1、(伽菲爾德證法1876年） 如圖RtRtABERtABERtECDECD，可知AED=90AED=90, ,如何表示梯形的面積？)(21baba梯形ABCD的面積2212121cabab梯形ABCD的面積2212121)(21cababbaba222cba動動腦動動腦bABCDEaabcacbabc22214)(cabab222cba22222cabaabb結論結論：思考思考: :大正方形面積怎么表示？大正方形面積怎么表示？動動腦動動腦趙爽弦圖趙爽弦圖例例1 1：求出下列直角三角形中未知邊的長度。：求出下列直角三角形中未知邊的長度。6 68 8x x解：（解：（1）在）在RtABC中中,由由勾

2、股定理得：勾股定理得：AB2=AC2+BC2X X2 2 =36+64=36+64x x2 2 =100 =100 x x2 2=6=62 2+8+82 2 x=10 x=10 x0 x0 x x2 2+5+52 2=13=132 2 x x2 2=13=132 2-5-52 2x x2 2=144=144 x=12x=12（2）在在RtABC中中,由由勾股定理勾股定理:AB2+AC2=BC2x0 x0A AC CB Bx x5 51313A AC CB B知識應用知識應用勾股定理( (畢達哥拉斯定理) ) 直角三角形兩直角邊的平方和直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方等于斜邊的平方. .

3、a a2 2+b+b2 2=c=c2 2a ac cb b勾勾股股弦弦 如果三角形的三邊長如果三角形的三邊長a，b，c滿足滿足a2 +b2=c2 ，那么這個三角形是直角三角形那么這個三角形是直角三角形 滿足滿足a2 +b2=c2的三個正整數，稱為的三個正整數，稱為勾股數勾股數勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理在在ABC中中, a，b，c為三邊長為三邊長,其中其中 c為最大邊為最大邊,若若a2 +b2=c2, 則則ABC為直角三角形為直角三角形;若若a2 +b2c2, 則則ABC為銳角三角形為銳角三角形;若若a2 +b20,則向則向右右平移；若平移；若a0,則向則向上上平移；若平移；若b1則橫向被

4、則橫向被拉長拉長；若若0m1則縱向被則縱向被拉長拉長； 若若0n1,圖形整個被圖形整個被放大放大;若若 0k1,圖形整個被圖形整個被壓縮壓縮。xy02416-112435356關于關于y 軸對稱的兩個圖形：軸對稱的兩個圖形：(x,y)( _ , _ )-x y對稱：對稱：(x,y) (- x, y)(x,y) (x, - y) 關于關于y軸對稱；軸對稱； 關于關于x 軸對稱；軸對稱；(x,y) (-x, - y)關于關于原點原點 對稱對稱平移：平移：(x,y) (x +a,y+b)沿沿x軸方向平移軸方向平移a個單位，沿個單位，沿y軸方向平移軸方向平移b個單位；個單位；伸長縮短：伸長縮短：(x,

5、y) (m x, ny)沿沿x軸方向伸縮軸方向伸縮m倍，沿倍，沿y軸方向伸縮軸方向伸縮n倍；倍；放大縮小：放大縮小：(x,y) (k x, ky)形狀不變，放大或縮小形狀不變，放大或縮小k倍；倍；對稱：對稱：(x,y) (- x, y)(x,y) (x, - y)關于關于y軸對稱；軸對稱；關于關于x 軸對稱；軸對稱；(x,y) (-x, - y)關于關于原點原點 對稱對稱誰的包裹多誰的包裹多我比你多2條魚 要是從你那拿1條,我就是你的2倍你們到底各有幾條啊? ? 設小貓有 x條魚,小熊有y 條魚.小貓的魚比小熊多兩條,由此你能得到怎樣的方程?誰的包裹多誰的包裹多 若小熊從小貓那兒拿一條魚過來,

