1、第三章空間向量與立體幾何單元測試(時間：90分鐘滿分：120分) 第I卷(選擇題，共50分) 一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分.1 .以下四組向量中，互相平行的組數為()a=(2,2,l), b= (3, -2, -2)；a=(8,4, -6), b= (4,2,一 3)；a=(0, -1,1), 8= (0,3, -3)；a=( 3,2,0), b= (4, 3,3)A. 1組B.2組C.3組D. 4組解析：中a=26, ：.al/b,、中a=b, O：.a/b；而中的向量不平行.答案：B2 .在以下命題中，不正確的個數為()3 一 b = a+b是a, 6共線的充要條件；

2、若a6,則存在唯一的實數4,使3= 4慶對空間任意一點。和不共線的三點兒昆C,若OP4 =2OA_2()B_()C,則P, 4 B,。四點共面；若& b, c為空間的一組 基底，則3+瓦b+ c, c+a構成空間的另一組基底；l(a6)c = a * b 9 c .A. 2個B. 3個C. 4個D.5個解析：a b = a+b a與6共線，但a與6共線時a b = a+b不一定成立，故不正確；6需為非零向量，故不正確；因為2 -2-171,由共面向量定理知，不正確；由基底的定義知正確；由向量的數量積的性質知，不正確.答案：C3.如圖，已知四邊形四為矩形，刃，平面力吸力，連接力a BD,

3、 PB,PC, PD,則下列各組向量中，數量積不一定為零的是( )與必與PB 與4B與CD解析：建立如圖所示的空間直角坐標系.設矩形極力的長、寬分別為a, b,用長為c,則4(0,0,0),爾瓦0,0), (0, a, 0), C(b, a, 0), P(0,0, c).則/T=(6, a, c), BD=b, a,0), 4=(0, a, 0), PB=(b,0,c), PD=0 a, c),力8= (6,0,0),為=(0,0, c),切=( 8,0,0).:PO初=毋+才不一定為o. DA PB=0, PD AB=G, PA CD=0.答案：A4.已知向量e、a、a是兩兩垂直的單位向量，

4、且a=3e + 2&a, bfl=&+2a，則(6a)等于()A. 15B. 3C. -3D. 5fl解析：(6a) 58 = 3a 6 = 3 (3e + 2a e) (e + 2eJ = 9 e 6 al 1答案：B5 .如圖，AB=AC=BD=,月慶：面。，4cL面 a , BDLAB,物與面 a成30。角，則C、間的距離為（）A. 1B. 2解析：I CD 2= I CA + AB+BD2= CA2+ AB2+ BD 2 + 2CA AB+2AB* BD+2.CA 9=1 + 1 + 1 + 0 + 0 + 2X1X1Xcos120° =2.， CD =答案：

5、C6 .已知空間三點0（0,0,0）, J（-l,l,0）, 8（0,1,1）在直線三上有一 點滿足勿，則點的坐標為（）A. (-2,2,0)B. (2, 2,0)解析：由。=(1,1,0),且點在直線勿上，可設(一4，4, 0), 則 BH ( 4, 4 1, - 1). 又 BH工 OA, :.BH(M=G,即(一4 , 4 1, 1) (1,1,0) =0,即x + A 1=0,解得4=5，.乙答案：C7 .已知石=（cos。，1, sin a）, 8= （sin。，1, cos。），則向量 a+ b與a-b的夾角是（B. 60°D. 0°A. 90°C.

6、30°解析：(a+b) (a6) = a-b= (cos。+sin。+1) (sirra+l + cosa)=0, ，(a+b) _L (ab).答案：A8 .已知反£分別是棱長為1的正方體48" 4BCR的梭BC、CC的中點，則截面力夕。與底面/發力所成二面角的正弦值是（）解析：以為坐標原點，以%、叱、。分別為X軸、y軸、Z軸建立空間直角坐標系，如圖.則4(1,0,0),11, 0 , h - , ”(0,0,1),)乙)/所以 =(一1,0,1), AE= 1, 1, oj.1x+z=0,1 x .尹尸0.設平面力日區的法向量為/?= (x, y, z),n

7、43=0,則j 、n "£=0,：.x=2y=z, < y=l,則=(2,1,2),而平面力灰力的一個法向量為u=(0,0,1), Vcosa, u) =|, .,.sin，u) =*. oo答案：c9 .在三棱錐足力吸；中，力左7為等邊三角形，必，平面力8。，且必=AB,則二面角4 PB-。的平面角的正切值為()解析：設/%=力8=2,建立如圖所示的空間直角坐標系.則 8(0,2,0),式® 1,0),2(0,0,2),:BP=(0, 2,2),BC=(小,-1,0).設 =(x, y, z)是平面陽。的一個法向量.BP- n=0,22=0,2y+2z=0

