1、幾何坐標法思想的啟悟1. 笛卡爾的幾何坐標法思想笛卡爾（ Descartes ，1596-1650），法國人， 偉大的哲學家、 數(shù)學家、物理學家、生理學家，解析幾何的創(chuàng)始人. 他在主要著作方法論的附錄之一幾何學中提出了關(guān)于解析幾何和代 數(shù)的思想， 其核心是： 先把歐幾里得幾何學問題歸結(jié)成代數(shù)形式 的問題，然后用代數(shù)學的方法進行計算、證明，從而達到最終解 決幾何問題的目的 .1637 年，笛卡爾發(fā)表了幾何學，創(chuàng)立了 平面直角坐標系，創(chuàng)立了解析幾何學，其主要思想為：（1）在幾何學中引入坐標系：笛卡爾從天文和地理的經(jīng)緯 度出發(fā)，建立了平面上的點和實數(shù)對（x, y）的一一對應(yīng)關(guān)系， 創(chuàng)立了平面直角坐標

2、系， 這一劃時代產(chǎn)物的出現(xiàn)使數(shù)量思維與空 間思維完美地結(jié)合在一起，溝通了數(shù)學中的兩個基本研究對象 “數(shù)”和“形”之間的聯(lián)系，研究的“數(shù)”是變數(shù)，研究的 “形”是不規(guī)則的幾何形體；（ 2 ）用方程表示曲線的思想：笛卡爾把相互關(guān)聯(lián)的兩個未 知數(shù)的任意代數(shù)方程看成是平面上的一條曲線， 用以描述具有某 種性質(zhì)的點之間的內(nèi)在關(guān)系， 笛卡爾說： “這種關(guān)系可用一個方 程來表示”， 這就是說可以用一個二元方程表示平面曲線， 并根 據(jù)方程的代數(shù)性質(zhì)來研究相應(yīng)曲線的幾何性質(zhì)； 反之， 可根據(jù)已 知曲線的幾何性質(zhì)定義曲線的方程， 并用幾何的觀點研究方程的 代數(shù)性質(zhì) .笛卡爾幾何坐標法思想對數(shù)學史上的巨大貢獻可用恩

3、格斯 下面的一段話來概括， 即“數(shù)學中的轉(zhuǎn)折點是笛卡爾的變數(shù)； 有 了變數(shù)，運動進入了數(shù)學；有了變數(shù)，辯證法進入了數(shù)學；有了 變數(shù)，微分和積分也就立刻成了必要的了” .由此可見，笛卡爾幾何坐標法思想對人類科學思維的影響是 何等巨大，為后人的學習和創(chuàng)新提供了寶貴的財富 . 時至今日， 笛卡爾幾何坐標法思想在培養(yǎng)學生的創(chuàng)新思維意識、 能力方面的 影響是很大的， 我們通過以下幾何學問題的坐標法求解過程獲得 的啟悟來說明這一點 .2. 幾何學問題的坐標法求解 幾何坐標法的核心思想是建立一個合適的坐標系 （這是幾何 學問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題的橋梁） ，將所關(guān)心的幾何點用坐標表示 出來，再將坐標用命題的幾何約

4、束關(guān)系表示成代數(shù)的問題進行求 解，最后將代數(shù)問題的解還原為幾何問題的解 . 這是我們對笛卡 爾幾何坐標法思想的啟悟 .下面，通過若干幾何學問題的幾何坐標法求解過程驗證這一 方法的有效性 .例1已知直角三角形厶ABC / ACB=90 , CE是角平分線，EF丄BC垂足為點F.求證： 1AC+1BC=1EF.證明(1)建立直角坐標系圖 1 問題 1 在直角坐標系中的描述根據(jù)幾何圖形的特性建 立如圖所示的直角坐標系，則 ABC的三個頂點的坐標分別為 A (0， a)、B(b， 0)， C(0， 0)，并且是確定的；同時，定義 E點的坐標為E (x, y)，這樣幾何圖形上的點就與直角坐標系 有了一一

5、對應(yīng) .(2) 根據(jù)題意分析求解的思路首先，幾何中的線段 EF的長度在直角坐標系中對應(yīng)點 E的 縱坐標y，線段AC的長度在直角坐標系中對應(yīng)點 A的縱坐標a， 線段BC的長度在直角坐標系中對應(yīng)點 B的橫坐標b，所要證明 的幾何問題恰恰是直角坐標系中的橫、 縱坐標之間的代數(shù)運算關(guān) 系，這是我們啟悟到的重要線索 . 從這一角度出發(fā)，可想而知， 問題的焦點在于用怎樣的方法求出點 E的坐標？這引發(fā)出下面 的問題.(3) 幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題點E的坐標是直線CE和直線AB兩條直線的交點，若能求出 這兩條直線的方程， 聯(lián)立求解即為所求， 這兩條直線的方程如何 獲得？由于點A和點B的坐標已知，且分別在x軸和

6、y軸上，顯然， 直線AB的方程可用截距式列出xb+ya=1 ( 1) .由于CE是角平分線，/ ACB=90，因此，直線CE的斜率為1,直線CE上的點C已知，故而直線CE的方程可用點斜式列出 如下 y=x （ 2）.聯(lián)立式（1）、式（2）,可得 1y=1a+1b，即 1AC+1BC=1EF. 例 2 已知 RtABC, / ACB=90 , CDLAB.求證：1AC2+1BC2=1CD2.證明（ 1 ）建立直角坐標系設(shè)/ CAB邛,則 AC=ABcosB ,BC= ABsin B ,AD=ACco$ = ABcos2 3 ,CD= ACsinB = ABcosB sin B .圖 2 問題 2

7、 在直角坐標系中的描述根據(jù)幾何圖形的特性建立如圖所示的直角坐標系，則厶 ABC 的三個頂點的坐標分別為 A（0，0）、 B （b，0） ，C（bcos2 3 ，bcos3 sin 3） .（ 2）幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題AC2=b2cos23 ，BC2= b2sin2 3，CD2= b2cos23 sin2 3 ，則1AC2+1BC2=1b21cos32 +1sin2 3 =1b2cos23 sin2 3 =1CD2.3. 幾何坐標法在物理學透鏡成像光路計算中的應(yīng)用例3已知物體AB垂直于凸透鏡的主軸，與主軸平行的光線 AC經(jīng)過凸透鏡折射后通過焦點 F2,光線A0通過凸透鏡中心 0, 穿過凸透鏡后

8、方向不變，與光線 CF2相交于A2點，A2B2是倒立 于主軸上物體 AB的像，物距0B=u像距0B2=v焦距0F2=0F仁f.求證： 1u+1v=1f.證明（2）建立直角坐標系已知 0B=u， 0B2=v， 0F2=f.設(shè)/ AOBh A2OB2邛.根據(jù)題意建立如圖所示的直角坐標系，則AB=utg B ,A2B2=vtg B點 A, B, C, A2, B2 的坐標分別為 A （-u , utg B ）, B （-u , 0）， C（ 0， utg B ）， A2（ v， -vtg B ）， B2（ v， 0） .圖 3 問題 4 在直角坐標系中的描述（2）根據(jù)題意分析求解的思路參數(shù)u, v, f包含在二個相似厶0F2C和厶B2F2A2中，可用 相似三角形對應(yīng)邊成比例的關(guān)系建立參數(shù)u、v、f 的代數(shù)關(guān)系式，故根據(jù) 0F23A B2F2A2得0C0F2=A2B2B2F2即utg B