1、第一章 第四講 習 題 課 主要內容主要內容 n階行列式定義階行列式定義 ： 一一 a11 a12 ? a1 n ? ? t p1 p2 ? ? ? a21 a22 ? a2 n n p ? ? ? ? ? ? 1? ? a1 p1 a2 p2 ? a n ? ? npD n? ? ? ? ? ? ? p1 p2 ? pan 1 2 an ? ann或：或： D? ? ? ? ? 1? ?ap11ap22?apnntD? ? ? ? ? 1? ?ap1q1ap2q2?apnqnt二二 n n 階行列式的性質階行列式的性質 性質性質1 1 行列式與它的轉置行列式相等行列式與它的轉置行列式相等.

2、. 性質性質2 2 互換行列式的兩行（列）互換行列式的兩行（列）, ,行列式變號行列式變號. . 推論推論 如果行列式有兩行（列）完全相同，則此行列式為零如果行列式有兩行（列）完全相同，則此行列式為零. . 性質性質3 3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一數行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一數 k，等于用數，等于用數 k乘此行列式乘此行列式. . 推論推論 行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符號的外面行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符號的外面性質性質 行列式中如果有兩行（列）元素成比例，則此行列式為零行列式中如果有兩行（列）元素成比例，則

3、此行列式為零 性質性質5 5 若行列式的某一列（行）的元素都是兩數之和若行列式的某一列（行）的元素都是兩數之和. . 性質性質 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一數然后加到另一列把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一數然后加到另一列(行行)對應的元素上去，行列式不變對應的元素上去，行列式不變 三三 行列式按行（列）展開行列式按行（列）展開 余子式與代數余子式 2 行列式按一行（列）展開 a11?ai1?an1a12?ai2?an2?a1n?ain? ?ai1Ai1? ?ai2Ai2? ? ?ainAin?ann3 關于代數余子式的重要性質 ? ?D,當i? ?j,? ?aikAjk? ?

4、?0,當i? ?j;k? ?1? ?n? ?D,當i? ?j,? ?akiAkj? ? ?0,當i? ?j;k? ?1? ?n四 克拉默法則 定理定理 如果線性方程組如果線性方程組 ? ?a11x1? ?a12x2? ? ?a1nxn? ?b1? ?a x? ?a x? ? ?ax? ?b? ?21 122 22nn2? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?an1x1? ?an2x2? ? ?annxn? ?bna11a12?a1na21a22?a2nD? ? ? ? ? ? ? ?an1an2?ann(1 )的系數行列式不等于零，即的系數行列式不等于零，即 ? ? 0那

5、么線性方程組那么線性方程組(1)有解，并且解是唯一的，解可以表示為有解，并且解是唯一的，解可以表示為 D3DnD1D2x1? ?, x2? ?, x3? ?,? , xn? ?.DDDDj列的元素用方程組右端的常數項代替后列的元素用方程組右端的常數項代替后Dj是把系數行列式是把系數行列式 D 中第中第 其中其中 n所得到的所得到的 階行列式階行列式 由由Cramer法則可得法則可得齊次線性方程組的相關定理齊次線性方程組的相關定理 ? ?a11x1? ?a12x2? ? ?a1nxn? ?0? ?a x? ?a x? ? ?a x? ?0? ?2112222nn? ? ? ? ? ? ? ? ?

6、 ? ? ? ? ? ? ?an1x1? ?an2x2? ? ? ? ?annxn? ?0? ?2? ?D ? ? 0，則齊次線性方程組，則齊次線性方程組 定理定理 如果齊次線性方程組如果齊次線性方程組 ? ?2? ?的系數行列式的系數行列式 ? ?2? ?沒有非零解沒有非零解. . 2? ?有非零解有非零解, ,則它則它的的 系數行列式必為零系數行列式必為零. . 定理定理 如果齊次線性方程組如果齊次線性方程組? ? 典 型 例 題 一、計算排列的逆序數一、計算排列的逆序數 二、計算（證明）行列式二、計算（證明）行列式 三、克拉默法則三、克拉默法則 一、計算排列的逆序數 習題一 2（4） 二

7、、計算（證明）行列式 用定義計算（證明）用定義計算（證明） 例例 用行列式定義計算用行列式定義計算 解解 （略） 0a12a21a22D5? ?a31a320a420a52a13a23a33a43a5300a24a25a34a350000 利用范德蒙行列式計算利用范德蒙行列式計算 利用范德蒙行列式計算行列式，應根據范德蒙行列式的特點，將所給利用范德蒙行列式計算行列式，應根據范德蒙行列式的特點，將所給行列式化為范德蒙行列式，然后根據范德蒙行列式計算出結果。行列式化為范德蒙行列式，然后根據范德蒙行列式計算出結果。 1例例 計算計算 122222n? ?Dn333.?2n?nnn?1n解解 11Dn