8、, 小才y=0.令y=l,貝I才=*,z=l.即,1, 1 ./易知0=(1,0,0)是平面為8的一個法向量.則 cos卬，ri) = n3 巾1XV二正切值tan卬，ri)=鄧.答案：A10.已知力=(1,2,3),如=(2,1,2), 4=(1,1,2),點。在直線 OP 上運動，則當3 必取得最小值時，點0的坐標為( )解析：在伊上，可設。(x, 82x),則3=(1%2%3 2x), QB=Q-x,x,224. / 啰=6f16x+10,4 f f時，8最小， o、 4 4 8迎時引鼻，鼻.l J o ，答案：c第n卷(非選擇題，共70分)二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20

9、分.11.已知 a=(3, 2, 3), b ( 1, X1,1),且 a 與 6 的夾角為 鈍角，則x的取值范圍是.解析：因為a與6的夾角為鈍角，于是一l<cos <a, b) <0,因此a b <0,且a與力的夾角不為n,即cosa, 8# 1.5)(5、解得呷一2,十導+8 .答案：一2, - U +812.如圖所示，已知正四面體4 BCD中，ae=ab, cf=cd,則直線DE和所成的角的余弦值為 解析：ed=ea+ad=ba+ad,4hkhkI hBF=BC+CF=BC+0cosED, BF=ED. BFED BF-BA+AD BC+-CD141 ，BC+-C

10、D -4二胡+4714 J413-4答案：口13 .已知 a=(x,2, 4), 6=(1, y, 3), c= (1, 2, z),且 a, b.c兩兩垂直，貝|J (x, y, z) =1+2y-12=0,解析：由題意知, x44z=0,、一 l2y+3z=0,解得才=-64, y=26, z=-17.答案：(一64, -26, 17)14 .已知空間四邊形以夕C,如圖所示，其對角線為()B、/C,也N分別 為勿、8。的中點，點G在線段秘Y上，且垢=3創,，現用基向量小、()B、0C,I 1. 31, 3 f 13解析：如=產+產=產+1產+%+/=*一瀉+3, 3313,3-0C+ -O

11、B-OC= -0A+-0B+ - 0C, 4 ooooo.133z=§.,7.x-r y-r z= o7答案通三、解答題：本大題共4小題，滿分50分.15. （12 分）已知 a=（l,2, -2）.（1）求與a共線的單位向量力；若a與單位向量c= （0, in, ）垂直，求加、的值.解：（1）設6=（X，2八一24）,而6為單位向量，b =1,即4 +4 廠+4 廠=9 b=1.4=土;. （4 分） O-或 b=（2）由題意，知,a c=0,1義0 + 2/2=0,+/+o,=i,（12 分）16. （12分）如下（左）圖，在Rt力比中，NC=90° , BC=3,力C

12、=6,D, £分別為力心 四上的點，K DE/BC, DE=2,將沿折起到兒5 的位置，使4ds如下（右）圖.4若財是4的中點，求與平面46夕所成角的大小.解：(1)ZC_L8C, DE BC, ：.DEVAC.：DE_LAiD, DEk CD,，公！平面 4%：.DEVAxC.又.A(_LCD,4CL平面BCDE. (4分)(2)如圖所示，以C為坐標原點，建立空間直角坐標系C-xyz,則 A (0,0,23), "(0,2,0),科(0,1, 啊 M3,0,0), £(2,2,0).設平面48夕的法向量為力=（x, y, z）,則 48=0, n。BE=0.又4

13、8= (3,0, -23), 然=(120),.< 3r2/3z=0,1x+2y=0.令 y=l,則才=2,2=小,：.n= (2,1,小).設CV與平面4篦所成的角為0,/.sin 0 = cos 力，Q力n* CM ,4 也6¥與平面4座所成角的大小為亍.（12分）17. （12分）如圖，已知正方形力灰刀和矩形4郎所在的平面互相垂直, 力8=也，/尸=1,必是線段）的中點.（1）求證：加平面BDE；試在線段力C上確定一點只 使得"與所成的角是60° .設 ACC BD= N,連接 AE£(0,0,1),又力（必，鏡，0）, J:邛, 乙：.NE

14、= 4M,且NE與AM不共線.：.NE/AM,又Nk平面BDE, 4城平面BDE,獷平面BDE. (6分)設/4,0) (0«m),-則用 =(隹一1,/一 £,1), CD= (2, 0,0).又/安與切所成的角為60° .I 小_ t 弧_1_ 7_g一 t"+ _a/272+1 隹 2 解之得z=平，或£=殳，(舍去)，故點為力。的中點.(12分)18. (14分)如圖，在圓錐。中，已知PO=m，。的直徑46=2, C 是力為的中點，為力。的中點.(1)證明：平面/磔_L平面為C；(2)求二面角層PA-。的余弦值.解：(1)證明：如圖所示，以。為坐標原點，OB, 0C,蘇所在直線分 別為x軸，力軸,z軸建立空間直角坐標系，則。(0,0,0), 4(1,0,0),Ml,0,0), C(0,l,0),2(0,0,代,a設n=（" 71, z）是平面的一個法向量，則由=0,f 11-3才1+彳a=o,司22（4分）、qzi=0. 0D=3 ni OP Zi = 0, 乂=幾取必=1,得 z?i= (1,1,0).設2=（也，%, Z2）是平面必。的一個法向量，則由 =0, PA=Q, m PC得一及一隹22=0,.