1、常微分方程證明題及答案70證明題(每題1、設函數f (t)在0,)上連續且有界，試證明方程 有界.10分)dxdtxf(t)的所有解均在,)上2、設函數 f(x),p(x)在0,)上連續，且 lim p(x) a0且|f(x)| b(a,b,為常數)x求證：方程曳 p x y f (x)的所有解均在,)上有界. dx3、設函數f (x)在0,上連續，且lim f (x) b又a， x求證：方程dy ay f(x)的一切解y(x),均有lim y(x) dxxa4、設函數y (x)在0,)上連續且可微，且lim y(x) y(x)0試證lim y(x) 0xx5、若y1(x),y2(x)為微分方

2、程yp1(x)y(x) Pz(x)y 0的兩個解，則它們的朗斯基P1(x)dx .仃列式為W(Yi,Y2)ke其中k為由y1(x),y2(x)確定的常數 6、已知f(x)是連續函數。(1)求初值問題y ay f(x)的解y(x),其中a是正常數。y |x 0 0k(2)若| f(x)| k (k為常數)，證明當x 0時有|y(x)|工(1 e )。a1 x, 一人口 叱 f (x) f(x)f t dt 07、已知當x 1時f(x)具有一階連續導數，且滿足 x 1 0f(0) 1(1)求 f (x)；證明：當x 0時有e x f(x) 1。8、設y(x), y2(x)是方程y p(x)y q(

3、x)的兩個不同的解，求證它的任何一個解y(x)滿足恒等式： y(x) y1(x) K (K為常數)y2(x) y1(x)9、當x 時，f (x)連續且| f(x)| M。證明：方程y y f(x)(1)在區間 x上存在一個有界解，求出這個解。并證明：若函數 f(x)是以 為周期的周期函數，則這個解也是以為周期的周期函數。10、設函數f (u),g(u)連續可微, 且 f(u) g(u) 5試nE萬程 yf(xy)dx xg(xy)dy 0有積分因子xy(f(xy) g(xy)11、證明方程M(x,y)dx N(x,y)dy 0具有形如(x, y)的積分因子的充要條件1 N M f (x, y)

4、,并求出這個積分因子。y x x y12、證明貝爾曼(Bellman)不等式。設k為非負常數，f (t)和g(t)是區間 t 上的 t非負連續函數，且滿足不等式 f (t) k f (s)g(s)ds,tt則有 f(t) kexp g(s)ds ,t 。13、設在方程 y p(x)y q(x)y 0 中,p(x)在某區間I上連續且恒不為零，試證：它的任意兩個線性無關的解的朗斯基行列式是區間I上的嚴格單調函數。14、假設x1(t) 0是二階齊次線性方程 xa(t)x a2(t)x 0 的解，這里a1(t)和a2(t)是區間a, b上的連續函數。試證：x2(t)為方程的解的充要條件是V&Xi,X2

5、 3iWXi,X2 0。其中 WXi,X2表示 x(t),x2(t)的朗斯基行列式。15、在方程 y 3y 2y f(x)中，f (x)在a,)上連續，且lim f (x) 0。試證明:x已知方程的任一解 y(x)均有lim y(x) x0。16、設f(x)為連續函數，且滿足xf (x) sin x 。(乂 t)f(t)dt。求證:1xf (x) sin x cosx.2217、設X(t)是常系數線性方程組任彳51t,s成立等式X(t s)dx(t)dt X(t)X(s).Ax(t)的基解矩陣，適合條件X (0)E，試證對18、設X(t)是連續的n階方陣，X(0)存在，且適合關系X(t s)

6、X(t)X(s), |X(0)| 0.試證：存在n階常值方陣A,使得四夏 AX(t)odt證明題答案1、證明：設x=x(t)為方程的任一解，它滿足某初始條件x(to)=xo,to 0+ )(t t0) t(s t),由一階線性萬程的求解公式有x(t)x0ef (s)e dsto現只證 x(t)在to,+ )有界，設 | f(t)| M ,t 0+ )于是對to t+ 有|x| |x。|e M(t t0)t| f(s)|eM(st)dstot t s .|x0|+ Mee dst0(tn t)|x0|+M 1 e 0 |x0|+M即證2、證明：設y=y(x)為方程的任一解，它滿足某初始條件y(x