6、這時它們各有幾條魚?由此你又能得到怎樣的方程?可得方程 x y=2 x+1=2(y-1) 想一想 上述方程有幾個未知數? 含 未知數的項的次數是多少? 含有兩個未知數,并且所含未知數的項的次數都是1的方程叫做二元一次方程議 一 議在上面的方程x-y=2 和X+1=2(y-1)中, x的含義相同嗎? y 呢?它們的含義都相同,我們就把兩個方程連列起來.寫作:x-y=2X+1=2(y-1) 像這樣含有兩個未知數的兩個一次方程像這樣含有兩個未知數的兩個一次方程所組成的一組方程所組成的一組方程,叫做二元一次方程組叫做二元一次方程組(1)(1)x=6,y =2x=6,y =2適合方程適合方程x+y=8

7、x+y=8 嗎嗎? X=5,y=3? X=5,y=3呢呢 ,x=4,x=4,y=4y=4呢呢? ?你還能找到其他你還能找到其他x,yx,y值適合方程值適合方程x+y=8x+y=8嗎嗎? ? (2)(2)x=5,y=3x=5,y=3適合方程5x+3y=345x+3y=34嗎?x=2,y=8?x=2,y=8呢? ?(3)(3)你能找到一組x,y x,y 的值, ,同時適合方程x+y=8 x+y=8 和5x+3y=345x+3y=34嗎? ?適合一個二元一次方程的一組未知數的植, ,叫做這個二元一次方程的一個解. .如:x=6,y=2:x=6,y=2是方程的一個解, ,記作x=6y=2做一做 二元一

8、次方程組中各個方程的公共解二元一次方程組中各個方程的公共解,叫做這個二元一次方程組的解叫做這個二元一次方程組的解.小試牛刀小試牛刀:1.根據題意,列方程組:小明從郵局買了面植50分和80分的郵票共9枚,花了6.3元.小明買了兩種郵票各多少枚?2.下列4組數值中,哪些是二元一次方程2x+y=10的解a. bcdx=-2y=6x=3y=6x=4y=2x=6y=-2 昨天,我們8個人去紅山公園玩,買門票花了34元. 每張成人票5元,每張兒童票3元.他們到底去了幾個成人、幾個兒童呢?還記得下面這一問題嗎? ?設他們中有x個成人，y個兒童. . 我們列出的二元一次方程組為: :8,5334.xyxy解：

9、設去了x個成人，則去了(8(8x) )個兒童，根據題意，得： .34835xx解得：x=5.=5.將x=5=5代入8 8x=8=85=3.5=3.答：去了5 5個成人， 3 3個兒童. . 用一元一次方程求解用二元一次方程組求解解：設去了x個成人，去了y個兒童，根據題意，得： .3435, 8yxyx 觀察: :列二元一次方程組和列一元一次方程設未知數有何不同？列出的方程和方程組又有何聯系？對你解二元一次方程組有何啟示？ 解：設去了x個成人，去了y個兒童，根據題意，得： 用二元一次方程組求解yxyx.3435, 8由得：y = 8= 8x. . 將代入得：5x+3(8x)=34.解得：x =

10、5.把x = 5代入得：y = 3.所以原方程組的解為：. 3, 5yx3x+2y=14 例例1：解方程組解方程組X=y+3 所以原方程組的解是所以原方程組的解是 x=4y=1解：將代入解：將代入 ，得，得3（y+3）+2y=143y+9+2y=14 5y=5 y=1將將y=1代入，得代入，得 x=4例例2 解方程組解方程組 2x+3y=16 2x+3y=16 x+4y=13 解：由解：由 ，x=13 - 4y x=13 - 4y 將代入將代入 ，得，得 2 2（13 - 4y13 - 4y）+3y=16+3y=16 26 8y +3y = 16 26 8y +3y = 16 -5y=-10

