說某個含參數的分式方程無解，但是去分母以后的整式方程是有解的，說明那個解應該 是增根.只要把增根求出來(也就是令原來的分母為零)，代入整式方程就可以解出參數的值.2. 分式方程無解：不論未知數取何值，都不能使方程兩邊的值相等.它包含兩種情形：(1) 原方程去分母后的整式方程無解；(2) 原方程去分母后的整式方程有解，但這個解使原方程的分母為0,它是原方程的增根

3、， 從而原方程無解.3. 分式方程無解與增根的區別：分式方程無解時，不一定有增根；分式方程有增根時，不一定無解.二、例題分析題型一分式方程的概念與基本解法x2 2【例1】下列方程中哪些是分式方程？(1) 3(x-l) + x=0(2)丄x+-(x-l) = 9 (3) -一- = 7 (4) +-x = l23x+1 x(6)戈二 (7) x + - = 3 (8)-=3y+lxx 3-x(9)鼻- + 7=0 (°為字母系數) +1 a(10)為字母系數)【解析】思路與技巧：分式方程首先應為方程,然后還必須滿足有分母，并且分母中含有未知【例2】【解析】數.其中分式方程有(3)、(5

4、)、(7)、解下列分式方程:(1)(2)(3)(8)、(10)£2x-4x-22x2 -4x. 2x;+ 1 =x2-l x+13x + 1(x+l)(x-2)呵1x =2(3) 兩邊同時乘以(x+l)(x-2), x(x-2)-(x+ 1X-V-2) = 3 .解這個方程，得x = -l.,檢驗：x = -l時(x+l)(x-2) = 0 ,:.x = -l不是原分式方程的解，原分式方程無解.【變1】解下列分式方程：(1)(2)16x-2 _x+24-x2x+2 x-25x2x-5【解析】 7x-10x + x 6 x x12 x 6x + 816x-2 x+2+=原方程化為(2

5、+ Q(27 “2 x-2 方程兩邊同時乘以(x+2)(x-2)，約去分母,得- 16 + (x-2)'=(x+2)2 ,整理得x2 -4x- 12=x2 + 4x + 4,解這個整式方程，得x=-2 ,檢驗：把尸一2 代入(x+2)(x 2),得(2 + 2)(-2-2) = 0所以x=-2是原方程的增根，原分式方程無解.2x-5原方程可變形知金亍金礦占土 方程兩邊都乘以(x_2)(x+3)(x_4), 得5x(x-4) + (2x5)(x2) = (7x10)(x+3),整理，得*0x = 70, Ax = l, 檢驗，當x = l時，(x-2)(x+3)(x-4)H0原方程的解是

6、x = l.【變2】設實數k滿足0 <k<l,解關于x的分式方程： J= 1.x l X XX【解析】由題意得,2kx-l = (2k + l)(x-i),即 2也-l = (2R + l)x-2k-l,解得x = 2k,I.如果k =-,即x = l,則x = 2k為原方程的增根；2n.如果OvRvl且£工丄，則x2k為原方程的根.2題型二 分式方程的增根、無解及解范圍問題【例3】(1)若關于x的方程 =+ 1無解，則a的值是.x-2x-2(2) 若關于x的分式方程- = 1無解，則。=.x-l X(3) 若關于x的方程±Ll_=血+2 無解，求a的值.x +

7、 2 x-l (X-1)(X4-2)【解析】(1)1或2； (2) 1或一2;原方程化為(a + 2)x = 3 , x = 1 > x=0、a + 2 = 0時，原方程均無解.(3) 原方程化為(a + 2)x = -3fT原方程無解，.。+ 2 = 0或兀1 = 0, x+2 = 0,得x = l, x = 2分別代入，得67 = 5 , a = -,2綜上知a = 2, -5或一丄.2【例4】(1)若關于x的方程蘭巴+ 1 = 0的根為正數，則加取值范圍為x-2(2) 若關于x的分式方程 = 2的解是非負數，則。取值范圍是.% 12x2(3) 若關于x的方程竺乜_1 = 0的解為正

8、數，則a取值范圍為x-l【解析】(1)去分母，得：2x +加+ (x-2) = 0 ,化簡可得：尤=2 3 ,由題意得：x>0且XH2,即：且工2,解得：加<2且加工".3349(2) a >且aH.33(3) avl且dH1.【例5】（1）若關于x的分式方程 =1有增根，則增根是X-1X-1（2）如果分式方程口 _=8出現了增根，那么£的值為.x-17-x（3）若分式方程互-4- = 產生增根，則加的值為X +1 X +X X（4）如果解方程 =-!時出現增根，則加的取值為.x-2 x + 2%- -4【解析】（1）x=l:去分母，得：6-m（x +1）