7、0)=y 0,x0 0,)由一階線性方程的求解公式有y(x)y0e (x x0)f(s)e(sx)dsx0現只證y(x)在x0,+ )有界，不妨設x0充分大 于是對x0 x0,使當 x x0時，有 p(x) M1 x|y| |y|e M(x x0)x| f (s)|eM(s t)dsx0bM (x x)、1f (1 e )b 一|y0|+即證 。M13、證明：設y=y(x)為方程的任一解，它滿足某初始條件y(x0)=y 0,x0 0,)由一階線形方程的求解公式有a (xx0)xa( s x )f (s)e dsx0xasyy0e a(x x0)e ax f (s)e dsx0兩邊取極限lim

8、y(x)xlimxa(x x)lim ye0xax xasf (s)e dsx0as=limxf (s)e dsx= limeaxxaxf (x)eaxae4、證明：設y=y(x)為方程的任一解，它滿足某初始條件y(xo)=yo,xo 0,)由一階線性方程的求解公式有x(x x0)( s x)y(x) y0ef (s)e dsx0x-(x x0 )xsy0e0 e f (s)e dsx0xe f (x)xe兩邊取極限lim y(x) lim y0e (x x0) xxxslim ex f (s)e ds=0+ limxx0x5、證明：由朗斯基行列式定義有，、yi y2,w(yi,y2)yiy2

9、 yiy2y i y 2dw (YiY2 yy2) 二 y1y 2 y 1 y2dxp1 (x)dx法求解有w(y1y2) k顯然k為由y(x), y2(x)確定的常數P1(yy2 y1 y)P1(x)w用分離變量6、證：(證法一)(1)原方程的通解為adxaxdxy(x) e C f (x)e dxC ax axaxCe e f (x)e dx記F(x)為f (x)eax的任一原函數 y(x) 由 y|x 0 0 得到 C F(0)。八 ax axCe e F (x)。X所以 y(x) eax F(x) F(0) eax f(t)eatdt xx z |y(x)| e 0| f(t)|e d

10、t ke 0e dt(證法二)(1)在方程兩邊乘以 eax (積分因子)從而(yeax) f(x)eax 由 y(0) 0 得至 kke ax-(eax 1) k(1 eax)aaaxaxaxye aye f (x)exyeax0 f(t)eatdtx即 yeax 0 f (t)eatdt(2)證法同上7、解：(1)由題設知 f (0)f(0) 0。則 f (0)(x 1)f (x) f(x)f(0)1 且xf t dt0令y f(x)兩邊求導得到(x i)(y y) y 0 (x 1)設 y p(x)yp (x)得dp2dx兩邊積分得ln px ln(x 1)In c1代入初始條件f (x)

11、p(0)x ex 1f (0)(x1)(2)利用拉格朗日中值定理知:f(x)f(0)f(x)f (0)另外(f(x)f (x)所以f (x) e1,)x(0,)單調增加,在0和x之間有 f(x) e x)0。從而當x 0時1 xe1 x而(f(x)f(x) 1。(x 0)e x) |x 0 f(0)0。故當x8、證：由通解公式知：任一解 y y(x)可由公式p(x)dxp(x)dxy(x) e C q(x)e dx(1)表示，其中C為y(x)對應的某常數。y1(x), y2(x)也應具有上述形式， 設它們分別對應常數c1,c2且c1 c2，則由(1)式得上兇一Mx_ C C1Ky2(x) y1

12、(x)C2 C1x9、證：方程(1)的通解為y e x C o etf (t)dt(2)01)取 C gfdt (由假設知，此廣義積分收斂)，得解x Xty(x) e x f (t)etdt(3)則由 x (,) , | f(x)| M 易證 | y(x)| M x (,)此即為(1)的一個有界解。2)若f(x) f (x )，對(1)中確定的解(3),當x (,)有 y(x ) e (x ) x f (t)etdt令t z ,則上式右端為() x vvxVe e f (z )dz e e f (z)e dzx . zf (z)e dz y(x)所以y(x)也是以 為周期的周期函數。10、證：

13、用 乘方程兩端，得 f(紅xf(xy) g(xy)dx因為M(x,y)3一 , N(x,y) x f (xy) g(xy)N 1 f (xy)x f (xy) g(xy)一也一dy 0 yf(xy) g(xy)g(xy)yf (xy) g(xy)f (xy)x f (xy) g(xy)所以11、證:(1)是全微分方程。2f(xy) g(xy)f (xy)g(xy) f (xy)g (xy)2f(xy) g(xy)方程有積分因子(x, y)的充要條件是(x, y),則有 NN xx(x, y)滿足下列微分方程(x,y)N x(x, y)上式右端應為(x, y)的函數，這就證明了y(x, y)為方