11、-5y=-10 y= 2 y= 2將將y=2y=2代入代入 ，得，得 x=5。所以原方程組的解是所以原方程組的解是x=5，y=2。上面解方程組的基本思路是上面解方程組的基本思路是“消元消元”-把把“二元二元”變為變為“一元一元”。主要。主要步驟步驟是：將其中是：將其中一個方程的某個未知數用含另一一個方程的某個未知數用含另一個未知數的代數式表示出來，并個未知數的代數式表示出來，并代入另一個方程中，從而消去一代入另一個方程中，從而消去一個未知數，化二元一次方程組為個未知數，化二元一次方程組為一元一次方程。這種解方程組的一元一次方程。這種解方程組的方法稱為代入消元法，簡稱方法稱為代入消元法，簡稱代入

12、代入法法. . 一般地，在二元一次方程組中，使每個方程都適一般地，在二元一次方程組中，使每個方程都適合的解（合的解（公共解公共解），叫做這個二元一次方程組的解。），叫做這個二元一次方程組的解。什么是二元一次方程組？什么是二元一次方程組？ 如果方程如果方程組組中含有兩個未知數，且含有中含有兩個未知數，且含有 未知數的未知數的項項的次數都是一次，這樣的方程組的次數都是一次，這樣的方程組 叫做叫做二元一次方二元一次方程組程組。隨堂練習：隨堂練習：(1) x=y-524x+3y=65(2)3x-2y=9x+2y=3x=5y=15x=3y=0若上面的第二個方程組中的若上面的第二個方程組中的2X+3Y=3

13、改為改為6X+2Y=3該如何用代入消元法解呢該如何用代入消元法解呢? 1 1、 我們知道了用我們知道了用代入消元法代入消元法解二元解二元一次方程組的一次方程組的基本思路基本思路是是“消元消元”。即。即把把“二元二元”化為化為“一元一元”，化二元一次，化二元一次方程組為一元一次方程。方程組為一元一次方程。2 2、 把求出的解代入原方程組，可以檢把求出的解代入原方程組，可以檢驗解題過程是否正確。驗解題過程是否正確。 利用利用等式的性質，等式的性質，使方程組的兩個方程中的某一個未知數前的系數的使方程組的兩個方程中的某一個未知數前的系數的絕對值絕對值相相等，然后把兩個方程相加（或相減），以消去這個未知

14、數，是方程只含有一個等，然后把兩個方程相加（或相減），以消去這個未知數，是方程只含有一個未知數而得以求解。未知數而得以求解。 這種解二元一次方程組的方法叫作加減消元法，簡稱加減法。這種解二元一次方程組的方法叫作加減消元法，簡稱加減法。 用加減法解二元一次方程的一般步驟是： 1. 將其中一個未知數的系數化成相同（或互為相反數）； 2. 通過相減（或相加）消去這個未知數，得到一個一元一次方程； 3. 解這個一元一次方程，得到這個未知數的值； 4. 將求得的未知數的值代入原方程組中的任一個方程，求得另一個未知數的值； 5. 寫出方程組的解。1 1、 -1=3y -1=3y 是不是二元一次方程？答：

15、（“是”或“不是”）2 2、方程3x 3x y =1 y =1有 個解。3 3、方程3x + 2y =13x + 2y =1中，當x =1x =1時，y =y = 。4 4、若 是方程3x + y 3x + y k =1 k =1的一個解，則k k = = 。5 5、已知方程2x + y =02x + y =0，x + 2y =3x + 2y =3，那么 能滿足的 方程是 （用數字、填空）x2 32yx 21yx練習：練習：不是無數-12、果品批發市場果品批發市場, ,蘋果每千克蘋果每千克k k元元, ,每位來采購的每位來采購的批發商需要另交市場管理費批發商需要另交市場管理費b b元元. .若

16、某批發商若某批發商買蘋果買蘋果x x千克千克, ,怎樣計算買蘋果的總價？怎樣計算買蘋果的總價？y=kx+by=kx+b已知已知x=80,y=200,x=80,y=200,能否確定能否確定k k？需確定？需確定k,k,還需還需要知道什么要知道什么? ? 若把若把x=80,y=200 x=80,y=200代入代入y=kx+b,y=kx+b,得得200=80k+b200=80k+b有多少個未知數？有多少個未知數？知道知道b,b,則可知則可知k,k,若題目中不準給出若題目中不準給出b b的值的值, ,則則需要知道什么可求出需要知道什么可求出k? k? 知多一對知多一對x x、y y的值的值. .要求兩

