1、精品資料 歡迎下載 正角:按逆時針方向旋轉形成的角 1、任意角負角:按順時針方向旋轉形成的角 I零角:不作任何旋轉形成的角 2、 角的頂點與原點重合，角的始邊與 X軸的非負半軸重合，終邊落在第幾象限，則稱 為第幾象限角. 3、 與角ct終邊相同的角的集合為P =k 360 +0(, 2) 4、 長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做 1弧度. 5、 半徑為r的圓的圓心角c(所對弧的長為I，則角G的弧度數的絕對值是 a =-. r 6、 弧度制與角度制的換算公式： 2兀=360 , 1 =丄,1 J!80 1常57.3 . 180 I兀丿 7、若扇形的圓心角為：為弧度制，半徑為r，弧長為I，周長為C

2、 ,面積為S，則 1 1 2 l=ra , C=2r+I , s=lr=ar2. 2 2 8、設是一個任意大小的角，:-的終邊上任意一點 ？的坐標是 x,y，它與原點的距離是 sin。） sin ： = tan JCOS-：,COS 二 I tana 丿 12、函數的誘導公式: 1 sin 2k 二 ： 二 sin： , cos 2k 二 ： 二 cos： , tan 2k 二 ： 二 ta n：； k 匕 i 2 sin 二 ： -sin： , cos 二 ； - cos： , tan 二 ： =tan： 3 sin - -sin： , cos -cos： , tan - -tan：. 4

3、si n 二-sin： , cos 二-： -cos： , tan 二-ta n： 口訣：函數名稱不變，符號看象限.10、三角函數線： sin .： cos： 門丨,tan_：i 二-. 11. 角 三 三 角 函 數 的 基 本 關 系2 2 1 sin 二cos ：=1 sin2 - =1 - 2 2 A cos -：cos -sin2: sin : tan -：s 2 - 2 y x y r r = x y 0，貝U sin , cos , tan x = 0 . r r x 9、三角函數在各象限的符號：第一象限全為正，第二象限正弦為正， 第三象限正切為正，第四象限余弦為正. y 精品資

4、料 歡迎下載 cos ： 二一sin ： 2 口訣：正弦與余弦互換，符號看象限. 13、 函數圖像的平移 14、 函數y=zsin x j. ； a 0,門的性質: 振幅： -:周期： =2 :頻率：ft1 ；相位：X ；初相：. 丁 2 二 函數y二A sin x亠 9 廣h，當x二為時，取得最小值為 ymin ；當X=X2時，取得最大值 、 1 1 為 ymax，則止二 2 ymax 一min ，- - 2 max Ymin ， T 3 = x2 _ Xj Xj :： x2 15、正弦函數、余弦函數和正切函數的圖象與性質: 16、向量：既有大小，又有方向的量. 有向線段的三要素：起點、方向

5、、長度. 單位向量：長度等于1個單位的向量. 平行向量（共線向量）：方向相同或相反的 數量：只有大小，沒有方向的量. 零向量：長度為0的向量. 非零向量.零向量與任一向量平行. 相等向量：長度相等且 方向相同的向量. 17、向量加法運算: 三角形法則的特點：首尾相連. 平行四邊形法則的特點：共起點. 三角形不等式： 闔一沖扁+ b D 運算性質：交換律： a b =b a ； AB+AT = A? 結合律：b c :a 0 a. 一 T 斗 T 斗 坐標運算：設 a = x1, y1 , bhx2,y2 ，貝H a b =片 x2, % y2 . 18、向量減法運算： 三角形法則的特點：共起點

6、，連終點，方向指向被減向量. 一 4 彳 呻彳 坐標運算：設 a =疋畀 ,b = X2,y2 ，則a -b二為-x?, y-y . 設二、2 兩點的坐標分別為 x-!, y1 , x2, y2，則 衛二X x2 y廠y2 . 19、向量數乘運算： 實數與向量a的積是一個向量的運算叫做向量的數乘，記作 a. a-b*C C 精品資料 歡迎下載 y2 扎a =|沖a ； 當/ 0時，.a的方向與a的方向相同；當 : 0時，- a的方向與a的方向相反；當 = 0 時，.；，= 0 . ” . I 運算律：津-a :i亠a沁公: 坐標運算：設 a=：ix,y，則 a Y.x, y j： ；一x,，y

7、 . 20、 向量共線定理：向量 a a=o與b共線，當且僅當有唯一一個實數 ，使b a . 、九 T 彳 彳呻 -14 4 4 設 a =%, y-! , b hx2, y2 ,其中 b = 0，則當且僅當 x2 - x?% =0 時，向量 a、b b = 0 共線. 4 T 21、 平面向量基本定理：如果 e,、0,是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平面 宀，彳 、, 彳 彳 呻 T 內的任意向量a，有且只有一對實數 打、入2，使a = hie+?2e .（不共線的向量ei、e2作 為這一平面內所有向量的一組基底） 22、 分點坐標公式：設點p是線段？i?2上的一點，?i、P2的坐