8、? ?n!1?1123?n12223?n2?1n? ?12n? ?13.?nn? ?1?右端行列式為n階范德蒙行列式， 由范德蒙行列式知由范德蒙行列式知 Dn? ?n!n? ?i? ?j? ? 1? ?(xi? ? xj)? ?n!(2? ?1)(3? ?1)? (n? ?1)? ?(3? ?2)(4? ?2)? (n? ?2)? n? ?(n? ?1)? ?n!(n? ?1)!(n? ?2)!? 2!1 !. 評注評注 本題所給行列式各行（列）都是某元素的不同方冪，而其方本題所給行列式各行（列）都是某元素的不同方冪，而其方冪次數或其排列與范德蒙行列式不完全相同，需要利用行列式的性質冪次數或其

9、排列與范德蒙行列式不完全相同，需要利用行列式的性質（如提取公因子、調換各行（列）的次序等）將此行列式化成范德蒙行（如提取公因子、調換各行（列）的次序等）將此行列式化成范德蒙行列式列式 習題一習題一 7（5） anan? ?17 (5) 解解 Dn? ?1? ? ?(a? ?1 )n?a? ?11n(n? ?1 )2?(a? ?n)n?a? ?n1? ?(? ?1 )n(n? ?1 )21a?1a? ?1?1a? ?n?(a? ?1 )n? ?1?(a? ?n)n? ?1a1an? ?1(a? ?1 )n? ?1?(a? ?n)n? ?1nnna(a? ?1 )?(a? ?n )? ?(? ?1

10、 )? ?(? ?1 )n? ?1? ?i? ?j? ?1n(n? ?1)2? ?(a? ?i? ?1 )? ?(a? ?j? ?1 )n? ?1? ?i? ?j? ?1? ? ?(i? ?j)n? ?n!? ?(n? ?1 )!? ? ?2 !? ?1 !? ? ?m !m? ?1 利用性質化為三角行列式計算利用性質化為三角行列式計算 xa1例例 計算計算 Dn? ?1? ? a1a1xa2a3?ana2a3?ana2xa3?an.?a1a2a3a4?xni? ?1ni? ?1ni? ?1nx? ? ? aix? ? ? aia1a2?anxa2?an?解解 Dn? ?1c1? ?cj(j?

11、 ?2 ,3 ,? n)x? ? ? ai?x? ? ? aii? ?1a2x?an?a2a3?x提取第一列的提取第一列的公因子，得公因子，得 a1a2?an1xa2?annDn? ?1? ?(x? ? ? ? ai) 1a2x?an.i? ?1?11cj? ?aj? ?1c1(x? ? ? ai)1i? ?1?1nnn1a2a3?0010 x? ?a1a2? ?a1x? ?a2?x?000?a2? ?a1a3? ?a2x? ?an? ?(x? ? ? ? ai)? ?(x? ? ai).i? ?1i? ?1 利用按一行（列）展開行列式降階計算利用按一行（列）展開行列式降階計算 a例例 計算計

12、算 bdccabdcba.D4? ?bcdad解解 將將 D4的第的第 2 、 3 、 4行都加到第行都加到第 1行，并從第行，并從第 1行中行中提取公因子提取公因子a? ?b? ?c? ?d，得，得1D4? ?(a? ?b? ?c? ?d)bcd1dc1 1cba,adba再將第再將第2、3、4列都減去第列都減去第1列，得列，得1D4? ?(a? ?b? ?c? ?d)cd0d? ?cc? ?d0a? ?cb? ?d0c? ?bb? ?ca? ?d,ba? ?bd? ?b按第按第1行展開，得行展開，得a? ?bd? ?bc? ?bD4? ?(a? ?b? ?c? ?d)d? ?ca? ?cb

13、? ?c.c? ?db? ?da? ?d把上面右端行列式第把上面右端行列式第2行加到第行加到第 1 行，再從第行，再從第 1 行行中提取公因子中提取公因子 a? ?b? ?c? ?d，得，得1D? ?(a? ?b? ?c? ?d)(a? ?b? ?c? ?d)? ?d? ?cc? ?d1? ?(a? ?b? ?c? ?d)(a? ?b? ?c? ?d)? ?d? ?cc? ?d1a? ?cb? ?d0a? ?db? ?c0b? ?c,a? ?d0b? ?c,a? ?da? ?db? ?c? ?(a? ?b? ?c? ?d)(a? ?b? ?c? ?d)b? ?ca? ?d? ?(a? ?b?