9、 = x2 -1,移項，得：7-m（x +1） = ,當x = -l時，原方程無解，（分母為0的兩種情況討論），當x=l時為原方程的增根.（2） 1: （3） 2或 1; （4） ni = ±.2【變3】若分式方程：2 +匕竺=丄有增根，則k的值為x22 x若關于X的分式方程豈出_1 = ?無解，則加的值為x-3 x若分式方程蘭削=-1的解是正數，求。的取值范圍.x-2解關于x的方程總=（c + d工0）【解析】解分式方程得：*二，由于有增根，則“2,二 =2,R = 1 2-k2-k解分式方程得：x =- ,由于方程無解，則x=0或32ni +13當x = 0時，加無解，當x =

10、3時，m =20 _ ZT解分式方程得：x =>0-fl-x2, a <2 a -43(4).c+dH0x =ad + bec + d題型三8大技巧解分式方程對于某些特殊類型的分式方程，如果采用常規方法來解，往往會帶來繁瑣的運算。下面舉例 介紹幾種巧解分式方程的方法.技巧局部通分法【例6】解下列關于x的方程（組）:x-6x-5x-5x-233【解析】局部通分得去分母，得 x27x +10=x29.v +18,故 a=413104【變4】解方程：x-4 x-3x-5 x-l3x+l3x + l【解析】方程的左右兩邊分別通分得(沖如)3x + l3x + l(x-4)(x-3) (x-

11、5)(x-l) =()，(3x+l)(x-4)(x-3) (x-5)(x-l)經檢驗知曰是原方程的解./.3x4-1 = 0 , 或=0 ,(x-4)(x-3) (x-5)(x-l)由3x+l = 0,解得x = -,由丄=0,解得x=7.3(x 4)(x - 3) (x5)(兀一1)經檢驗：“冷，*7是原方程的根.技巧2：分離常數法【例7】x-l x-7 x-3 x-5 +=H x-2 x-8 x-4 x-6【分析】方程中每一個分式的分母加1都等于它的分子，根據這樣一個特點，可以把分子分成兩項，然后分別用它的分母去除，消去分子中的未知數.【解析】分離常數得(x-2)+l(x-8)+ l (x

12、-4)+ l (x-6)+ lH=1x-2x-8x-4x-6即+!+!=+!+!x-2x-8x-4x-6注：分離常數之后達到使分式方程簡化的目的，之后可以用剛才的局部通分法繼續解題 移項得：J=x2x-4x-6x-8局部通分得：J=-x 一6.r +8 .V - 14x + 48.X2 14x+48=W6x+8解得a=5,經檢驗x=5是原方程的解.x+1x-lx -I【解析】方程3+9x+7_ 2.£+4x-3_x節"1=。可化為:【變5】解方程歲+9兀+7_ 2疋+43/口“1 = 0x + lx-lx- -12 «1 2 «、 32x+lx+lx-l

13、x- -113 2x+l 八-4x-5 門» = 0=>=0x+l x-l x -ix -1故x = -,經檢驗，是原方程的解.4變6】解方程車竺2 + 1 =算±竺±1x' +x-2 x +2x+lr hji +r*、X" 4- x 2 12x + 4x +2 1X' + x-2x' +2x + l-1-11 + + 1 = 2+ x +x-2+2a + 1-= ,X2 + x-2 = x2+2x+1 , x = -3x_ 4- x2 x + 2x +1經檢驗x = -3不是原方程的增根，原方程的解是x = -3技巧3：換

14、元法【例8】310=+= -5 x+y x-y x+ y x-y【解析】設一-=a,x+ y = b,則原方程組可化為 兀一）'3a + 10b = -52«-15Z? = la = -l丄；5= -l：，即£x-y 5">一：解得x-y = -5x = -3y = 2經檢驗= ；為原方程組的解.y = 2 上 2Qr2【例9】解方程（丄）2-巳 4 = 0X 1 X 12【解析】設上二則原方程可化為：才一3y 4 = 0解得y = 4或y = -l.x-l(1)當 y = 4時，=4,去分母，得二 4(兀一1)=> 匕 一4兀 +4 二 0