8、標分別是 x,yi , x2,y2 , 23、平面向量的數量積： a aco（0,0,e 180 ）.零向量與任一向量的數量積為 運算律： a b = b a :-a b a b = a b : a b c = a c b c . 坐標運算：設兩個非零向量 a = x, y1 , b = X2, y2 ，則a七=為刈屮丫2. a 丄 b= xx：+yy2=o. 設a、b都是非零向量，a= x1,y1 , b = x2, y2 ，二是a與b的夾角，則 経 yy ，2 當忌云時，點 m 的坐標是.,卄 .（當冬=1時，就為中點公式。） 性質：設a和b都是非零向量，則a丄bu ab=0 .當a與b同

9、向時，ab=|a a b乞耕：. 當a與b反向時，：b = -以7 ； a a爲2 =y 或a . a b 若a = x, y，則 a *2 y2，或才| = Jx2 + y2 .設 2 = (%, % ), b =區2)，則 精品資料 歡迎下載 X1精品資料 歡迎下載 y2 24、兩角和與差的正弦、余弦和正切公式： cos ： - - - cos cos 】sin ： sin ： ；（2） cos ： - - cos cos - - sin ： sin ：； si n ：=si n ： cosF cos si nF ； sin ： 二 sin: cos： cos： si nF； 用) 27、

10、合一變形=把兩個三角函數的和或差化為“一個三角函數，一個角，一次方”的 1 E y =Asin( x J B形式。二sin ：亠；cos： =Z2 亠人2 sin亠其中 tan A 題型一：結合向量的數量積，考查三角函數的化簡或求值 兀 c n 【例 1】(2007 年咼考安徽卷)已知0 ，：為f (x) = cos(2x )的最小正周 4 8 2cos2 ： sin 2(二 -), 期，a =(tan( ), 1), b = (cos ： ,2), a b = m，求 的值. tanv -P）= tan： -tan : （tan： -tan ： = tanz 1； 1 tan： tan /、

11、 , 任、tana +tan B 聞Stang （ta n：亠ta n： = ta n二亠,1-ta n： ta 25、二倍角的正弦、余弦和正切公式： 2 2 2 sin2 ： =2sin ： cos：.二 1 二 sin 2： = sin ：亠 cos 二 2sin ： cos： = (sin 二 cos：) cos2： =cos :- -sin2： =2cos2： -1=1-2s in2： 2 2 :- 二 升幕公式 1 cos： - 2cos ,1-cos： - 2sin 2 2 cos2_：i H .2 1 - cos2： =降幕公式cos2:-= ,sin2 ：= 萬能公式 26、

12、半角公式 cos ta i cos a 2 1 - cos a 1 cos a a ;sin 廠 sin a 2 tan 2 ;cos 1 - ta n 2 2 2 a 1 ta n - 2 a 1 ta n - sin a 1 cos a 1 - cos a sin a (后兩個不用判斷符號, 更加好 精品資料 歡迎下載 4 cos。-sin。 n H e 呻呻 【解答】因為-為f (x)二cos(2x )的最小正周期，故.因為a b = m , 8精品資料 歡迎下載 2 p P 又 a b = cos ： tan( )-2，故 cos ： tan( ) = m 2 . 4 4 2cos2：

13、亠 si n 2(* 亠，) 2cos2：亠 si n(2：亠 2二) 由于0 ，所以一 4 cosa -sina cosa -sinot 2cos ： (cos：亠 sin ：) 小 1 tan J 2cos 二 cos：-sin 二 1 - tan_：i =cos ： tan（ ： Q）= m 2 . 【評析】合理選用向量的數量積的運算法則構建相關等式， 然后運用三角函數中的和、 差、半、倍角公式進行恒等變形，以期達到與題設條件或待求結論的相關式，找準時機代入 求值或化簡。 題型二：結合向量的夾角公式，考查三角函數中的求角問題 【例 2】（2006 年高考浙江卷）如圖，函數y=2sin（二

14、x）,xR （其中0乞-） 2 的圖像與y軸交于點（0，1）。 （）求的值； 11 5 (II)由函數 y=2si n(二 x，)及其圖像，得 M (-一 ,0), P(,-2), N ( ,0), 6 6 3 6 1 1 所以 PM -( ,2), PN =( , -2),從而 2 2 cos： PM,PN PMN 話怎匸 arccos |PM | | PN | 17 17 【評析】 此類問題的一般步驟是：先利用向量的夾角公式: 被求角的三角函數值， 再限定所求角的范圍， 最后根據反三角函數的基本運算， 確定角的大 小；或者利用同角三角函數關系構造正切的方程進行求解。 題型三：結合三角形中的