14、?c? ?d)(a? ?b? ?c? ?d) (a? ?d)? ?(b? ?c)? ?(a? ?b? ?c? ?d)(a? ?b? ?c? ?d)(a? ?b? ?c? ?d)(a? ?b? ?c? ?d)225 5 用加邊法（升階）計算用加邊法（升階）計算 例例 習題習題7（4）解法一）解法一 ai(i? ?1 ,2 ,? ,n)中為中為0的個數大于等于的個數大于等于2 則則 Dn? ? 0（1）若）若 ai(i? ?1 ,2 ,? ,n)中僅有一個為中僅有一個為0，不妨設，不妨設 ai（2）若）若 1? ?a1111? ?a2?則則 Dn? ?11?11?1?1a10?1?10a2? ?1

15、?111?1?1? ?an00? ? 0?0?0?0?0?1?1?0?an? ?a1a2? ? ?ai? ?1ai? ?1? ? ?anai(i? ?1 ,2 ,? ,n)都不為都不為0， （3）若）若 111?111?0Dn?0?0n則則 1?a11?11?a2?1111?1 a1? ?101?0?a2?100?11?1?an?1?100?an11?i?1ai0?0?0a100a2?00?0n1n?(1?)?ai?0i?1ai?1i?an6 用遞推法計算用遞推法計算 例例 習題習題7（4）解法二）解法二 依第依第 n列把列把Dn拆成兩個行列式之和拆成兩個行列式之和1? ?a11Dn? ?11

16、1?11?01? ?a2?110? ?01an11? ?a11?11? ?a2?111111?1? ?an? ?1?1? ?anDn? ?1? ?a1a2? ? ?an? ?1?1? ?an? ?11?11從而得遞推公式從而得遞推公式 Dn? ?anDn? ?1? ?a1a2? ? ? ?an? ?1,由此遞推，得由此遞推，得 Dn? ?1? ?an? ?1Dn? ?2? ?a1a2? ? ? ?an? ?2,于是于是 Dn? ?anDn? ?1? ?a1a2? ? ? ?an? ?1? ?an(an? ?1Dn? ?2? ?a1a2? ? ? ?an? ?2)? ?a1a2? ? ? ?an

17、? ?1? ? ?anan? ?1? a2D1? ?anan? ?1? ? ?a3a1? ? ?a1a2? ? ?an? ?1? ?anan? ?1? ? ?a2a1? ?anan? ?1? ? ?a2? ?anan? ?1? ? ?a3a1? ? ?a1a2? ? ?an? ?1 用數學歸納法用數學歸納法 cos?10Dn?0012cos?1?0001?00000?12cos?cosn?.例例 證明證明 2cos?0?00?1證證 對階數對階數n用數學歸納法用數學歸納法 因為因為D1? ?cos? ?, D2? ?cos? ?11cos2? ? ?2cos2? ? ?1? ?cos2? ?,

18、所以所以,當當n? ?1 ,n? ?2 時時,結論成立結論成立.n 的行列式結論成立的行列式結論成立 , 下證對下證對 于階數等于于階數等于 n 的行列式也成立的行列式也成立 假設對階數小于假設對階數小于 . Dn? ?2cos? ?Dn? ?1? ? Dn? ?2. ,得得現將現將 Dn 按最后一行按最后一行展開展開由歸納假設由歸納假設 Dn? ?1? ?cos(n? ?1)? ?,Dn? ?2? ?cos(n? ?2)? ?Dn? ?2cos? ?cos(n? ?1 )? ? ?cos(n? ?2 )? ? ?cosn? ? ?cos(n? ?2 )? ? ?cos(n? ?2 )? ? ?cosn? ?;所以對一切自然數所以對一切自然數 n結論成立結論成立 .小結小結 計算行列式的方法比較靈活，同一行列式可以有多種計算方計算行列式的方法比較靈活，同一行列式可以有多種計算方 法；有的行列式計算需要幾種方法綜合應用在計算時，首先要仔細法；有的行列式計算需要幾種方法綜合應用在計算時，首先要仔細考察行列式在構造上的特點，利用行列式的性質對它進行變換后，再考察行列式在構造上的特點，利用行列式的性質對它進