15、=> x = 2 ； x-l當y = 1時,x-l= -x+l=>x2 + x- l = 0=>x =-l±>/521檢驗：把各根分別代入原方程的分母，各分母都不為0.所以，*2,都是原方程的解.【變7】解方程:x3x-2H2332+x-2x-3【解析】設字7則原方程可化為:(d + b)(db-l) = 0故=。或者如I,即字+寧=。或者匕譽九 解之得，X=y,或X=O,或“5,經檢驗，均是原方程的解.【變8】解方程組;【解析】把方程組的每一個方程去分母，轉化為整式方程組，將得到二元二次方程組，目前我們還不會解這類方程組.若認真觀察這個方程組得特點，則原方程

16、組可寫成x yx y 10.2,只需把丄丄分別看作是一個整體,1x y則利用換元法就可以轉化為二元一次方程組求解設- = /«，丄則原方程組可化為V6m + 6” = 一28/n - 3/7 =10解這個方程組,20即<n = 一30ly120130p = 20b = 30經檢驗;M是原方程組的解.【變9】x+ y 3解方程組?x+ y 2+2 x-y_£6=3【解析】按常規想法將兩個分式方程去分母后變形為整式方程組，會出現高次方程，目前我們還 不會解.因此觀察特點，特別是反復出現的字母形式，再利用換元思想(或叫整體代換) 去解這個方程組.設= m，丄=”，則原方程組

17、變形為-3n = -36+2h = 3化簡整理方程組：將方程兩邊同乘以6,得：加-=-1 將方程兩邊同乘以2得：加+ 4“ = 6原方程組化為嚴一：T丫)解方程組：(3H4)X2 n = -/n + 4n = 6(4)2把，冷代入籾+ 4專"4即x-y 2fx+y = 4.(5)x-y = 2.(6)再解方程組：(5)+(6)得兀=3,耳各x = 3代入(5)得y = lfx = 3(y = l經檢驗：嚴是原方程組的解.技巧4：局部換元法【例 10】-+=0x -x x -x+1 jt-x+4【分析】通過觀察發現各分式中分母都和x2-x+l這一式子有聯系，故可用局部換元法【解析】令x

18、2-x+l=y,原方程變成1 o 1= 0,解之并檢驗可得尸3。)，一1 y y + 3Ax2x+l=3,解之可得 xi=2, X2=1注：涉及一元二次方程簡單解法，教師可適當鋪墊。故原方程的根是山=2,疋=一1.【例 11】6|x2 +4-| +5（x+ 丄）= 38.I x）x【解析】設f = x+-則疋+亠=尸_2原方程變為：6（尸一2） + 5238當%+- = -時解得也=一丄,兀=一3x 33經檢驗都為原方程的根。所以原方程的根為x1=2,x2=1, x3=-|,x4=-3 【變 10-一i+ 一i；一-=0.x- -lOx-29 x" -10x-45 x -10x-69

19、【解析】設x2-10x-45 = r,則原方程可化為：119h 0 ,解之得，/ = 6r + 16 t r-24故 x2 一 10x-45 = -6 => x2 - 10x-39 = 0(x+3)(x-13)= 0=>x = -3 或 x = 13【變11】解方程：琵寸心+呂寸。.【解析】設x:-8=y,則原方程化為:llx+ y 2x4- y y-13x整理可得，b =49/,故y = ±lx若 y = 7x, R'l x2 -7x-8 = 0 , (x + l)(x-8) = 0 ,故 x = l 或 x=8;若 y = -7x,則 x2 + 7x-8 =

20、0 , (x-l)(x +8)= 0 ,故 x=l 或 x = -8.經檢驗，上述四個值均是原方程的解.【例12】技巧5:裂項法x(x +1) (x + l)(x + 2) (x + 2)(x+3) (x + 3)(x + 4) (x + 4)(x+5)x+5【解析】原方程可化為丄-x x+1 x+l x+2x+4 x-5x+5即丄-一 =,解之得% = -,經檢驗x =-是原方程的根x x + 5 x + 522【變12】 方程J+-+!+=! -丄的解(x-l)(x+2)(x+2)(x+5) (x + 5)(x+8) (x + 8)(x+ll) 3x 324為.【解析】_ =丄丄(x-3)

21、xx-3 x°方程兩邊乘3,拆項、化簡得：一-=,x = 3x + ll 8【變13】解方程+ = A.x +x x- +3x+2 x +5x+6 x' 4-7x+1221【解析】方程dr誌h兒+詔丘421可化為:4211111 1 11x x+1 x+I x+2x+3 x+4丄_丄丄，即亠丄x x+421x(x+4)21故 x(x +4) = 21 =>/+4兀一21 = 0 ,即(x-3)(x+7)=0故“3或者x = -7,經檢驗，均是原方程的解.技巧6：倒數法X1【例13】= -X' +X JT 一 1【解析】xH0,方程化為匚貯=/1,x + l =