17、個未知數要求兩個未知數, ,就要知兩個相等關系就要知兩個相等關系. . 2 2y y3 3x x 9 9a ay yx x) )b ba a( (1 13 3b by ya ax x的的解解是是已已知知方方程程組組求求a a、b b的值的值. .解：把解：把x=3,y=2x=3,y=2代入原方程組代入原方程組, ,就得到關于就得到關于a a、b b的二元一次方程組的二元一次方程組 9 9a a2 2) )b ba a( (3 31313b b2 2a a3 3a=3,b=2a=3,b=2課堂小結1.1.解二元一次方程組的基本思路解二元一次方程組的基本思路: :2.2.解二元一次方程組解二元一次

18、方程組消元轉化消元轉化( (代入消元、加減消元代入消元、加減消元) )解一元一次方程解一元一次方程3.3.數學解題中數學解題中, ,問題中未知數的個數相等問題中未知數的個數相等關系的個數關系的個數等于等于4.4.列方程解應用題的步驟：列方程解應用題的步驟：實際問題分析分析抽象抽象方程（組）求解求解檢驗檢驗問題解決列方程解應用題的總思路：列方程解應用題的總思路：等量關系：等量關系：3594雞頭兔頭雞足兔足 “雞兔問題”起源于我國古代的一本數學書孫子算經：“今有雞、兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雞、兔各幾何？”解：設籠中有雞解：設籠中有雞x只，有兔只，有兔y只。只。由題意可得：由題意可得：

19、 - 2,得：得：352494xyxy224y 12y 將將y= 12 代入，得代入，得x= 23方程組的解為方程組的解為：2312xy答：籠中有雞答：籠中有雞2323只，有兔只，有兔1212只。只。3. 某商場正在熱銷2008年北京奧運會吉祥物“福娃”玩具和徽章兩種奧運商品，根據下圖提供的信息，求一盒“福娃”玩具和一枚徽章的價格各是多少元？：共計共計145145元元共計共計280280元元解：設一盒解：設一盒“福娃福娃”玩具的價格為玩具的價格為x元和一枚元和一枚徽章的價格為徽章的價格為y元元.由題意可得：由題意可得： 2- ,得： 答：答：一盒一盒“福娃福娃”玩具的價格為玩具的價格為125元

20、和一枚徽元和一枚徽章的價格為章的價格為10元元.2145xy23280 xy10y 將將y y= 10代入代入，得得x x=12512510 xy方程組的解為方程組的解為：解：設解：設2元有元有x張，張，10元有元有y張。張。由題意可得：由題意可得： -2,得：得：5 0 xy210400 xy8300y 1504y 1504y 不符合實際情況本題無解，小明說的那種情況不可能！審題、找出等量關系設未知數列方程組解方程組用數據解釋實際問題小結小結 樹立用二元一次方程組構建數學模型解決實際問題的思想!例例1 水源透支令人擔憂水源透支令人擔憂,節約用水迫在眉睫節約用水迫在眉睫,針對居民用水浪費現象針

21、對居民用水浪費現象,某城市指定了居民每月用水標準某城市指定了居民每月用水標準8立方米立方米,超標部分加價收費超標部分加價收費,某戶居民連續兩個月的用水和水費分別為某戶居民連續兩個月的用水和水費分別為12立方米立方米,22元和元和10立米立米,16.2元元,試求該市民每戶每月用水收費標準試求該市民每戶每月用水收費標準?設: 不超過8立方米的水的單價為x元立方米, 超過8立方米的水的單價為y元立方米, 則8x(12-8)y228x(10-8)y16.2第一個月第二個月不超過8立方米 的水費(元)超過8立方米 的水費(元)總的水費 (元)列表:有助于理清思路,找到等量關系!練習練習1 為了節約能源為

