1、第十四章 曲線積分與曲面積分1 第一類曲線積分第一類曲線積分xoy0MA nMB 1M2M1 nM設設A、B是是曲曲線線弧弧AB上上的的兩兩個個端端點點，在在弧弧上上插插入入分分點點 BMMMMMAnni ,110并并依依次次連連接接相相鄰鄰分分點點得得一一內內接接折折線線，當當分分點點的的數數目目無無限限增增加加且且每每個個小小弧弧段段iiMM1 都都縮縮向向一一點點時時， 此此折折線線的的長長|11 niiiMM的的極極限限存存在在，則則稱稱此此極極限限為為曲曲線線弧弧AB的的弧弧長長.1、平面曲線弧長的概念重溫曲線的弧長重溫曲線的弧長11lim|niiilMM 設曲線弧為設曲線弧為,)(

2、)( tytx )( t其中其中)(),(tt 在在, 上具有連續導數上具有連續導數. .22( )( )dstt dt 弧長弧長.)()(22dttts 2 2 參數方程情形參數方程情形類似的三維情形空間曲線！類似的三維情形空間曲線！定理定理 光滑曲線弧是可求長的。上冊光滑曲線弧是可求長的。上冊P319P319定理定理7.4.17.4.1弧長元素弧長元素 設曲線弧為設曲線弧為)(xfy )(bxa ，其中，其中)(xf在在,ba上有一階連續導數上有一階連續導數xoyabxdxx dy弧長元素弧長元素弧長弧長.12dxysba 3 直角坐標情形dxyds21 曲線弧為曲線弧為)( )( rr

3、其其中中)( r在在, 上上具具有有連連續續導導數數. . sin)(cos)(ryrx由由)( ds,)()(22 drr 弧長弧長.)()(22 drrs 4 4 極坐標情形極坐標情形.),(lim),(,)(),(,),(10 niiiiiLLLsfdszyxfdsPfdsyxfLyxf 即即或或記作記作線積分線積分第一類曲第一類曲上對弧長的曲線積分或上對弧長的曲線積分或在曲線弧在曲線弧稱此極限為函數稱此極限為函數被積函數被積函數積分路徑積分路徑積分和式積分和式問題思考問題思考（1） 對弧長的曲線積分的定義中對弧長的曲線積分的定義中 的符號可能為負嗎？的符號可能為負嗎？iS （2） 對弧

4、長的曲線積分是否與曲線方對弧長的曲線積分是否與曲線方向有關？向有關？（3） 對弧長的曲線積分的幾何意義是什么？對弧長的曲線積分的幾何意義是什么？思考題解答思考題解答iS 的符號永遠為正，它表示弧段的長度的符號永遠為正，它表示弧段的長度.由第一型曲線積分的定義知，其積分與積分路由第一型曲線積分的定義知，其積分與積分路徑方向無關。徑方向無關。幾何意義是表示以幾何意義是表示以L為準線，平行于為準線，平行于z軸的直軸的直線為母線，且在線為母線，且在(x,y)處母線高度為處母線高度為f(x,y)的柱的柱面的面積。面的面積。考慮考慮:(1) 若在若在 L 上上 f (x, y)1, ?d 表示什么問Ls(

5、2) 定積分是否可看作對弧長曲線積分的特例定積分是否可看作對弧長曲線積分的特例 ? 否否! 對弧長的曲線積分要求對弧長的曲線積分要求 ds 0 , 但定積分中但定積分中dx 可能為負可能為負.szyxfd),() 1 ( （, 為常數為常數)szyxfd),()2( 由由 組成組成) 21,則上設在),(),()3(zyxgzyxf),(zyxgszyxfd),(szyxgd),(21d),(d),(szyxfszyxfszyxgszyxfd),(d),( ,iiif xyzfx ty tz tsxyOxdydsd說明說明:, 0, 0) 1 (kkts因此積分限必須滿足因此積分限必須滿足!(

6、2) 注意到注意到 22)(d)(ddyxstttd)()(22x因此上述計算公式相當于因此上述計算公式相當于“換元法換元法”. .,),().3(而而是是相相互互有有關關的的不不彼彼此此獨獨立立中中yxyxf( , )x y且是滿足L的曲線方程。L：x=(t), y=(t), ttttsd)()(d22tttttfsyxfLd)()()(),(d ),(22( ) 計算：計算：曲線積分曲線積分定積分定積分.)(:)2(dycyxL .)(1),(),(2dyyyyfdsyxfdcL )(dc . .),(:dycyyyxL . )(12dyyds 特殊情形特殊情形.)(:)1(bxaxyL

7、. ).(,:bxaxyxxL . )(12dxxds .)(1)(,),(2dxxxxfdsyxfbaL ()ab（以（以x x為參數）為參數）（以（以y y為參數）為參數）例例1. 1. 計算計算.dsyL其中其中 L 為為y2=2x自點自點(0, 0)到點到點(2, 2)的一段弧的一段弧.xxxsyLd2112d 20解解1 1：0 x2,2 :xyLxxysddd1d2xxd211y2=2x022yxxxd1220) 155(31解解2 2：0y2,2 :2yxLyyysyLd1d 202yyxsddd1d2yy d12) 155(31022yx22yx 例例2. 2. 計算計算Lsy

8、xd)(L: 連接連接O(0, 0), A(1, 0), B(0, 2)的閉折線的閉折線OABO.解：解：L分段光滑分段光滑BOABOAL ds=dx21d)0(d)(10 xxsyxOAOA: y=0, 0 x1O2AByx110d5)22(d)(xxxsyxABAB: y=22x, 0 x1xysd1d2xd552320dd)(yysyxBOBO: x=0, 0y2 ds=dy=2252321d)( Lsyx)535(21O2AByx1例例3cos , :()sin.,LxatIxydsLybt求其中橢圓第 象限解解dttbtatbta2220)cos()sin(sincos 222220sin cossincosabtt atbtdt2222220()sin (sin)2ababtbdt,cos)(tatx .sin)(tbty xyoab,sin)(tat .cos)(tbt .20 t Lxyds.)(3)(22bababaab sin)( sin)()( 2222220222222btbadbtbabaab 2023