22、F1X：.Xl = Zx2=-l經檢驗x = -1是增根，舍去，原方程的解是x=2技巧7:利用因式分解裂項法【例14】丄+化+丄“x+2x-42-x【解析】原方程變化為:丄+丄+丄_2“x+2x+2x-2x-2=1x+2經檢驗X = 1是原方程的根技巧8：逐步通分法【例 15】 ! + !+ 2,+ 48 =61-x 1 + x 1 + x- 1 + X 1 + X【解析】厶+ Z +二+二=161-X-1 + X- 1 + X4 1 + A-8448_1-x41 + x4 +l + xs -+ 亠 =16解得兀=0 ,經檢驗x = 0是原方程的根l-.vs 1 + x816山題型四分式方程的

23、應用列分式方程解應用題時，一定要注意檢驗有兩層：驗根和驗題意.【例16】 列方程解應用題：為了提高產品的附加值，某公司計劃將研發生產的1200件新產品進行精加工后再投放 市場現有甲、乙兩個工廠都具備加工能力，公司派出相關人員分別到這兩個工廠了解 情況，獲得如下信息：信息一：甲工廠單獨加工完成這批產品比乙工廠單獨加工完成這批產品多用10天；信息二：乙工廠每天加工的數量是甲工廠每天加工數量的1.5倍.根據以上信息，求甲、乙兩個工廠每天分別能加工多少件新產品.【解析】設甲工廠每天能加工x件新產品，則乙工廠每天能加工1.5x件新產品.依題意得空=竺+ 10解得x = 40x 1.5x經檢驗，x = 4

24、0是原方程的解，并且符合題意A1.5x=60.答：甲工廠每天能加工40件新產品，乙工廠每天能加工60件新產品.【變14】 甲、乙兩同學玩“托球賽跑”游戲，商定：球拍托著乒乓球從起跑線/起跑，繞過P 點跑回到起跑線（如圖所示）；途中乒乓球掉下時須撿起并回到掉球處繼續賽跑，用時 少者勝.結果：甲同學由于心急，掉了球，浪費了 6秒鐘，乙同學則順利跑完.事后， 甲同學說：“我倆所用的全部時間的和為50秒”，乙同學說：“撿球過程不算在內時， 甲的速度是我的1.2倍”.根據圖文信息，請問哪位同學獲勝？【解析】解一：設乙同學的速度為x米/秒，則甲同學的速度為1.2x米/秒根據題意得：_ + 6 + = 50

25、 1.2x x解得x = 2.5經檢驗：x = 2.5是方程的解，且符合題意，甲同學所用的時間為： + 6 = 26 (秒)1.2x乙同學所用的時間為： = 24秒xV 26>24,乙同學獲勝x+y = 50根據題意得型七啟解得主一6yfx = 26y = 24解二：設甲同學所用時間為;I秒，乙同學所用時間為y秒經檢驗：x = 26,)，= 24是方程的解，且符合題意，x>y,乙同學獲勝題型五七大誤區梳理誤區1:忽視檢驗【例17】解方程+ =x + l x-l X' -1【錯解】去分母，得"兀一1丿+3(兀+ 1丿=6解這個整式方程，得x = l所以，原方程的解為

26、x=l【總結】錯誤原因就是沒有驗根，這是與解整式方程最大的區【正解】在添加檢驗這一環節就可以拉。經檢驗，得x = l能使原方程分母得0,所以x = l是增根，舍去，原方程沒有實數誤區2：檢驗方法不正確【例18】解方程+ =x + l x-1 x -1【錯解】去分母，得"兀一1丿+3(兀+ 1丿=6解這個整式方程，得x = l檢驗：把兀=1代入2(x-l)+3(x + l) = 6中，左邊=2x(1 1丿+ 3(1 +2丿=6=右邊所以，x=l是原方程的解。【正解】去分母，得"兀一1丿+3（兀+ 1丿=6,解這個整式方程，得x=l檢驗：把兀=1代入原方程，原方程無意義，故兀=1是增根，原方程無解誤區3：忽視分子為零【例19】 解方程 一- 4 = _ix-2x-1x-4x-35 x5 x【錯解】方程兩邊分別通分并整理，得一=x2-3x + 2x2-7x + 12由于等式左右兩邊都是分式，而且這兩個分式的分子相等，所以分母也應該相等，故有%2 3x+2 = x2 -7x+12 ,解之，Wx =2檢驗：把x =-代入原方程，原方程左、右兩邊的值相等，所以，x=-是原方程的根.2 2 5 x5 x【正解】方程兩邊分別通分并整理，得 =.x2-3x + 2x2-7x