15、向量知識考查三角形的邊長或角的運算 2 2cos ：亠sin 2： （n）設p是圖像上的最高點, M、N 是圖像與X軸的交點，求 【解答】（I）因為函數圖像過點（0,1）, 1 所以 2sin =1,即 sin =丄 2 因為0 _ _ ,所以二-. 2 6 PM與PN的夾角。 精品資料 歡迎下載 2 【例 3】（山東卷）在 ABC中，角A, B,C的對邊分別為a,b,c , ta nC=3、7 . （1） 求 cosC ； 5 （2） 若 CB CA ，且 a b = 9，求 c .精品資料 歡迎下載 2 【解答】(1) tanC=3.7 , cosC 2 2 1 又 7sin C cos

16、C =1，解得：cosC = 8 1 / tanC 0, C 是銳角， cosC -. 8 5 5 (2) ： CB CA , . abcosC , . ab = 20, 2 2 又：a b =9 , a2 2ab b2 =81 , a2 b2 =41, 2 2 2 .c =a b -2abcosC =36 , c = 6 . 【評析】 根據題中所給條件，初步判斷三角形的形狀，再結合向量以及正弦定理、余 弦定理實現邊角轉化，列出等式求解。 題型四：結合三角函數的有界性，考查三角函數的最值與向量運算 斗斗 -I 【例 4】(2007 年高考陜西卷)f(x)=ab，其中向量a=(m, cos2，)

17、 7 K b=(1，si n2x,1)， x R，且函數 y = f(x)的圖象經過點(一，2). 4 (I)求實數m的值； (n)求函數y二f (x)的最小值及此時 x值的集合。 【解答 1 (I) f (x) = a b = m(1 sin 2x) cos2x (n)由(I)得 f (x) =1 sin 2x cos2x =1 ,2 sin(2 x ) 4 當sin(2x ) - -1時，y = f(x)的最小值為 1 - .2 , 4 ,. 二 、 3 : 由 sin(2 x ) -1，得 x值的集合為 x | x = k , k Z . 4 I 8 J 【評析】 涉及三角函數的最值與向

18、量運算問題時，可先根據向量的數量積的運算法則 求出相應的函數基本關系式，然后利用三角函數的基本公式將所得出的代數式化為形如 y =Asin(x J k，再借助三角函數的有界性使問題得以解決。 題型五：結合向量平移問題，考查三角函數解析式的求法 【例 51 (2007 年高考湖北卷)將 y =2cos - 由已知f(_) 4 n: =m(1 sin ?) Tt cos 2，得 m = 1. 2 a ,-2 平移，則平移 4 精品資料 歡迎下載 2 后所得圖象的解析式為( A. B. 13 6 丿 4 y =2cos !- ) fx y =2cos ! b 精品資料 歡迎下載 C. y = 2co

19、s I 蘭一上 J2 D. y = 2cos i x J 2 乜 12 丿 (3 12 丿 【解答】/ a ,2，二平移后的解析式為 y=2cos 2 I 4 丿 3 6 12 丿 = 2cos I - 2，選 A . 13 4丿 【評析】理清函數y = f (x)按向量 a =(h,k)平移的一般方法是解決此類問題之關鍵, 題型六：結合向量的坐標運算，考查與三角不等式相關的問題 _ _ 一 -斗 4 - 一 【例 6】 (2006年高考湖北卷) 設向量a =(sin x,cos x), b = (cosx,cos x),xR， 函 數 f(X)=a (a b). (I)求函數f (x)的最大

20、值與最小正周期； 3 (n)求使不等式f (x) _ 成立的x的取值集. 2 斗 【解答】(I)： f (x)爲(a b) 1 1 3 =1 sin 2x (cos2x 1)二 2 2 2 f(x)的最大值為3 上2，最小正周期是 F 2 2 2 3 3 12 P 3 (n)要使f(x)_ 成立，當且僅當 sin(2x)一 2 2 2 4 2 3T 3T 3T 即 sin(2x )亠 0 = 2k 二 2x _ 2k ： ： k x 三 k: 4 4 8 即f(x)_3成立的x的取值集合是 x|k . 2 L 8 8 【評析】 結合向量的坐標運算法則，求出函數 f(x)的三角函數關系式，再 根據三角公式對函數f(x)的三角恒等關系， 然后借助基本三角函數的單調性, 求簡單三角不等式的解集。 1.設函數 f(x) a (b c)，其中向量 a = (sin x,-cosx), b = (sin x,-3cosx)， c = (-cosx,sin x),x R . (I)求函數 f x的最大值和最小正周期； 平移后的函數解析式為 y =f .(x _h) _k . 2 2 2 二 a a a b 二 sin x cos x sin xcosx cos x 、2 二 s