14、程的積分因子的率要條件求解(1)式得12、證：1)則兩邊從即有k 0時，令f(t)g(t)到t積分得(x,y)g(t) (t),ln (t)(t)()y(x,y)df (x,y)lnexp(t)f (s)g(s)ds,0可得小t) g(s)dstg(s)ds即有2) kf(t)f(t)13、14、k 0所以0時，對任意(t) kexp g(s)dsf(t)0,tf (s)g(s)ds。(t) kexp由于f(t)f(t)0。因為f(t) 0,即得f (t)f (t) k exp由1), 2)知，不等式成立。證畢。tg(s)ds，f (s)g(s)ds ，所以exp0。從而tg(s)ds ，tg

15、(s)ds 。當證：設y(x), y2(x)是已知方程的定義在區間I上的任意兩個線性無關的解。爾公式有其中W(x0)由于W(x0)為正或恒為負,0時，有根據劉維xp( )dW(x) W(x0)e x0八一 dW (x)0。考察 -dxW (x0) p(x)exX0P( )d0, p(x)在I上恒不等于零，并且e從而 W(x)在I上是嚴格單調函數。證：充分性。因為僧為42x1x2xx2W 區以a/DWIxL而x1(t)0是已知方程的解，所以x1x2a2(t)x1x2 a1(t)x2故有 x2 a1(t)x2必要性。因為Wx1,x2x1x1x1x1x1xp(x0x2x2x2x2)da1(t)x1a

16、(t )x1x2xx2xx2x11a2(t)x2t dW(x)卜一上恒dxx2a1(t)x1x2a(t)x2a2(t)x20,即x2(t)是已知方程的解。Wx1,x2為方程的解v(t),x2(t)的朗斯基行列式x1x2x2x1x2x1 a2(t)x1x2 a2 (t)x2X1a1(t)x1 即 WX1,X2滿足W X1, X2X2a1(t)x2ai(t)XiXia1WX1,X20。15、證：已知方程對應的齊次方程的通解為現在利用常數變易法求已知方程形如2xy cey1 c1(x)e的一個特解。得到 Ci(x), C2(x)所滿足的方程組解得Ci(x)e2xf(x),Ci(x)故已知方程的通解為

17、i)ii)由洛必達法則同理可證C2(x)eXf(x),Ci(x)X2X2ai(t)WXi,X2C2e X2X C2(x)e X2xxC1 (x)eC2(x)e2x2C1(x)eX 2t.0ef(t)dtX t0etf(t)dtC2(X)e0X f(x)y Cie2xC2e X2xee2tf (t)dtx t0etf(t)dtX t0 e f (t)dt 有界,則顯然有limXetf (t)dt0；f (t)dt 無界,limX由(1)式即得f(t)dtlimXXee2t f(t)dtlimXeXf(x)lim f (x)0XlimX2xey(x) 0即證明了已知方程的任一解y(x),當時，均有

18、y(x)趨向于零。16、證：這是一個含求知數的積分方程，將它轉化為微分方程求解。f (x) cosxX0Xf(t)dtX0tf (t)dtcosxxf (x) xf (x)X0 f(t)dtcosxX0 fdtf (x) sin x f (x)即并且，由已知方程知f (x) f(x)f(0) 0, f (0)sin x1(1)(2)17、18、xf(x) Csinx Czcosx -cosx2一一，、一 L1再將初始條件（2）代入上式，得C1 -, C2 02證：令那么f(x) 1sinx 兒osx.221(t) X(t)X(s)C2(t) X(t s)Cd 1dtd 2(t)dt因為X。）是呸2dtd 1(t)dt（C是常向量）dX(t)、X (s)CdtdX(t s) d(t s)Cd(t s)AX （t）的基解矩陣，所以AX(t)X(s)CA 1(t),(1)、d 2(t)dt（2）兩式還成立AX(ts)C A2(t)又因為X（0） E,所以有所以根據解的唯一性定理可知 因而有證畢。1(0) X(s)C,X(tX(t2(0)X(s)C證：因為若令s 0 ,則有X(ts)C X(t)