22、了節約能源,某單位按以下規定收取每月電費某單位按以下規定收取每月電費,用電用電不超過不超過140kwh的的,按標準收費按標準收費,而超過的部分要加價而超過的部分要加價收費收費,若某用戶在連續二個月的用電量和電費分別若某用戶在連續二個月的用電量和電費分別125kwh、62.5元和元和160kwh、82元元,求該單位每月求該單位每月用電的收費標準用電的收費標準?第一個月第二個月總的電費(元)不超過140kwh超過140kwh 125x140 x(160-140)y8262.5設:不超過140kwh部分電的單價為x元/kwh, 超過140kwh部分電的單價為y元/kwh,例例2 已知甲已知甲,乙兩種

23、商品原單價的和為乙兩種商品原單價的和為300元元,因市場變化因市場變化,甲商品甲商品漲價漲價10%,乙商品降價乙商品降價14%,調價后調價后,這兩種商品單價的和比原這兩種商品單價的和比原來提高來提高2%,求甲求甲,乙兩種商品原來的單價各是多少元乙兩種商品原來的單價各是多少元?設:甲,乙兩種商品的價格分別為x元和y元,則 調價前調價后甲商品的單價 (元)乙商品的單價 (元)兩種商品的單價和 (元)300(1+2%)x300 xy(1+10%)x(1-14%)y練習練習2 某商場以一定的進價購進一批服裝某商場以一定的進價購進一批服裝,并以一定的單價售出并以一定的單價售出,平均平均每天賣出每天賣出1

24、0件件,30天共獲利天共獲利15000元元,現在為了盡快回籠資金現在為了盡快回籠資金,商場決定將每件衣服降價商場決定將每件衣服降價20%出售出售,結果每天比降價前多賣出結果每天比降價前多賣出10件件,這樣這樣30天可獲利天可獲利12000元元,問這批服裝每件的進價及降問這批服裝每件的進價及降價前出售的單價各是多少價前出售的單價各是多少?降 價 前降 價 后30天共獲利 (元)150001200030天售出的價格(元)30天所需進價(元)3010y3010 x30(1010)(120%)y30(1010)x設:這批服裝的進價為x元/件,降價前出售的單價為y元/件,則有1. 如果一個兩位數的十位數

25、字為如果一個兩位數的十位數字為x，個位上的，個位上的數 字 為數 字 為 y ， 那 么 這 個 兩 位 數 可 表 示 為， 那 么 這 個 兩 位 數 可 表 示 為_;如果交換個位和十位數字如果交換個位和十位數字,得到的得到的新兩位數為新兩位數為_. 3. 一個兩位數的十位數字為一個兩位數的十位數字為x，個位上的數字為，個位上的數字為y，如果在它們的中間加一個零，如果在它們的中間加一個零,變成一個三位數變成一個三位數,那么這個三位數可表示為那么這個三位數可表示為_.2. 兩個兩位數分別為兩個兩位數分別為x和和y，如果將，如果將x放到放到y的左的左邊就得到一個四位數邊就得到一個四位數,那么

26、這個四位數可表示為那么這個四位數可表示為_;如果將如果將x放到放到y的右邊就得到一個的右邊就得到一個新的四位數新的四位數,那么這個新的四位數可表示為那么這個新的四位數可表示為_.10 x+y10y+x100 x+y100y+x100 x+y小明騎摩托車在公路上高速行駛，小明騎摩托車在公路上高速行駛，12:00時看到時看到里程碑上的數是一個兩位數，它的數字之和是里程碑上的數是一個兩位數，它的數字之和是7；13:00時看里程碑上的兩位數與時看里程碑上的兩位數與12:00時看到的時看到的個位數和十位數顛倒了；個位數和十位數顛倒了；14:00時看到里程碑上時看到里程碑上的數比的數比12:00時看到的兩

27、位數中間多了個零，小時看到的兩位數中間多了個零，小明在明在12:00時看到里程碑上的數字是多少？時看到里程碑上的數字是多少？解解:設小明在設小明在12:00時看到的數的十位數字是時看到的數的十位數字是x，個位的數字是，個位的數字是y，那么，那么x+y=7(10y+x)-(10 x+y)=(100 x+y)-(10y+x)答答:小明在小明在12:00時看到的數字是時看到的數字是16 x=1 y=6解解: 例例 1 ： 已知一個兩位數，十位數是個位數的已知一個兩位數，十位數是個位數的二倍還多一，將十位數字與個位數字對二倍還多一，將十位數字與個位數字對調所得的新數比原數小調所得的新數比原數小27，求

28、這個兩位，求這個兩位數。數。解：設個位數為X，十位數為y由題意得5y2x解得：y10 x27x10y12xy例例2: 兩個兩位數的和為兩個兩位數的和為 68, 在較大的兩位數在較大的兩位數在右邊接著寫較小的兩位數在右邊接著寫較小的兩位數, 得到一個四得到一個四位數位數; 在較大的兩位數在左邊接著寫較小在較大的兩位數在左邊接著寫較小的兩位數的兩位數, 也得到一個四位數也得到一個四位數. 已知前一已知前一個四位數比后一個四位數大個四位數比后一個四位數大2178, 求這兩求這兩個兩位數個兩位數. 2178x100yy100 x68y簡述：x問題的延伸:1.甲、乙兩人相距甲、乙兩人相距42Km，如果兩

29、人從兩地相，如果兩人從兩地相向而行，向而行，24小時后相遇，如果二人同時從兩小時后相遇，如果二人同時從兩地出發，相向而行，地出發，相向而行，14h后乙追上甲，求二人后乙追上甲，求二人的速度。的速度。解：設甲的速度為解：設甲的速度為x Km/h，乙的速度為，乙的速度為y Km/h。根據。根據題意，得題意，得做一做：做一做：2.有兩種不同濃度的溶液，如果從第一種中有兩種不同濃度的溶液，如果從第一種中取取20L，從第二種中取，從第二種中取30L，那么混合后得濃，那么混合后得濃度為度為36%的混合液，如果從第一種中取的混合液，如果從第一種中取40L，從第二種取從第二種取50L，那么混合后得濃度為混合，

30、那么混合后得濃度為混合液，求兩種溶液原來的濃度。液，求兩種溶液原來的濃度。 解：設第一種溶液原來的濃度為解：設第一種溶液原來的濃度為x%，第二種溶，第二種溶液原來的濃度為液原來的濃度為y%，則，則3.小張、小王和小李三人進行自行車比賽，小張比小張、小王和小李三人進行自行車比賽，小張比小小王王早早12min到達終點，小王比到達終點，小王比小李小李早早3min到達終點，到達終點，他們算了一下，他們算了一下，小張小張比小王每小時要快比小王每小時要快5Km，小王比，小王比小李每小時要快小李每小時要快1Km，他們三人進行自行車比賽的路，他們三人進行自行車比賽的路程有多長？程有多長？解：設小張所用時間為解

31、：設小張所用時間為x h，速度為，速度為y Km/h，則小，則小王所用時間為王所用時間為 ，速度為（，速度為（y-5）Km/h，小李所用時，小李所用時間為間為 ，速度為（，速度為（y-6）Km/h，于是由三個人賽程相，于是由三個人賽程相同，有同，有有一組有一組鄰邊鄰邊相等的相等的平行四邊形平行四邊形叫做菱形叫做菱形. .菱形的定義：菱形的定義：菱形的性質：菱形的性質：邊邊對角線對角線角角菱形的性質菱形的性質菱形的兩條對角線互相平分菱形的兩條對角線互相平分菱形的兩組對邊平行菱形的兩組對邊平行菱形的四條邊相等菱形的四條邊相等菱形的兩組對角分別相等菱形的兩組對角分別相等菱形的鄰角互補菱形的鄰角互補菱形的兩條對角線互相垂直平分，菱形的兩條對角線互相垂直平分，每一條對角線平分一組對角。每一條對角線平分一組對角。如圖如圖, ,在梯形在梯形ABCDABCD中，中，ADBCADBC，E E是是DCDC的中點，的中點，E